ВТА лекции (845816), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогдаr r522µФ= ∫∫ EG − F 2 dudv .DEG − F 2 dudv = A2 + B 2 + C 2 dudvВыражениеили 1 + p 2 + q 2 dxdy в случае явного задания, называется элементом поверхности (точнее,площадью элемента поверхности).3. Определение поверхностного интеграла 1-го родаПусть задана квадрируемая поверхность Φ и на ней функция f(x,y,z). Возьмем какое-либоразбиение {Φk } поверхности Φ, выберем промежуточные точки Mk∈ Φk и составим суммы видаσ = ∑ f ( M k ) µΦ k .kОпределим характеристику разбиения λ(∆)=max dΦk (максимальный из диаметров).Поверхностным интегралом первого рода называется предел сумм σ при стремлении к нулю λ(∆),при условии, что он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек. Поверхностныйинтеграл первого рода обозначается∫∫ f ( x, y, z )dS , или ∫∫ f ( x, y, z )dS для замкнутой поверхности.ΦΦ4.
Существование и вычисление интеграла 1-го рода4.1. Поверхность Φ задана явно z = z(x,y), (x,y)∈ D (компакт),где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определенаи непрерывна на Φ. Тогда существует интеграл∫∫ f ( x, y, z )dS , равныйΦ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [x, y, z ( x, y )]Φ1 + p 2 + q 2 dxdy , p=D∂z∂z, q=.∂x∂yДоказательство. Пусть разбиению {Фk} соответствует разбиение {Dk} области D. Промежуточнымточкам {Mk}, Mk ∈ Фk , соответствуют точки {Nk} , Nk ∈ Dk . Обозначим F(x,v)=f(x,y,z(x,y)). Дляплощадей µΦ k получаемµΦk= ∫∫ 1 + p 2 + q 2 dxdy = 1 + p 2 + q 2DkPkµDk .Тогда интегральные суммы будут равныσ=∑ f (Mk=) µΦ k = ∑ F ( N k ) 1 + p 2 + q 2k∑ F (P )kkk1 + p2 + q2PkPkµDk =µDk + ∑ [F ( N k ) − F ( Pk )] 1 + p 2 + q 2kПервая из сумм является интегральной для∫∫ f [x, y, z ( x, y)]PkµDk .1 + p 2 + q 2 dxdy , вторая сумма можетDбыть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения.
Последнее утверждениеследует из равномерной непрерывности функции F(x,y)=f(x,y,z(x,y)) на D.534.2. Поверхность задана параметрическиx = x(u, v) Φ: y = y (u , v), (u, v) ∈ Dz = z (u , v) rс непрерывно дифференцируемыми функциями x(u,v), y(u,v), z(u,v). Вектор N =(A,B,C) ≠ 0 в D.f(x,y,z) непрерывна на Φ. Тогда поверхностный интеграл существует и равен∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [x(u, v), y(u, v), z (u, v)]ΦA2 + B 2 + C 2 dudv .DДоказательство аналогично предыдущему.
Поверхность разбивается на подобласти {Φk } ,соответствующие разбиению {Dk } области изменения параметров D и выбираются промежуточныеточки Mk∈ Φk и соответствующие точки Nk ∈ Dk . F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) . ТогдаµΦk= ∫∫ A2 + B 2 + C 2 dudv = A2 + B 2 + C 2Dkσ=∑ f (Mk) µΦ k = ∑ F ( N k )kPkA2 + B 2 + C 2Pkk∑ F (P )kA2 + B 2 + C 2Pkkинтегральной дляµDk . И далееµDk =µDk + ∑ [F ( N k ) − F ( Pk )] A2 + B 2 + C 2k∫∫ f [x(u, v), y(u, v), z (u, v)]PkµDk . Первая сумма являетсяA2 + B 2 + C 2 dudv , вторая будет стремиться к нулюDпри стремлении к нулю характеристики разбиения.5.
Простейшие свойства интегралов первого рода1)∫∫ dS =µΦ.Φ2)∫∫ (αf + βg )dS =α ∫∫ fdS +β ∫∫ gdSΦ3)Φ∫∫ fdS = ∫∫ fdS + ∫∫ fdSΦ1 ∪ Φ 24)ΦΦ1Φ2∫∫ fdS ≤ ∫∫ f dS .ΦΦВсе эти свойства следуют из соответствующих свойств двойных интегралов, с учетом формулысведения поверхностного интеграла к двойному.§2. Поверхностные интегралы 2-го рода1.Определение стороны поверхностиДля поверхностей, которые нам встречались до сих пор можно ввести понятие стороныповерхности. Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние поверхности. Их можновыкрасить в два цвета так, что один цвет не будет переходить в другой.
Аналитически сторонуповерхности можно определить, как множество всех единичных нормалей к поверхности таких, чтолюбые две нормали данной стороны получаются одна из другой непрерывным движением по54поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности. Существуютповерхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности называются односторонними.Примерами односторонних поверхностей могут служить лист Мёбиуса и «бутылка» Клейна.Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей. Поверхностьназывается двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной точкиповерхности при движении по любому замкнутому пути, лежащем на поверхности и выходящем изэтой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали.Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в исходнуюточку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют односторонней.Предполагается, что при движении вдоль пути, нормаль изменяется непрерывно.
Для листа Мебиусатакой линией, например, является продольная пунктирная линия. Если произвести разрез по этойлинии, то поверхность не распадется на две части, как это может показаться на первый взгляд, аостанется единой.В дальнейшем, в этом курсе будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокупность нормалей) называетсяориентированной поверхностью.Явно заданную поверхность Φ: z = f(x,y) называют положительно ориентированной, если cos (n,k) >0. Поверхность Φ: y = f(x,z) называют положительно ориентированной, если cos (n,j) > 0.Поверхность Φ: x = f(y,z) называют положительно ориентированной, если cos (n,i) > 0.55Для замкнутой поверхности положительной ориентацией называется выбор внешней нормали2.
Определение поверхностного интеграла 2-го родаРассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D. Для заданногоразбиения {Фk } этой поверхности и набора промежуточных точек {Мk } обозначим nk единичнуюнормаль в точке Мk к поверхности Ф. Через Dk обозначим проекцию Фk на плоскость x y.
Дляфункции f , определенной на Ф рассмотрим интегральные суммы видаσ=∑ f (Mk)µDk sign cos(k, nk).kЗдесь k орт оси Oz. Отметим, что в данном определении множитель sign cos(k, nk) не зависит от k иможет принимать два значения, в зависимости от ориентации поверхности, либо 1, либо –1.Замечание. Таким образом, в случае задания поверхности в виде z = z(x,y) этот множитель независит от k и интегральные суммы будут равны σ =f ( M k )µDk , либо σ = −f ( M k )µDk в∑∑kkзависимости от ориентации поверхности.Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм σ при стремлении к нулюхарактеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения ипромежуточных точек.
Обозначается интегралσ.∫∫ f ( x, y, z )dxdy = limλ→0ΦЗамечание. Если Ф- та же поверхность с противоположной ориентацией, то∫∫ f ( x, y, z )dxdy = − ∫∫ f ( x, y, z )dxdy .Φ−ΦАналогично определяются интегралы∫∫ f ( x, y, z ) dydz , ∫∫ f ( x, y, z ) dzdx , в случае, еслиповерхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. В этих56определения порядок дифференциалов менять нельзя. Интегральные суммы будут иметь видf ( M k )µDk sign cos(i, nk),f ( M k )µDk sign cos(j, nk). i,j –орты координатных осей Ox, Oy.∑∑kkРассмотрим векторное поле V=(P,Q,R) определенное на ориентированной поверхности Ф, котораяоднозначно проектируется на все координатные плоскости.
В этом случае можно рассмотретьинтеграл∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Pdydz + ∫∫ Qdzdx + ∫∫ RdxdyΦΦΦ.ΦЕсли поверхность Ф разбивается на отдельные части Фk, каждая из которых однозначнопроектируется на все координатные плоскости, то∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy определяется, какΦсумма интегралов по отдельным частям∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∑ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy .Φk Φk3. Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го родаОриентированная поверхность задана явно Ф : z = z(x,y) на D , с непрерывно дифференцируемойфункцией z(x,y).
R(x,y,z) – непрерывна на Ф. Тогда поверхностный интеграл∫∫ Rdxdy существует и вычисляется по формулеΦ∫∫ R( x, y, z )dxdy = or Ф ∫∫ R( x, y, z ( x, y ))dxdy .ΦDЗдесь и в дальнейшем or Ф = 1 для положительно ориентированной поверхности и or Ф = -1 впротивном случае.Доказательство. Для заданных разбиений {Фk } , {Dk }, промежуточных точек {Мk} ={(xk,yk,z(xk,yk)}единичных нормалей nk в точках Мk к поверхности Ф обозначим cos γk = cos (nk ,k) .
Тогда дляинтегральных сумм получимσ=∑ R( Mk)µDk sign cos γk = or Фk∑ R( x , y , z ( x , y ))µDkkkkk.kИз последнего равенства и следует требуемое утверждение. Аналогичные формулы имеют место дляповерхностей вида y=y(z, x), x=x(y, z).∫∫ P( x, y, z )dydz = or Ф ∫∫ P( x( y, z ), y, z )dydz , ∫∫ Q( x, y, z )dzdx = or Ф ∫∫ Q( x, y( x, z ), z )dzdx .ΦΦDD4. Связь с интегралом 1-го родаКак отмечалось ранее µΦk=∫∫1 + p 2 + q 2 dxdy = 1 + p 2 + q 2PkDkµDk= cosη kµDk =1µDk илиcosη kµΦ k , cosη k - третий направляющий косинус единичной нормали к поверхносити Ф вточке Pk.
Если Mk∈Φk и cos γk третий направляющий косинус единичной нормали к поверхносити Ф вточке Mk , то sign cos γk = sign cos ηk . Поэтому для функции R(x,y,z), заданной на поверхности,получим57σ=∑ R( Mk)µDk sign cos γk =∑ R( Mk∑ R( Mk) cosη kµΦ k sign cos ηk =kk) cos ηk µΦ k = ∑ R( M k ) cos γk µΦ k + ∑ R( M k ) (cos ηk - cos γk ) µΦ k .kkkПервая сумма является интегральной для∫∫ R( x, y, z ) cos γ dS , вторая сумма стремится у нулю приΦнеограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченностифункции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos γ (x,y,z)(функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функциейна поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
