Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Òåì íå ìåíåå ôóíêöèèýòîãî ìíîæåñòâà ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïåðèîäè÷åñêè ïðîäîëæåííûìè ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì äëèíå îòðåçêà [a, b] (òî åñòüb − a) íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü. Ââèäó îñðåäíåíèÿ çíà÷åíèéôóíêöèè f (x) â òî÷êàõ ðàçðûâà è â êîíöàõ îòðåçêà [a, b]äëÿ âñÿêîãî x èç îòðåçêà [a, b] (à ñ ó÷¼òîì ïåðèîäè÷åñêîãîïðîäîëæåíèÿ äëÿ âñÿêîãî âåùåñòâåííîãî x) ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâîf (x + 0) + f (x − 0).(9.9)f (x) =2Ë å ì ì à 4 (ëåììà Ðèìàíà). Äëÿ âñÿêîé êóñî÷íî-ãëàäêîéôóíêöèè f (x) ∈ Q10 [a, b] èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:Zblimf (x) cos λx dx = 0;λ→∞a(9.10)9.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåZblimf (x) sin λx dx = 0.λ→∞225(9.11)aÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Óñòàíîâèì ðàâåíñòâî íóëþ ïðåäåëà (9.10) (ðàâåíñòâî íóëþ ïðåäåëà (9.11) óñòàíàâëèâàåòñÿàíàëîãè÷íî). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f (x) ∈ Q10 [a, b] çàíóìåðóåì òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèé f (x) è f 0 (x) â ïîðÿäêåèõ âîçðàñòàíèÿ (ïðèñîåäèíèì ê ýòèì òî÷êàì, êàê îáû÷íî, èêîíöû îòðåçêà [a, b]):a = x0 < x1 < · · · < xm = b.Èñïîëüçóÿ àääèòèâíîå ñâîéñòâî îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà èôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåìZbf (x) cos λx dx =a=m Xk=1ZxkmXk=1 xf (x) cos λx dx =k−1Zxk1sin λx x=xk −00f (x) sin λx dx .−f (x) ·λλx=xk−1 +0(9.12)xk−1Òàê êàê ôóíêöèè f (x) è f 0 (x) êóñî÷íî íåïðåðûâíû è èìåþò ëèøü òî÷êè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, òî îíè îãðàíè÷åíûíà îòðåçêå [a, b]; ôóíêöèÿ sin λx òàêæå îãðàíè÷åíà. Ïîýòîìó ïðè λ → ∞ êàæäîå èç ñëàãàåìûõ â ïîñëåäíåé ñóììåðàâåíñòâà (9.12) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ëåììà äîêàçàíà.Íàéä¼ì âûðàæåíèå n-é ÷àñòè÷íîé ñóììû Sn (x, f ) òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå (9.7) ôóíêöèè f(x)∈Q0 L2[−π, π].Äëÿ ýòîãî â ðÿäå (9.7) îáîçíà÷èì èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ áóê-226III. Ðÿäû Ôóðüåâîé k , à â ôîðìóëàõ (9.8) êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ïåðåìåííóþèíòåãðèðîâàíèÿ áóêâîé t:∞a0 Xf (x) ∼+(ak cos kx + bk sin kx) ;2k=1Zπ1f (t) cos kt dt, k = 0, 1, . . . ;ak =πbk =1π(9.13)−πZπf (t) sin kt dt, k = 1, 2, . . . .−πna0 XÈç (9.13) ïîëó÷àåì Sn (x, f ) = +(ak cos kx + bk sin kx) =2ππZZ nk=11 X1f (t) dt+(f (t) cos kt cos kx+f (t) sin kt sin kx)dt ==2ππ k=1−π#" −π nZπ11 Xcos k(t − x) dt = (ñäåëàåì çàìåíó t ==+f (t)π2−πk=1= x + y , ïðè ýòîì dt = dy , à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îñòàíóòñÿ òå æå, òàê êàê ôóíêöèÿ f (t) ïåðèîäè÷åñêè ïðîäîëæåZπ11íà íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü ñ ïåðèîäîì 2π ) =+f (x + y)π2nX−πcos ky dy .
Åñëè æå ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ+k=1n1 1 Xcos ky ,(9.14)Dn (y) =+π 2k=1íàçûâàåìóþ ÿäðîì Äèðèõëå , òî ïîëó÷èì âûðàæåíèå ÷àñòíîé ñóììû ðÿäà Ôóðüå ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå:ZπSn (x, f ) = f (x + y)Dn (y) dy.(9.15)−π2279. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÎòìåòèì ñëåäóþùèå î÷åâèäíûå ñâîéñòâà ÿäðà Äèðèõëå (9.14):1.
