Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(y, x) = (x, y).(8.1)2. Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E è ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëàα ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(αx, y) = α(x, y).(8.2)3. Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E, z ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(x + y, z) = (x, z) + (y, z).(8.3)4. Äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x, x) > 0,ïðè÷¼ì (x, x) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = Θ.Íàïîìíèì, ÷òî Θ íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà E.Ýòè ÷åòûðå ñâîéñòâà íàçûâàþòñÿ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè èëè, êàê èíîãäà ãîâîðÿò, àêñèîìàìè âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
Èç íèõ ñðàçó âûòåêàåò, íàïðèìåð,ñëåäóþùåå ñâîéñòâî. Ïóñòü x è y ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà E, à α ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òîãäà(x, αy) = (ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó) = (αy, x) = (ïî âòîðîìóñâîéñòâó) = α(y, x) = (ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó) = α(x, y), òîåñòü äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E è ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëàα ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(x, αy) = α(x, y).(8.4)188III. Ðÿäû ÔóðüåÀíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E,z ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(x, y + z) = (x, y) + (x, z).(8.5)Íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ââåä¼ì ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì , åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû ýëåìåíòîâ x ∈ E è y ∈ E îïðåäåëåíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî(x, y), íàçûâàåìîå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòà x íàýëåìåíò y è óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì.Êîìïëåêñíîå1.
Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(y, x) = (x, y).(8.6)×åðòà ñâåðõó íàä êîìïëåêñíûì ÷èñëîì (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (y, x) êîìïëåêñíîå ÷èñëî) îçíà÷àåò, êàêîáû÷íî, êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¼ííîå ê íåìó ÷èñëî (òî åñòüa + ib = a − ib).2. Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E è ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëàα ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (8.2).3. Äëÿ ëþáûõ x ∈ E, y ∈ E, z ∈ E ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (8.3).4. Äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x, x) > 0,ïðè÷¼ì (x, x) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = Θ.Ñðàâíèâàÿ âåùåñòâåííîå è êîìïëåêñíîå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, ìû âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â íèõðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ïåðâûì ñâîéñòâîì.1898.
Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà äàëüíåéøåì áóäåì, åñëè ñïåöèàëüíî íå îãîâîðåíî, ðàññìàòðèâàòü êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, à àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà áóäåì äàâàòü â âèäå çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Ïðè ýòîì áóäåì ñòàðàòüñÿ óïîòðåáëÿòü òàêèå ôîðìóëèðîâêè, êîòîðûå ãîäèëèñü áû êàê äëÿ âåùåñòâåííîãî, òàê èäëÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àÿ.Ò å î ð å ì à 8.1 (íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî). Äëÿëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ïðîèçâîëüíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî1|(x, y)|2 6 (x, x)(y, y).(8.7)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå(x, y) = 0, òî íåðàâåíñòâî (8.7) î÷åâèäíî. Ïóñòü òåïåðü(x, y) 6= 0.(8.8) ýòîì ñëó÷àå îáà ýëåìåíòà x 6= Θ, y 6= Θ è, ñëåäîâàòåëüíî,(x, x) > 0,(y, y) > 0.(8.9)Ïî ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ ëþáîãî (êîìïëåêñíîãî) ÷èñëà λ èìååì0 6 (x + λy, x + λy) == (x, x) + λ(y, x) + λ(x, y) + λλ(y, y).(8.10)1 Ðàçóìååòñÿ,äëÿ âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà íåðàâåíñòâî (8.7) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå(x, y)2 6 (x, x)(y, y).Îäíàêî îíî çàïèñàíî ñî çíàêîì ìîäóëÿ, ÷òîáû ôîðìóëèðîâêà íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî áûëà âåðíîé êàê äëÿ âåùåñòâåííîãî òàê èäëÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àÿ.190III.
