Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 23
Текст из файла (страница 23)
. .Èç (8.18) â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäóòñÿ òàêèå íîìåðà N1 è N2 , ÷òîεäëÿ âñåõ n > N1 ,kxn − xk <2(kyk + 1)εäëÿ âñåõ n > N2 .kyn − yk <2MÈñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è íåðàâåíñòâîÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (8.13), îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = max{N1 , N2 }, ÷òî äëÿâñåõ íîìåðîâ n > N ìîäóëü ðàçíîñòè |(xn , yn ) − (x, y)| == |(xn , yn ) − (xn , y) + (xn , y) − (x, y)| 6 |(xn , yn ) − (xn , y)| ++|(xn , y) − (x, y)| = |(xn , yn − y)| + |(xn − x, y)| 6 kxn k ·εε εε+·kyk < + = ε,·kyn −yk+kxn −xk·kyk < M ·2M 2(kyk + 1)2 2òî åñòü ðàâåíñòâî (8.19) ñïðàâåäëèâî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñ ë å ä ñ ò â è å (ñ÷¼òíàÿ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî∞Pïðîèçâåäåíèÿ). Ïóñòü ðÿäyn â E ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ.n=1Òîãäà äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∞∞ X X(x, yn ).x,yn =n=1n=1(8.20)1958. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Ââåä¼ì â∞åâêëèäîâîì ∞ ïðîñòðàíñòâå E äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn n=1 è Yn n=1 :xn = x,Yn =nXyk ,n = 1, 2, . . . .(8.21)k=1 ∞ßñíî ÷òî lim xn = x, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Yn n=1 ñõîn→∞äÿùàÿñÿ.
Ïóñòü Y ∈ E å¼ ïðåäåë:Y = lim Yn =n→∞∞X(8.22)yk .k=1Ñîãëàñíî äèñòðèáóòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êîòîðóþ, åñòåñòâåííî, ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ñ äâóõ íà ëþáîå P∞yk =êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, è òåîðåìå 8.2 èìååì: x,k=1 PnnP(x, yk ) =yk = lim= (x, Y ) = lim (xn , Yn ) = lim x,n→∞=∞Pn→∞k=1n→∞ k=1(x, yk ), òî åñòü ðàâåíñòâî (8.20) ñïðàâåäëèâî. Ñëåäñòâèåk=1äîêàçàíî.ßñíî, ÷òî ñ÷¼òíàÿ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååò ìåñòî è äëÿ ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ.Ðàçóìååòñÿ, ïîíÿòèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû è áàçèñà, ââåä¼ííûå äëÿ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ, ñîõðàíÿþò ñâîé ñìûñë è äëÿ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ñïðàâåäëèâà â íèõ, êîíå÷íî, òåîðåìà 7.4 î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòèýëåìåíòîâ áàçèñà. åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, êàê â ëþáûõ ëèíåéíûõíîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñòåñòâåííî, âåðíà òåîðåìà 7.5 î ôóíäàìåíòàëüíîñòè ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êàê ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà196III. Ðÿäû Ôóðüååâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà ìîãóò áûòü ïîëíûìè (â êîòîðûõâñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ) èíåïîëíûìè . Ïîëíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Ðàññìîòðåííûå âûøå ôóíêöèîíàëüíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] èQ0 L2 [a, b] ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (8.15) èëè (8.16) èíîðìîé (8.17), ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ï.
7.5, ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè íåïîëíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ.8.3.. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõè îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåìÝëåìåíòû x è y åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàþòñÿåñëè (x, y) = 0.Òîò ôàêò, ÷òî ýëåìåíòû x è y îðòîãîíàëüíû, èíîãäàîáîçíà÷àþò òàê:îðòîãîíàëüíûìè ,x ⊥ y.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñ÷èòàòü ýëåìåíòû åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E âåêòîðàìè, òî îðòîãîíàëüíîñòü íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâx è y (íóëåâîé ýëåìåíò Θ, êàê íåòðóäíî âèäåòü, îðòîãîíàëåíëþáîìó ýëåìåíòó åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E) îçíà÷àåò, ÷òîπóãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè ðàâåí , òî åñòü âåêòîðû x2è y âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñèñòåìà xα α∈A , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ xα ∈ E, íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E, åñëè äëÿ ëþáûõ α1 ∈ A è α2 ∈ A, òàêèõ, ÷òî α1 6= α2 ,ñëåäóåò, ÷òî xα1 ⊥ xα2 , òî åñòü (xα1 , xα2 ) = 0.
Ñèñòåìà xα α∈A , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ xα ∈ E, íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâîì ïðî-8. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà197ñòðàíñòâå E, åñëè äëÿ ëþáûõ α1 ∈ A è α2 ∈ A, ñëåäóåò, ÷òî(xα1 , xα2 ) = δα1 α2 , òî åñòü1, α1 = α2 ,(xα1 , xα2 ) =(8.23)0, α1 6= α2 .ßñíî, ÷òî îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà íå ñîäåðæèò íóëåâûõ ýëåìåíòîâ, òàê êàê èç (8.23) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãîýëåìåíòà xα îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû xα α∈A åãî íîðìà kxα k = 1.