Dn (y + 2π) = Dn (y);2. Dn (−y) = Dn (y);RπRπDn (y) dy = 2 Dn (y) dy = 1.3.−π(9.16)0Èñïîëüçóÿ ÷¼òíîñòü ÿäðà Äèðèõëå (ñì. (9.16), âòîðîåñâîéñòâî), çàïèøåì ðàâåíñòâî (9.15) â íåñêîëüêî èíîì âèRπR0f (x + y)Dn (y) dy + f (x + y)Dn (y) dy =äå: Sn (x, f ) =−π0= (ñäåëàåì â ïåðâîì èíòåãðàëå çàìåíó y = −z , ïðè ýòîìRπRπdy = −dz ) = f (x − z)Dn (z) dz + f (x + y)Dn (y) dy . Èòàê,00ìû ïîëó÷èëè íåñêîëüêî îòëè÷àþùååñÿ îò (9.15) âûðàæåíèå÷àñòíîé ñóììû ðÿäà Ôóðüå ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå:ZπSn (x, f ) =f (x + y) + f (x − y) Dn (y) dy.(9.17)0yè ïðå2îáðàçóÿ ïîëó÷èâøèåñÿ ïðîèçâåäåíèÿ ïî èçâåñòíûì òðèãîíîyyìåòðè÷åñêèì ôîðìóëàì, èìååì π · Dn (y) · 2 sin = sin +22yy3yy+2 sin cos y + · · · + 2 sin cos ny = sin + sin y − sin +2 2222111+ · · ·+sin n +y−sin n −y = sin n +y , òî åñòü2221sin n +y2Dn (y) =.(9.18)y2π sin2Óìíîæèâ (9.14) ïðè y 6= 2πm (m ∈ Z) íà 2π sin228III.
Ðÿäû ÔóðüåÔîðìóëà (9.18) áûëà âûâåäåíà èç (9.14) ïðè y 6= 2πm, ãäåm ∈ Z. Îäíàêî, ìîæíî ïðèäàòü åé ñìûñë è ïðè y = 2πm, åñëè â ýòîì ñëó÷àå íàéòè ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (9.18)ïðè y → 2πm. Äåéñòâèòåëüíî, ðàñêðûâàÿ íåîïðåäåë¼ííî0ñòè , íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ, íåòðóäíî óáåäèòü0ñÿ, ÷òî ïðåäåëû1ysin n +2n + 12, m = 0, ±1, ±2, . . . .
(9.19)lim=yy→2πm2π2π sin29.3. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ ÔóðüåÒ å î ð å ì à 9.1 (î ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå). Äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè f (x) ∈ Q10 [−π, π]äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π] èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî∞f (x) =a0 X+(an cos nx + bn sin nx) .2n=1(9.20)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü f (x) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç Q10 [−π, π]. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå ÷àñòíîé ñóììû ðÿ-äà Ôóðüå ÷åðåç ÿäðî Äèðèõëå (9.17), ñâîéñòâà (9.16) ýòîãîÿäðà è ðàâåíñòâî (9.9), âèäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π]f (x + 0) + f (x − 0)− Sn (x, f ) =ðàçíîñòü f (x) − Sn (x, f ) =2ππRR= f (x+0)+f (x−0) Dn (y) dy− f (x+y)+f (x−y) Dn (y) dy =00= (çàïèøåì ðàçíîñòü èíòåãðàëîâ îäíèì èíòåãðàëîì, êîòîRπ ðûé çàòåì ðàçîáü¼ì íà ñóììó äâóõ èíòåãðàëîâ) = f (x+0)−09.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå229Rπ −f (x + y) Dn (y) dy + f (x − 0) − f (x − y) Dn (y) dy , òî åñòü0f (x) − Sn (x, f ) = I1 + I2 ,(9.21)ãäåZπI1 =f (x + 0) − f (x + y) Dn (y) dy,(9.22)0ZπI2 =f (x − 0) − f (x − y) Dn (y) dy.(9.23)0Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (9.18) äëÿ ÿäðà Äèðèõëå, ïðèâåä¼ì ðàâåíñòâî (9.22) äëÿ èíòåãðàëà I1 ê âèäó (ðàññìîòðåíèå ðàâåíñòâà (9.23) äëÿ èíòåãðàëà I2 ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî):ZπI1 =1Gx (y) sin n +dy,2(9.24)0â êîòîðîì Gx (y) îçíà÷àåò ôóíêöèþGx (y) =f (x + 0) − f (x + y).y2π sin2(9.25)Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Gx (y) =y→0+0=1f (x + 0) − f (x + y)y1 0lim·(x + 0).= − fïðyπ y→0+0yπ2 sin2Ïîýòîìó ìîæíî äîîïðåäåëèòü ôóíêöèþ Gx (y), íå îïðåäåë¼ííóþ ïðè y = 0, å¼ ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì ïðè y → 0 + 0,230III. Ðÿäû Ôóðüå1 0ðàâíûì − fïð(x+0).
Èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà lim Gx (y)y→0+0πè ïîñëåäóþùåãî äîîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Gx (y) âûòåêàåò å¼ëîêàëüíàÿ îãðàíè÷åííîñòü â ïðàâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè y == 0, à èìåííî: íàéäóòñÿ σ ∈ (0, π) è M1 (x) > 0, ÷òî |Gx (y)| 66 M1 (x) äëÿ âñåõ y ∈ [0, σ). Íà îòðåçêå [σ, π] ôóíêöèÿGx (y), ñîãëàñíî (9.25), ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, ïîýòîìóîíà òîæå îãðàíè÷åíà, òî åñòü ñóùåñòâóåò M2 (x) > 0, ÷òî|Gx (y)| 6 M2 (x) äëÿ âñåõ y ∈ [σ, π].
Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Gx (y)îãðàíè÷åíà íà âñ¼ì îòðåçêå [0, π], òàê êàê ìîæíî óêàçàòüòàêîå M (x) = max{M1 (x), M2 (x)} > 0, ÷òî |Gx (y)| 6 M (x)äëÿ âñåõ y ∈ [0, π].Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ðàññìîòðèì äëÿ íåãî ÷èñε> 0. Ðàçîáü¼ì èíòåãðàë I1 , îïðåäåëî δ = min 1,4M (x)ëÿåìûé ôîðìóëîé (9.24), òî÷êîé δ ∈ (0, 1] íà ñóììó äâóõèíòåãðàëîâ I11 è I12 :Zδ1I1 = Gx (y) sin n +20|{zI11Zπ1dy + Gx (y) sin n +dy .2} |δ{z}I12Ìîäóëü ôóíêöèè |Gx (y)| íà îòðåçêå [0, π], à çíà÷èò è íà îòðåçêå [0, δ], îãðàíè÷åí âåëè÷èíîé M (x), ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà δ , ìîäóëü ïåðâîãî ñëàãàåìîãî |I11 | 6ε6 M (x) · δ 6 . Íà îòðåçêå [δ, π] ôóíêöèÿ Gx (y) ÿâëÿåòñÿ4êóñî÷íî-ãëàäêîé, ïîýòîìó, ñîãëàñíî ëåììå Ðèìàíà, ïðåäåëâòîðîãî ñëàãàåìîãî lim I12 = 0, òî åñòü äëÿ âñÿêîãî ε > 0n→∞íàéä¼òñÿ íîìåð N1 , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N1 ìîäóëüε|I12 | < . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð4N1 , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N1 ìîäóëü |I1 | 6 |I11 | + |I12 | <2319.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüåεε ε+ = . Àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåíèÿ èíòåãðàëà I2 , çà4 42äàâàåìîãî ðàâåíñòâîì (9.23), ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N2 , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N2εìîäóëü |I2 | < . Èòàê, ìû èìååì, ÷òî äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè2f (x) ∈ Q10 [−π, π] äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π] è äëÿ ïðîèçâîëüíîãîε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = max{N1 , N2 }, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N ìîäóëü ðàçíîñòè |f (x) − Sn (x, f )| 6 |I1 | + |I2 | <ε ε< + = ε.
À ýòî êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî lim Sn (x, f ) =n→∞2 2= f (x). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 9.2 (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå).Äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè f (x) ∈ C ∗ [−π, π] ∩ Q10 [−π, π] å¼ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå∞ [−π,π]a0 (f ) Xan (f ) cos nx + bn (f ) sin nx ⇒ f (x). (9.26)+2n=1<Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f (x) ∈ C ∗ [−π, π] ∩ Q10 [−π, π]. Ñîãëàñíî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé òåîðåìå 9.1 î ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè, ðÿä, ñòîÿùèé â ëåâîé ÷àñòè (9.26), òî åñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿäÔóðüå ôóíêöèè f (x), äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π] ñõîäèòñÿ êf (x). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ýòîãî ðÿäà. Ïóñòü n > 1. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåZπ1f (x) cos nx dx =ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, èìååì an (f ) =π−πZπ1sin nx π1bn (f 0 )= · f (x) ·, òî åñòüf 0 (x) sin nx dx = − −πn −π πnn−πbn (f 0 )an (f ) = −,nn = 1, 2, . .