Ðÿäû ÔóðüåÈç (8.8) òàêæå âûòåêàåò, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, y) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå(x, y) = |(x, y)| · eiα(α = arg(x, y)).(8.11)Ïîäñòàâèì â ñîîòíîøåíèå (8.10)λ = t · eiα ,t ∈ (−∞, +∞)è ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x + λy, x + λy) êàêôóíêöèþ âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî t:ϕ(t) = (x + t · eiα · y, x + t · eiα · y),t ∈ (−∞, +∞).Èç (8.8) (8.11) âûòåêàåò, ÷òî êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåíϕ(t) = (y, y) t2 +2 |(x, y)| t+(x, x) > 0 äëÿ âñåõ t ∈ (−∞, +∞).| {z } | {z }| {z }A>0B>0C>0Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åãî äèñêðèìèíàíò ∆ ≡ (2B)2 −4ACðèöàòåëåí , ñëåäîâàòåëüíî,íåîò-∆= B 2 − AC = |(x, y)|2 − (x, x)(y, y) > 0.4Ïîýòîìó íåðàâåíñòâî (8.7) è â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ.Òåîðåìà äîêàçàíà.Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî E ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ââåñòè â í¼ì íîðìó ïî ôîðìóëåp(8.12)kxk ≡ (x, x) .Ïðîâåðèì, ÷òî ôîðìóëà (8.12) çàäà¼ò íîðìó.
Äåéñòâèòåëüíî, èç ÷åòâ¼ðòîé àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî íîðìà kxk îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ x ∈ E, îíà íåîòðèöàòåëüíà è îáðàùàåòñÿ â íóëü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà8. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà191x = Θ. Äàëåå, èç âòîðîé àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ðàâåíñòâà (8.66)p (ñì. çàäà÷óp 3 íà ñ. 214)p âûòåêàåò,÷òî íîðìà kαxk = (αx, αx) = αα(x, x) = |α|2 (x, x) == |α|·kxk. Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî, èìååì kx + yk2 == (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = (x, x) ++2 Re(x, y) + (y, y) 6 (x, x) + 2|(x, y)| + (y, y) 6 (x, x) +p2pp2(x, x)+ (y, y) = kxk + kyk ,+2 (x, x)(y, y) + (y, y) =2òî åñòü kx + yk2 6 kxk + kyk , ÷òî îçíà÷àåò âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêàkx + yk 6 kxk + kyk.Íîðìà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, êîòîðàÿ çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé (8.12), íàçûâàåòñÿ íîðìîé, ñîãëàñîâàííîé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.
 äàëüíåéøåì, çà èñêëþ÷åíèåì ñïåöèàëüíî îãîâîðåííûõ ñëó÷àåâ, ãîâîðÿ î íîðìå â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå, ìû áóäåì èìåòü â âèäó íîðìó, ñîãëàñîâàííóþñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.  òåðìèíàõ ýòîé íîðìû íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (8.7) ïðèíèìàåò âèä:|(x, y)| 6 kxk · kyk.(8.13)Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå ï ð è ì å ð û åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâ, à èìåííî: ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà1) CL2 [a, b] ≡ {f (x) ∈ C[a, b]},2) C∗ L2 [a, b] ≡ {f (x) ∈ C ∗ [a, b]},3) Q0 L2 [a, b] ≡ {f (x) ∈ Q0 [a, b]},(8.14)ñîñòîÿùèå èç êîìïëåêñíî-çíà÷íûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîãîïåðåìåííîãî x ∈ [a, b]. Ïîñêîëüêó ôóíêöèè, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ëþáîå èç ýòèõ òð¼õ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íûìè, òî åñòåñòâåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èõ ìîæíî192III. Ðÿäû Ôóðüåóìíîæàòü íå òîëüêî íà âåùåñòâåííûå, íî è íà êîìïëåêñíûå÷èñëà.