Ò å î ð å ì à 8.3. Âñÿêàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà xα α∈A ,íå ñîäåðæàùàÿ íóëåâûõ ýëåìåíòîâ (â ÷àñòíîñòè, îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n âîçü nì¼ì ëþáóþ êîíå÷íóþ ïîäñèñòåìó èç n ýëåìåíòîâ xαk k=1 nñèñòåìû xα α∈A è ëþáûå n ÷èñåë λk k=1 . Ïóñòü ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ ðàâíà íóëåâîìó ýëåìåíòó:nPλk xαk = λ1 xα1 + · · · + λk xαk + · · · + λn xαn = Θ.(8.24)k=1Óìíîæèì ðàâåíñòâî (8.24) ñêàëÿðíî íà xαk, ãäå k = 1, 2, .
. . , n.Èìååì: 0 = (Θ, xαk ) = (λ1 xα1 +· · ·+λk xαk +· · ·+λn xαn , xαk ) == λ1 (xα1 , xαk ) + · · · + λk (xαk , xαk ) + · · · + λn (xαn , xαk ) = = λk (xαk , xαk ). Òàê êàê ñèñòåìà xα α∈A , à ñòàëî áûòü è nïîäñèñòåìà xαk k=1 íå ñîäåðæèò íóëåâûõ ýëåìåíòîâ, òî(xαk , xαk ) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, λk = 0 äëÿ âñåõ k = 1, 2, . . . , n.Òåîðåìà äîêàçàíà.Ðàçóìååòñÿ, ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìàxα α∈A íå ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé. Îäíàêî åñëè ∞ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà xn n=1 ñ÷¼òíàÿ , òî èç íå¼198III. Ðÿäû Ôóðüå ∞ìîæíî ïîëó÷èòü îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó en n=1 , ïðè÷¼ì òàêóþ, ÷òî å¼ n-é ýëåìåíò en ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâûõ n ýëåìåíòîâ x1 , x2 , .
. . , xn èñõîäíîé ñèñòåìû ∞xn n=1 . Ïðèâåä¼ì ýòè õîðîøî èçâåñòíûå ôîðìóëû, êîòîðûå çàäàþò òàê íàçûâàåìûéïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ïîØìèäòó :x2 − (x2 , e1 )e1x1, e2 =,kx1 kkx2 − (x2 , e1 )e1 k.............................................xn − (xn , e1 )e1 − · · · − (xn , en−1 )en−1en =,kxn − (xn , e1 )e1 − · · · − (xn , en−1 )en−1 k.............................................e1 =(8.25)Ïðèâåä¼ì ï ð è ì å ð û îðòîãîíàëüíûõ è îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì â íåêîòîðûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.1.
Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå2 [−1, 1] ëèCL∞íåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ôóíêöèé fn (x) n=0 :fn (x) = xn ,n = 0, 1, . . . ,òî åñòü (ñì. ñ. 185)f0 (x) ≡ 1,f1 (x) = x, . . . , fn (x) = xn , . . . .Îðòîãîíàëèçàöèÿ ýòîé ñèñòåìû ïî ôîðìóëàì Øìèäòà (8.25)äà¼ò îðòîíîðìèðîâàííóþíà îòðåçêå [−1, 1] ñèñòåìó ìíîãî∞÷ëåíîâ Pn (x) n=0 (ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà deg Pn (x) = n), êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè Ëåæàíäðà .1998. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà2.
Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [−π, π],C L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π] òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx, . . . ,∗òî åñòü ñèñòåìó1, cos nx, sin nx∞n=1(8.26).Ïîñêîëüêó, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü,0 =Rπ1 · cos nx dx =−π=Rπ1 · sin nx dx =n>1Rπn>1cos nx · cos mx dx =−π−π=Rπsin nx · sin mx dx =−πRπ(8.27)1 6 n 6= m > 1cos nx · sin mx dx−π1 6 n 6= m > 1n > 1,m>1(ïîä êàæäûì èç èíòåãðàëîâ íàïèñàíî, ïðè êàêèõ n è m ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â íóëü), òî òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (8.26) ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîéâ ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ.
À òàê êàêRπ−π|1|2 dx = 2π,Rπ−π| cos nx|2 dx =Rπ| sin nx|2 dx = π, (8.28)−πòî íîðìèðîâàííàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà∞1cos nx sin nx√ , √ , √ππ n=12π(8.29)ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [−π, π], C∗ L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π].200III.
Ðÿäû Ôóðüå3. Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π],C L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π] ñèñòåìó ∞1, cos x, . . . , cos nx, . . . ≡ cos nx n=0 .(8.30)∗Ýòà ñèñòåìà îðòîãîíàëüíà,Rπòàê êàê(8.31)cos nx · cos mx dx = 00äëÿ âñåõ n ∈ N0 , m ∈ N0 è òàêèõ, ÷òî n 6= m. À ïîñêîëüêóRπRπ|1|2 dx = π,00òî ñèñòåìà| cos nx|2 dx =(1√ ,πr)∞2cos nxππ,2(8.32)(8.33)n=1ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π], C∗ L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π].4. Ðàññìîòðèì â ýòèõ æå ñàìûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π], C∗ L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π] ñèñòåìó ∞sin x, .
. . , sin nx, . . . ≡ sin nx n=1 .(8.34)Ýòà ñèñòåìà, êàê è òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííàÿ ñèñòåìà (8.30)îðòîãîíàëüíà, òàê êàêRπsin nx · sin mx dx = 0(8.35)0äëÿ âñåõ n ∈ N, m ∈ N è òàêèõ, ÷òî n 6= m. À ïîñêîëüêóRπ0| sin nx|2 dx =π,2(8.36)2018. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàòî íîðìèðîâàííàÿ íà îòðåçêå [0, π] ñèñòåìà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé)∞(r2sin nx(8.37)πn=1ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [0, π], C∗ L2 [0, π] è Q0 L2 [0, π].5.
Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [−π, π],C∗ L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π] ñèñòåìó inx +∞.(8.38)en=−∞ îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, êîòîðûå ìû ìîæåìðàññìàòðèâàòü êàê â âåùåñòâåííûõ, òàê è â êîìïëåêñíûõïðîñòðàíñòâàõ, ýòó êîìïëåêñíî-çíà÷íóþ ñèñòåìó (òàê êàêeinx = cos nx + i sin nx) íóæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü â êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ñèñòåìà (8.38) îðòîãîíàëüíà, ïîñêîëüêó ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ(einx , eimx ) =Rπeinx · eimx dx =−πRπeinx · e−imx dx = 0 (8.39)−πäëÿ âñåõ n ∈ Z è m ∈ Z, òàêèõ, ÷òî m 6= n.
Òàê êàêRπ|einx |2 dx = 2πäëÿ âñåõ n ∈ Z,(8.40)−πòî íîðìèðîâàííàÿ íà îòðåçêå [−π, π] ñèñòåìà ôóíêöèé inx +∞e√(8.41)2π n=−∞ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé â ðàññìàòðèâàåìûõñåé÷àñ êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [−π, π],C∗ L2 [−π, π] è Q0 L2 [−π, π].202III. Ðÿäû Ôóðüå8.4. Ðÿäû Ôóðüå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ýòîì ïóíêòå áóäåò ðàññìîòðåíî ïîíÿòèå ðÿäà Ôóðüå âåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ñâÿçàííûå ñ ýòèì ïîíÿòèÿ. Èçëîæåíèå áóäåò âåñòèñü äëÿ ðÿäîâ ïî îðòîíîðìèðîâàííûìñèñòåìàì â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Âàðèàíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì (åñòåñòâåííî, íå ñîäåðæàùèõ íóëåâîãî ýëåìåíòà Θ)1 èëè äëÿ âåùåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà âûíåñåíû â âèäå çàäà÷ â âîïðîñàõ äëÿ ïîâòîðåíèÿ è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.
∞Ò å î ð å ì à 8.4. Ïóñòü en n=1 îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E, è ðÿä ïî ýòîé ñèñòåìåñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x ∈ E:x=∞Xαn en .(8.42)n = 1, 2, . . . .(8.43)n=1Òîãäàαn = (x, en ),Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Èñïîëüçóÿ ñ÷¼òíóþ äèñòðèáóòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èç (8.42) ïîëó÷àåì (x, en ) =∞∞ P ∞P=αk ek , en =αk (ek , en ) = αn , òàê êàê en n=1 îðòîk=1k=1íîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèÿ (8.43)âûïîëíÿþòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà ∞ òåîðåìû 8.4 ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùåå ïîíÿòèå. Åñëè en n=1 íåêîòîðàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E, òî ëþáîìó ýëåìåíòó1Âäàëüíåéøåì, åñëè ñïåöèàëüíî íå îãîâîðåíî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà íå ñîäåðæèò íóëåâûõ ýëåìåíòîâ è ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 8.3, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé.2038.
Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàx ∈ E ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðÿä ïî ýòîé ñèñòåìå:x∼∞Xαn en ,ãäå αn = (x, en ).(8.44)n=1Ðÿä â (8.44) íàçûâàåòñÿðÿäîì Ôóðüå ýëåìåíòà x, à ïîñëåäî ∞âàòåëüíîñòü ÷èñåë αn n=1 åãî êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå . ∞Ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå gn n=1èìååò âèä:x∼∞Xn=1cn g n ,ãäå cn =(x, gn ).kgn k2(8.45)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè kgn k = 1 äëÿ âñåõ n = 1, 2, . . .,òî (8.45) ïåðåõîäèò â (8.44).Ðàçóìååòñÿ, ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà x âîâñå íå îáÿçàòåëüíîñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