. .(9.27)232III. Ðÿäû ÔóðüåÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè bn (f ) è an (f 0 ):bn (f ) =an (f 0 ),nn = 1, 2, . . . .(9.28)Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ îãðàíè÷åííîñòü êîñèíóñà è ñèíóñà äëÿâåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà, ðàâåíñòâà (9.27) è (9.28)è íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèìãåîìåòðè÷åñêèì, ïîëó÷àåì, ÷òî n-é ÷ëåí ðÿäà (9.26) äëÿâñåõ x ∈ [−π, π] äîïóñêàåò îöåíêó |an (f ) cos nx+bn (f ) sin nx|61111000 26 |an (f )|+|bn (f )| = ·|an (f )|+ ·|bn (f )| 6 |an (f )| + 2 +nn2n11+ |bn (f 0 )|2 + 2 , êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå2n 11|an (f ) cos nx+bn (f ) sin nx| 6 |an (f 0 )|2 +|bn (f 0 )|2 + 2 , (9.29)2nñïðàâåäëèâîãî äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π] è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè∞X1∗1ñõîäèòñÿ ñîãëàñf (x) ∈ C [−π, π] ∩ Q0 [−π, π]. Ðÿän2n=1∞X|an (f 0 )|2 + |bn (f 0 )|2 âûòåêàíî (2.12), à ñõîäèìîñòü ðÿäàn=1åò èç íåðàâåíñòâà Áåññåëÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ôóíêöèè f 0 (x) ∈ Q0 L2 [−π, π] ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå (8.26)1 .Ïîýòîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä (9.26) íà îòðåçêå [−π, π]1 Åñëèðåøèòü çàäà÷ó 24 èç 8 (ñì.
ñ. 218), òî ïîëó÷èì, ÷òî èíòåðåñóþùåå íàñ íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ ïðèíèìàåò âèä:∞|a0 (f 0 )|2 X 1+|an (f 0 )|2 + |bn (f 0 )|2 62πn=1Zπ−π|f 0 (x)|2 dx.2339. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüåìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (ñì. òåîðåìó 5.5) ñõîäèòñÿ íàýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Ò å î ð å ì à 9.3 (ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ðÿäà Ôóðüå). Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) ∈ C ∗ [−π, π] ∩ Q10 [−π, π], à å¼ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå èìååò âèä∞f (x) =a0 (f ) X+an (f ) cos nx + bn (f ) sin nx .2n=1(9.30)Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ ïðîèçâîäíîé f 0 (x) ìîæíî ïîëó÷èòü èçðÿäà (9.30) ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì:0f (x) ∼∞ Xnbn (f ) cos nx − nan (f ) sin nx .(9.31)n=1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.Êàê óæå îòìå÷àëîñü ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ôóíêöèÿ f 0 (x) ∈ Q0 L2 [−π, π](ðàçóìååòñÿ, ïîñëå îñðåäíåíèÿ ôóíêöèè f 0 (x) â òî÷êàõ å¼ðàçðûâà, ê êîòîðûì, åñòåñòâåííî, ïðè÷èñëÿþòñÿ è êîíöûîòðåçêà [−π, π]). Ðàññìîòðèì ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f 0 (x):∞a0 (f 0 ) Xf (x) ∼+an (f 0 ) cos nx + bn (f 0 ) sin nx .2n=10Íóëåâîé êîýôôèöèåíò Ôóðüå â ýòîì ñîîòíîøåíèè a0 (f 0 ) =Zππ11f (π) − f (−π)0=f (x) dx = f (x) == 0, òàê êàêπππ−π−πôóíêöèÿ f (x) ∈ C ∗ [−π, π], à èç ðàâåíñòâ (9.27) è (9.28), ïîëó÷åííûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 9.2, âûòåêàåò, ÷òîan (f 0 ) = nbn (f ),bn (f 0 ) = −nan (f );n = 1, 2, .
. . .234III. Ðÿäû ÔóðüåÏîýòîìó ñîîòâåòñòâèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà â (9.31)ïðîèçâîäíîé f 0 (x) ñïðàâåäëèâî. Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî â ýòîé òåîðåìå ðå÷ü èä¼ò ëèøü î ñïîñî0áå ïîëó÷åíèÿ ðÿäà Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (x), åñëè èçâåñòåí∗ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f (x) ∈ C [−π, π] ∩ Q10 [−π, π]. Âîïðîñ îñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà (9.31) â êàêîì áû òî íè áûëîñìûñëå çäåñü íå ðàññìàòðèâàåòñÿ .Ò å î ð å ì à 9.4 (ïîðÿäîê óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
