Специальные главы функционального анализа А.П. Горячев (845817), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) òàêîâà, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî m > 0 ôóíêöèèf (k) (x) ∈ C ∗ [−π, π],k = 0, 1, . . . , m; f (m) (x) ∈ Q10 [−π, π].∞∞Òîãäà êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an (f ) n=0 è bn (f ) n=1 ôóíê1öèè f (x) ñ ðîñòîì n óáûâàþò áûñòðåå, ÷åì m+1 :n11an (f ) = o,b(f)=o; n → ∞. (9.32)nnm+1nm+1Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .
Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ôîðìóë äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå1an (f ) =πZπf (x) cos nx dx, n = 0, 1, . . . ;−π1bn (f ) =πZπf (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . . ;−πïðîâåä¼ííîå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 9.2, äà¼ò (ñì. ðàâåíñòâà (9.27) è (9.28)), ÷òînan (f ) = −bn (f 0 ), nbn (f ) = −an (f 0 ),n = 1, 2, . . . . (9.33)9.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå235Ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì ýòè ôîðìóëû m + 1 ðàç. Åñëèîáîçíà÷èòü îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà m + 1 íà 4 çà k (ÿñíî,÷òî k ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü çíà÷åíèÿ 0, 1, 2 èëè 3), òî âðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷èì(m+1), k = 0,afn −b f (m+1) , k = 1,nnm+1 an (f ) =−an f (m+1) , k = 2,bn f (m+1) , k = 3;(9.34)(m+1),k=0,bfn a f (m+1) , k = 1,nm+1nbn (f ) =−bn f (m+1) , k = 2,−an f (m+1) , k = 3.Íî òàê êàê ôóíêöèÿ f (m+1) (x) ∈ Q0 L2 [−π, π], òî èç íåðàâåíñòâà Áåññåëÿ äëÿ ýòîé ôóíêöèè ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîéñèñòåìå (8.26) è íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èìååì, ÷òîlim an f (m+1) = lim an f (m+1) = 0.(9.35)n→∞n→∞Èç (9.34) è (9.35) âûòåêàåò (9.32).
Òåîðåìà äîêàçàíà.9.4. Ìåòîä Ôåéåðà ñóììèðîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ ÔóðüåÒåîðåìà 9.2, äîêàçàííàÿ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ãîâîðèò îòîì, ÷òî äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòèòðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå ê ðàñêëàäûâàåìîé ôóíêöèè f (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå äâóõ óñëîâèé: âî-ïåðâûõ, f (x) ∈ C ∗ [−π, π] (ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ236III. Ðÿäû Ôóðüåíåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [−π, π] è ïîñëå ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü (−∞, +∞) òàêæå îñòà¼òñÿ íåïðåðûâíîé), à âî-âòîðûõ, f (x) ∈ Q10 [−π, π] (ôóíêöèÿf (x) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, òî åñòü îáëàäàåò êóñî÷íîíåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé f 0 (x), èìåþùåé íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, ïðè÷¼ì âñå ýòè òî÷êè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà).
Ïåðâîå óñëîâèå íå òîëüêî äîñòàòî÷íî,íî è íåîáõîäèìî: äåéñòâèòåëüíî, åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèéðÿä (9.1) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [−π, π], òî è ñóììà ýòîãîðÿäà f (x) ∈ C ∗ [−π, π] (òàê êàê âñå åãî ñëàãàåìûå ïðèíàäëåæàò C ∗ [−π, π]). Âòîðîå æå óñëîâèå íåîáõîäèìûì íå ÿâëÿåòñÿ è ìîæåò áûòü îñëàáëåíî. Îäíàêî öåëèêîì îòáðîñèòüåãî íåëüçÿ. Äåëî â òîì, ÷òî åù¼ â 1876 ã. äþ Áóà-Ðåéìîí1ïîñòðîèë ïðèìåð ôóíêöèè f (x) ∈ C ∗ [−π, π], ðÿä Ôóðüå êîòîðîé ðàñõîäèòñÿ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïî ðÿäó Ôóðüå ôóíêöèè f (x) ∈ C ∗ [−π, π]âîññòàíîâèòü ïîðîäèâøóþ åãî ôóíêöèþ f (x), Ôåéåð ïðåäëîæèë ïðèìåíèòü ê ðÿäó Ôóðüå ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ ñðåäíèõàðèôìåòè÷åñêèõ , ðàññìîòðåííûé íàìè â 4.
Ýòîò ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå ìåòîäà Ôåéåðà . Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Ðàññìîòðèì n-þ ÷àñòè÷íóþ ñóììó Sn (x, f ) òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f (x) è ïðåäñòàâèì å¼ ÷åðåç ÿäðîÄèðèõëå (ñì. (9.14) è (9.15)):na0 X(ak cos kx + bk sin kx) =+Sn (x, f ) =2k=1Zπ=f (x + y)Dn (y) dy.(9.36)−π1 P.Du Bois-Reymond. Untersuchungen uber die Convergenz undDivergenz der Fourierschen Darstellungsrmen // Abhadl. Akad. Wissensch. Munchen, 1876, T.
12, S. 1103.9. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå237Ââåä¼ì n-þ ñóììó Ôåéåðà êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüån1 Xσn (x, f ) =Sk (x, f ).n + 1 k=0Èç (9.36) ñëåäóåò, ÷òî σn (x, f ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäån1 Xσn (x, f ) =n + 1 k=0Zπ=Zπf (x + y)Dk (y) dy =(9.37)−πf (x + y) Φn (y) dy,−πãäån1 XΦn (y) =Dk (y)n + 1 k=0(9.38) ÿäðî Ôåéåðà .
Ïðåîáðàçóåì ÿäðî Ôåéåðà ïîäîáíî ÿäðó Äèðèõëå (ñì. ïðåîáðàçîâàíèÿ íà ñ. 227). Èñïîëüçóÿ(9.18),13y1y·+èç (9.38) èìååì Φn (y) =sin + sinyn + 1 2π sin2221y+ · · · + sin n += (óìíîæèì è ðàçäåëèì íà 2 sin ïðè22y1y2 sin sin +y 6= 2πm, ãäå m ∈ Z) =y224π(n + 1) sin22y3yy11+2 sin sin+ · · · +2 sin sin n +=y×22224π(n+1) sin22× 1 − cos y + cos y − cos 2y + · · · + cos ny − cos(n + 1)y =238III. Ðÿäû Ôóðüån+11 − cos(n + 1)y, à òàê êàê 1 − cos(n + 1)y = 2 sin2y,y24π(n + 1) sin22òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:=n+1 2siny12Φn (y) =y .2π(n + 1)sin2(9.39)Ïîäîáíî ôîðìóëå (9.18) äëÿ ÿäðà Äèðèõëå, òîëüêî ÷òîïîëó÷åííîé ôîðìóëå (9.39) äëÿ ÿäðà Ôåéåðà, âûâåäåííîéïðè y 6= 2πm (m ∈ Z), ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë è ïðè y = 2πm,åñëè è çäåñü íàéòè ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (9.39) ïðè0y → 2πm.  ñàìîì äåëå, ðàñêðûâàÿ íåîïðåäåë¼ííîñòè ïî0ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåïðåäåëû1y→2πm 2π(n + 1)limsinn+1 2y n+12y = 2π , m = 0, ±1, ±2, .
. . .sin2Îòìåòèì, ïîäîáíî ñâîéñòâàì ÿäðà Äèðèõëå (9.14), ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÿäðà Ôåéåðà (9.38):1. Φn (y) > 0;2. Φn (y + 2π) = Φn (y);3. Φn (−y) = Φn (y);Rπ4.Φn (y) dy = 1;−π5. Äëÿ âñÿêîãî δ ∈ (0, π) ïîñëåäîâàòåëüíîñòüYδΦn (y) ⇒ ϕ(y) ≡ 0, ãäå Yδ ≡ {y : δ 6 |y| 6 π}.(9.40)2399.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû ÔóðüåÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïåðâûå ÷åòûðå ñâîéñòâà âûòåêàþòèç ñâîéñòâ (9.16) ÿäðà Äèðèõëå, à òàêæå èç (9.38) è (9.39), àïîñëåäíåå ñâîéñòâî èç òåîðåìû 5.1 î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òàê êàê0 6 Φn (y) 61δ4π(n + 1) sin2äëÿ âñåõ y ∈ Yδ .2Ò å î ð å ì à 9.5 (òåîðåìà Ôåéåðà). Äëÿ âñÿêîé∞ ôóíêöèè∗f (x) ∈ C [−π, π] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü σn (x, f ) n=0 å¼ ñóììÔåéåðà ðàâíîìåðíî íà [−π, π] ñõîäèòñÿ ê f (x).Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f (x) ∈ C ∗ [−π, π]. Òàê êàê îíà íåïðåðûâíà íà îòðåçêå[−π, π], òî îíà, åñòåñòâåííî, îãðàíè÷åíà íà ýòîì îòðåçêå, òîåñòü íàéä¼òñÿ òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî|f (x)| 6 Mäëÿ âñåõ x ∈ [−π, π].(9.41)Âïðî÷åì, ñ÷èòàÿ ôóíêöèþ f (x) ïåðèîäè÷åñêè ïðîäîëæåííîé ñ ïåðèîäîì T = 2π íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (9.41) âûïîëíÿåòñÿ íå òîëüêî äëÿ âñåõx ∈ [−π, π], íî è äëÿ âñåõ x ∈ (−∞, +∞).