Âî âñåõ ïðîñòðàíñòâàõ (8.14) ââåä¼ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëå:(f, g) =Rb(8.15)f (x)g(x) dx.aÏðîâåðèì, ÷òî ôîðìóëà (8.15) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ÷åòûð¼ì àêñèîìàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,RbRbRb(g, f ) = g(x)f (x) dx = f (x)g(x) dx = f (x)g(x) dx =aaa= (f, g), òî åñòü ðàâåíñòâî (8.6) ñïðàâåäëèâî. Âòîðàÿ è òðåòüÿ àêñèîìû âûòåêàþò èç ëèíåéíûõ ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãîèíòåãðàëà.
×åòâ¼ðòàÿ àêñèîìà, ãîâîðÿùàÿ î òîì, ÷òî äëÿâñÿêîé ôóíêöèè èç êàêîãî-ëèáî ïðîñòðàíñòâà (8.14) ñêàëÿðRbRbíîå ïðîèçâåäåíèå (f, f ) = f (x)f (x) dx = |f (x)|2 dx íåîòaaðèöàòåëüíî è îáðàùàåòñÿ â íóëü ëèøü òîãäà, êîãäà f (x) ≡ 0,óñòàíàâëèâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è ïåðâàÿ àêñèîìà ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòðàíñòâCL1 [a, b], C∗ L1 [a, b] èëè Q0 L1 [a, b] (ïÿòûé, øåñòîé è ñåäüìîéïðèìåðû â ï. 7.2).Èòàê, ïðîñòðàíñòâà (8.14) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (8.15) ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè åâêëèäîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè.
Ðàçóìååòñÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà (8.14)ñîñòîÿò èç ôóíêöèé, êîòîðûå ïðèíèìàþò ëèøü âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ è, åñòåñòâåííî, óìíîæàòü â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ìîæíî ëèøü íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà, òî ôîðìóëà äëÿñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä:(f, g) =Rbaf (x)g(x) dx.(8.16)1938. Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâàÍîðìà â ïðîñòðàíñòâàõ CL2 [a, b], C∗ L2 [a, b] è Q0 L2 [a, b],ñîãëàñîâàííàÿ ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (8.15) èëè (8.16),âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåskf k2 =Rb|f (x)|2 dx .(8.17)aÎòìåòèì, ÷òî íîðìà (8.17) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íîðìû (7.15) ïðè p = 2.8.2. Ñõîäèìîñòü â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
ÏîëíîòàÒàê êàê âñÿêîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî E ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì ñ íîðìîé (8.12), òîâñå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ðàññìîòðåíèèëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ è äàæå ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâ, ïåðåíîñÿòñÿ è íà åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Â÷àñòíîñòè, â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ðàññìîòðåòüïîíÿòèå ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû, ïîñëåäîâàòåëüíîñòèè ðÿäà, èõ ñõîäèìîñòè, óñòàíîâèòü åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà (òåîðåìà 7.1) è îãðàíè÷åííîñòü (òåîðåìà 7.2) ñõîäÿùåéñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (òåîðåìà 7.3), âêëþ÷àÿ íåïðåðûâíîñòüíîðìû.
Ýòó òåîðåìó â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå äîïîëíèìñëåäóþùèìè ðåçóëüòàòàìè.Ò å î ð å ì à 8.2 (íåïðåðûâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). ∞Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn n=1 ∞è yn n=1 â E, ïðè÷¼ìlim xn = x,n→∞lim yn = y.n→∞(8.18)194III. Ðÿäû ÔóðüåÒîãäà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñõîäÿùåéñÿ, ïðè÷¼ì∞(xn , yn ) n=1 ÿâëÿåòñÿlim (xn , yn ) = (x, y).n→∞(8.19)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ââèäó òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëü ∞íîñòü xn n=1 â E ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ, òî ïî òåîðåìå 7.2îíà îãðàíè÷åíà, òî åñòü íàéä¼òñÿ òàêîå M > 0, ÷òî íîðìûkxn k 6 Mäëÿ âñåõ n = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
