ВТА лекции (845816)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 1.Кратные интегралы. Двойной интеграл§1. Двойной интеграл1.Определение двойного интегралаДля квадрируемой области D ее площадь будем обозначать µD . Пусть f(x,y) ограниченнаяфункция, определенная в квадрируемой области D. Разобьем область D на части непрерывнымилиниями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема.Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n - 1 называется разбиением области ∆={Dk}. Вкаждой из подобластей выберем точку Mk=(ξk,ηk)∈Dk и обозначим этот набор точек Ξ ={Mk}.Интегральной суммой для набора f, ∆, Ξ называется выражениеn −1σ ( f , ∆, Ξ) = ∑ f ( M k ) µDk(1)k =0Величина λ(∆)= max dDk , где dDk – диаметр множества Dk, называется характеристикой разбиения ∆0≤ k < n.

Условие {∀k: Mk∈Dk} мы будем обозначать Ξ∈∆.Определение. Предел интегральных сумм σ(f,∆, Ξ) при λ(∆)→0 (если он существует и не зависитот выбора разбиений и промежуточных точек ) называется двойным интегралом от функции f наD и обозначается∫∫ f ( x, y )dxdy = λ lim(∆)→0Dσ ( f , ∆, Ξ ) .Для интегралов используют также обозначения∫ f ( X )dX = ∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy .DDDБолее точно это определение выглядит следующим образом:∃J∀ε>0∃δ>0:из условия (λ(∆)<δ, Ξ∈∆) следует |σ(f,∆, Ξ) - J|<ε.Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой (по Риману) на D.Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функцияинтегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений∆m этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю λ(∆m)→0 и c некоторым наборомпромежуточных точек Ξm∈∆m для каждого из разбиений.

Тогда для числовой последовательностиσm=σ(f,∆ m,Ξ m) будет выполнено равенство∫∫ f ( x, y )dxdy = lim σm →∞Dm.Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностьюинтегральных сумм.Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как дляфункции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдетсяпоследовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности.Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделатьсоответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых.Для этого следует выбирать в качестве промежуточной точки этого слагаемого членыпоследовательности {P j}. Таким образом, условие стремления к нулю характеристики разбиения неможет гарантировать сходимость интегральных сумм. На рисунке таким слагаемым интегральнойсуммы будет f ( P ) µD1 , где в качестве P можно выбирать Pj , начиная с номера 5.Таким образом, интегральную суммуn−1n−1k =0k =2σ ( f , ∆, Ξ m ) = ∑ f ( M k ) µDk = f ( M 0 ) µD0 + f ( Pm ) µD1 + ∑ f ( M k ) µDkможно сделать сколь угодно большой выбором подходящего Pm (m=5,6,…).2.Геометрический смысл двойного интеграла.Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которыхслужат области Dk и высотой f(Mk).

При достаточно мелком разбиении ∆ этот суммарный объеместественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции (поверхность z=f(x,y), считаем, что f >0) и плоскостью z=0. Точным значением объема указаннойобласти является интеграл∫∫ f ( x, y )dxdy .D§2. Суммы Дарбу и их свойства1.Определения.Пусть функция f(x,y) определена на D и ∆={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбуназывается сумма2s(f,∆)=n−1∑ m µDkk =0k, mk = inf f ( M ) .M ∈D kВерхней суммой Дарбу называется суммаS(f,∆)=n−1∑Mk =0kµDk , Mk = sup f ( M ) .M ∈D k2.Свойства сумм Дарбу.Определение.

Если разбиение ∆2 получено из разбиения ∆1 добавлением некоторого числа новыхлиний, то говорят, что разбиение ∆2 следует за разбиением ∆1 (или ∆2 является более мелким, чем∆1), при этом пишут ∆1 p ∆2 .3) Для любого разбиения ∆ и набора промежуточных точек Ξ∈∆ имеют место соотношенияs(f,∆) ≤ σ( f,∆, Ξ) ≤ S(f,∆), s(f,∆) = inf σ( f,∆, Ξ), S(f,∆) = sup σ( f,∆, Ξ).Ξ∈∆Ξ∈∆Это следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.2) Если ∆1 p ∆2 два разбиения D, тоs(f,∆1) ≤ s(f,∆2) , S(f,∆2) ≤ S(f,∆1) .Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрастать, а верхниесуммы могут только уменьшаться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второеразбиение получено из первого разбиением некоторого множества D′k первого разбиения ∆1 на дваквадрируемых множества D′′k, D′′k+1.Рассмотрим нижние суммы Дарбу.