Ïðè ýòîì, òàêêàê f (x) ∈ C ∗ [−π, π] è, ñëåäîâàòåëüíî, f (−π) = f (π), òî,ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ íà ñ. 223, ïåðèîäè÷åñêè ïðîäîëæåííàÿôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà (−∞, +∞). Ñòàëî áûòü,îíà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [−2π, 2π], è ïîýòîìóðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ýòîì îòðåçêå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäëÿ âñÿêîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè òàêîå δ ∈ (0, π), ÷òî äëÿëþáûõ x0 ∈ [−2π, 2π] è x00 ∈ [−2π, 2π] òàêèõ, ÷òî |x0 − x00 | < δñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî|f (x0 ) − f (x00 )| <ε.2(9.42)240III. Ðÿäû ÔóðüåÑîãëàñíî ïÿòîìó ñâîéñòâó ÿäðà Ôåéåðà (9.40) ïîñëåäîâàYδòåëüíîñòü Φn (y) ⇒ ϕ(y) ≡ 0, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0íàéä¼òñÿ íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâî (ñì. òàêæå ïåðâîå ñâîéñòâî ÿäðà Ôåéåðà):0 6 Φn (y) <ε9πMäëÿ ëþáîãî y ∈ Yδ .(9.43)Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ìîæíî óêàçàòü íîìåð N ,÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ ëþáûõ x ∈ [−π, π] ìîäóëü ðàçíîñòè (ñì.
(9.37) è (9.40), ïåðâîå è ÷åòâ¼ðòîå ñâîé Zπñòâî) äîïóñêàåò îöåíêó |f (x)−σn (x, f )| = f (x)Φn (y) dy −−πZπ− Zπf (x + y)Φn (y) dy 6 |f (x) − f (x + y)|Φn (y) dy , òî åñòü−π−π|f (x) − σn (x, f )| 6 I1 + I2 + I3 ,ãäåI1 =I2 =I3 =−δR−πRδ−δRπ(9.44)|f (x) − f (x + y)|Φn (y) dy,|f (x) − f (x + y)|Φn (y) dy,|f (x) − f (x + y)|Φn (y) dy.δÍî ñîãëàñíî ïåðâîìó è ÷åòâ¼ðòîìó ñâîéñòâàì ÿäðà Ôåéåðà (9.40), à òàêæå íåðàâåíñòâó (9.42), èìååì, ÷òîεI2 62Zδ−δεΦn (y) dy 62ZπΦn (y) dy =−πε,2(9.45)9.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå241à èç (9.41) è (9.43), êðîìå òîãî, âûòåêàåò, ÷òî ñóììà äâóõîñòàâøèõñÿ èíòåãðàëîâ (I1 + I3 ) äîïóñêàåò îöåíêóZI1 + I3 = |f (x) − f (x + y)|Φn (y) dy 6YδZ6 2MεεΦn (y) dy 6 2M ·· 2π < .9πM2(9.46)YδÏîýòîìó èç (9.44), (9.45) è (9.46) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ìîæíî óêàçàòü íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ ëþáûõ x ∈ [−π, π] ìîäóëü ðàçíîñòèε ε|f (x) − σn (x, f )| 6 I1 + I2 + I3 < + = ε. À ýòî è îçíà÷àåò,2 2[−π,π]÷òî σn (x, f ) ⇒ f (x).
Òåîðåìà äîêàçàíà.Òå î ð å ì à 9.6 (òåîðåìàÂåéåðøòðàññà). Ñèñòåìà ôóíê∞öèé 1, cos nx, sin nx n=1 çàìêíóòà â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå C∗ [−π, π].Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàìêíóòîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé è íîðìû â ïðîñòðàíñòâå C∗ [−π, π],íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè f (x) èç ïðîñòðàíñòâà C∗ [−π, π] äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäóòñÿ íàòóðàëüíîå n è òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåínα0 XTn (x) =αk cos kx + βk sin kx ,+2k=1 n nîïðåäåëÿåìûé ñâîèìè êîýôôèöèåíòàìè αk k=0 è βk k=1 ,÷òî íîðìà ðàçíîñòè kf −Tn kC < ε, òî åñòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãîx ∈ [−π, π] ìîäóëü ðàçíîñòè |f (x) − Tn (x)| < ε.Ïîñëå ýòîãî ðàçúÿñíåíèÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû 9.6 ñðàçó âûòåêàåò èç òåîðåìû 9.5.
Äåéñòâèòåëüíî, â êà÷åñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà Tn (x) ìîæíî âûáðàòü ñóììó242III. Ðÿäû ÔóðüåÔåéåðà σn (x, f ) (à îíà ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ ÷àñòè÷íûõ ñóìì òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà)ñ òàêèì íîìåðîì n, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x ∈ [−π, π] ìîäóëü ðàçíîñòè |f (x) − σn (x, f )| < ε. Òåîðåìà äîêàçàíà.∞Ñ ë å ä ñ ò â è å.
Ñèñòåìà ôóíêöèé 1, cos nx, sin nx n=1 çà∗ìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå C L2 [−π, π].Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ∗1f (x) èç ïðîñòðàíñòâàC∗ L2 [−π, π]. Òàê∞êàê f (x) ∈ C [−π, π] ,à ñèñòåìà ôóíêöèé 1, cos nx, sin nx n=1 çàìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå C∗ [−π, π], òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí Tn (x), ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π] ìîäóëüε. Íî òîãäà êâàäðàò íîðìûðàçíîñòè |f (x)−Tn (x)| < √2π + 1Zπε22ðàçíîñòè kf −Tn k2 = |f (x)−Tn (x)|2 dx 6· 2π < ε2 ,2π + 1−πòî åñòü kf − Tn k2 < ε.
Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà 9.6 ãîâîðèò î òîì, ÷òî ëþáóþíåïðåðûâíóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Èìååòñÿ è äðóãàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà, ãîâîðÿùàÿ î òîì, ÷òî ëþáóþ íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå ôóíêöèþ (íåîáÿçàòåëüíî èìåþùóþ ðàâíûå çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ, òî åñòü,âîçìîæíî, ñòàíîâÿùóþñÿ ðàçðûâíîé ïîñëå ïåðèîäè÷åñêîãîïðîäîëæåíèÿ) ìîæíî ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðèáëè1 Íàïîìíèì,÷òî ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C∗ [−π, π]è C L2 [−π, π] ñîâïàäàþò êàê ìíîæåñòâà (îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõæå ôóíêöèé), ñîâïàäàþò êàê ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà (ñëîæåíèå èóìíîæåíèå íà ÷èñëà â íèõ îäíè è òå æå , íî ðàçëè÷àþòñÿ êàê ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà (íîðìà ôóíêöèè â íèõ îïðåäåëåíàïî-ðàçíîìó ).∗2439.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüåçèòü àëãåáðàè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Îäíàêî ýòà òåîðåìà âäàííîì êóðñå íå èñïîëüçóåòñÿ è ïîýòîìó ìû å¼ óñòàíàâëèâàòü íå áóäåì.9.5. Áàçèñíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåìÒ å î ð å ì à 9.7. Îðòîíîðìèðîâàííàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿñèñòåìà (8.29):cos nx sin nx1√ , √ , √ππ2πÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìñòðàíñòâå Q0 L2 [−π, π].∞áàçèñîìn=1â åâêëèäîâîì ïðî-Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) ∈ Q0 L2 [−π,π].Ñëåäîâàòåëüíî, îíà îãðàíè÷åíà, òî åñòü ñóùåñòâóåò M > 0,÷òî|f (x)| 6 M äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π].(9.47)Çàïèøåì òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) (âêëþ÷àÿ êîíöû îòðåçêà [−π, π]) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:−π = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = π.Îáîçíà÷èì∆xk = xk − xk−1 , k = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