Введем обозначенияm'k = inf f ( M ) , m' 'k = inf f ( M ) , m' 'k +1 = infM ∈D ' kM ∈D ' ' kM ∈D ' ' k +1f ( M ) . Нижняя грань по всему множеству D′kбудет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m′k≤ m′′k , m′k≤ m′′k+1 .Для нижних сумм Дарбу можно записатьs(f,∆1)=m′k µD′k +...,s(f,∆2) = m′′k µD′′k + m′′k+1 µD′′k+1 +...В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми эти суммы отличаются. Таким образом,разность суммs(f,∆2) - s(f,∆1) = m′′k µD′′k + m′′k+1 µD′′k+1 - m′k µD′k = m′′k µD′′k + m′′k+1 µD′′k+1 -3- m′k (µD′′k +µD′′k+1) = (m′′k - m′k) µD′′k +( m′′k+1 - m′k ) µD′′k+1 ≥ 0.Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.1) Для любых разбиений ∆1 , ∆2 данного отрезка справедливо неравенствоs(f,∆1) ≤ S(f,∆2).Обозначим через ∆3 = ∆1 ∪∆2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений.Очевидно ∆1 p ∆3 , ∆2 p ∆3 .

Тогда, как это следует из предыдущего свойстваs(f,∆1) ≤ s(f,∆3) ≤ S(f,∆3) ≤ S(f,∆2),откуда и следует доказываемое неравенство.§3. Критерий интегрируемости1.Нижний и верхний интегралы.Определение. Пусть ∆={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величинуωk (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk= inf f ( M ) , Mk = sup f ( M ) .M ∈D kM ∈D kотметим, чтоS(f,∆) - s(f,∆) =n−1∑ ω ( f )µDk =0kk.Определение.

Нижним интегралом I называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу I = sups(f,∆), где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям области D. Верхний интегралI определяется, как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу I = inf S(f,∆) ,∆), где нижняя граньберется по всевозможным разбиениям области D.Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Этоследует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например,значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизумножества значений верхних сумм Дарбу.Теорема. Для любого разбиения ∆ данного отрезка справедливы неравенстваs(f,∆) ≤ I ≤ I ≤ S(f,∆).Доказательство.

Не очевидным является только неравенство I ≤ I . Предположим противное, т.е.,что I < I . Выберем непересекающиеся ε окрестности точек I , I , I +ε < I - ε. По определениямточных граней найдутся два разбиения ∆1 , ∆2 такие, что S(f,∆1)< I +ε < I - ε < s(f,∆2), чтопротиворечит свойству сумм Дарбу s(f,∆2) ≤ S(f,∆1) .2.Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо идостаточно, чтобы разность сумм ДарбуS(f,∆) - s(f,∆) стремилась к 0 при λ(∆)→0.4Т. е.∃∫ f ( x, y)dxdy⇔∀ε>0∃δ>0∀∆,λ(∆)<δ: S(f,∆) - s(f,∆)<ε.DДоказательство.

Необходимость. Пусть функция интегрируема и J=∫ f ( x, y)dxdy . Возьмем какоеDлибо ε >0 для него ∃δ>0 такое, что при λ(∆)<δ будет выполнено неравенство|J - σ(f,∆,Ξ)|<ε/3 ( независимо от выбора Ξ∈∆ ).так как s(f,∆) = inf σ( f,∆, Ξ), S(f,∆) = sup σ( f,∆, Ξ), тоΞ∈∆Ξ∈∆|S(f,∆) - J|≤ ε /3, |J - s(f,∆)|≤ ε /3,тогда|S(f,∆) - s(f,∆)|=|S(f,∆) - J + J - s(f,∆)| ≤ |S(f,∆) - J| +| J - s(f,∆)| ≤2ε<ε .3Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточномелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют иs(f,∆) ≤ I ≤ I ≤ S(f,∆), I = sup s(f,∆), I = inf S(f,∆).Так как lim (S(f,∆) - s(f,∆)) = 0 , то I = I . Положим J = I = I , при этом |σ(f,∆,ξ) – J | ≤ S(f,∆) λ (∆)→0s(f,∆).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций