ВТА лекции (845816), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Вычислить()()()∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y)dz . С- контур x=a sin t, y=a sin t cos t, z=a cos t22C, t∈[0,π].2xyaa2Контур лежит в плоскости x+z=a , далее = tg t = , y2=x z , y2=x (a – x) , или  x −  + y 2 =.yz24a aТаким образам, этот контур является эллипсом с полуосями ,.2 264ri∂rot V =∂xy−zrj∂∂yz−xrk1∂(1,0,1) , rot V , n = −2 2 ,= (−2,−2,−2) , n =∂z2x− y()∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y)dz = ∫∫ (rot V ,dS ) = −2 2 ∫∫ dS = −2CΦΦ2πa a= −πa 22 23.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространствеЛемма. Для того, чтобы интеграл∫(V, ds)(1)Γне зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А , В ) необходимо идостаточно, чтобы интеграл (1) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего вобласти (циркуляция поля равна нулю по любому кортуру из области).Доказательство для пространственной области проводится так же, как и в плоском случае.Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкойзамкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D можно указать ориентированную допустимуюповерхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.Примеры.

Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностноодносвязной областью.Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути в поверхностно односвязной областиD, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.Доказательство. Достаточность (дано: rot V =0 ) следует из формулы Стокса и сформулированнойлеммы.Необходимость. Предположим противное, существует точка М0 (её можно считать внутреннейточкой области D), где rot V ≠ 0.

Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будетотлична от нуля. Пусть, например,∂R( M 0 ) ∂Q ( M 0 )−= h > 0. Найдется окрестность этой точки, в∂y∂z65которой будет выполняться условие∂R( M ) ∂Q ( M ) h> и которая будет лежать в D.−∂z2∂yСечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0обозначим K (круг радиуса ε, ориентированный ортом оси x) , а его границу – через C (окружностьс согласованной ориентацией). D-проекция K на плоскость yOzИспользуя формулу Стокса, получим противоречие:() ∫∫  ∂∂Ry − ∂∂Qz dydz = ∫∫  ∂R( x∂y, y, z) − ∂Q( x∂z, y, z) dydz > h2 πε0 = ∫ V , ds =C0K02.DТеорема 2.

Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностноодносвязной области D , необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение былополным дифференциаломPdx+Qdy+Rdz = du.Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то P =∂u∂u∂u,Q=, R=. Откуда∂x∂z∂yследует, что rot V =0 .Необходимость. Определим функцию u по формулеM ( x, y, z )u(x,y,z) =∫(V, ds) ,M0где М0(x0, y0, z0) – фиксированная точка в области D , а интегрирование ведется по некоторому пути,соединяющему точки М0 и М.

Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определениекорректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. P =Q=∂u∂u∂u, R=. Вычислим производнуюнепосредственно по определению.∂y∂z∂xДля отрезка ММ′ используем параметризацию66∂u,∂xx + ∆xt y , t ∈ [0,1] . Тогдаz 1u ( x + ∆x, y, z ) − u ( x, y, z )1=P( x, y, z )dx =P( x + ∆xt , y, z )∆xdt =P(x+θ∆x,y,z), откуда и∫∆x ∫0∆x∆x M1M'следует требуемое соотношение для частной производной∂u.

Аналогично проводится∂xдоказательства для других производных.§4. Формула Остроградского ГауссаОпределение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющаяследующему свойству. Любая замкнутая, кусочно-гладкая, не самопересекающаяся поверхность,расположенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутриобласти нет полостей.Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этойобласти и имеющую там непрерывную производнуюположительно, обозначим ∂ W .∂R. Границу этой области, ориентированную∂zТогда справедлива формула Остроградского Гаусса∂R∫∫∫ ∂z dxdydz = ∫∫ Rdxdy .∂WWПри доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любаявертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству).

В этом случае область W можноописать, как геометрическое место точек следующего вида:W = {(x,y,z):z∈[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)∈D},где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае∂Rdxdydz =∫∫∫∂zW∫∫ dxdyDz2 ( x, y )∂Rdz = ∫∫{R[ x, y, z2 ( x, y )] − R[ x, y, z1 ( x, y )]}dxdy =∂zz1 ( x , y )D∫∫∫ R( x, y, z )dxdy + ∫∫ R( x, y, z )dxdy + ∫∫ R( x, y, z )dxdy = ∫∫ R( x, y, z )dxdy .Φ1Φ2∂WΦ367Делая циклические перестановки переменных x→ z→ y, y→ x→ z, z→ y→ xможно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.∫∫∫W∂Qdxdydz =∂y∂P∫∫ Qdzdx , ∫∫∫ ∂x dxdydz = ∫∫ Pdydz .∂W∂WWЕсли область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R)c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулыможно собрать в одну ∂P∂Q∂R ∫∫∫ ∂x + ∂y + ∂z dxdydz = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy .∂WWДивергенция векторного поля определяется по формуле div V =∂P ∂Q ∂R++.∂x ∂y ∂zТогда, используя векторные обозначения, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде∫∫∫div V dW =∫∫(V,dS).∂WWФормула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечноечисло областей указанного типа.Пример 1 (4389).

Вычислить I =∫∫(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy, Ф :Φx − y + z + y − z + x + z − x + y = 1.u = x − y + zv = y − z + xw = z − x + y в системе координат u,v,wПо формуле Остроградского Гаусса I =3∫∫∫ dxdydz . Сделаем замену переменныхBu = x − y + zv = y − z + x  , в этом случае в новых координатах граница области будет определяться уравнениемw = z − x + y ∂∆ : |u|+|v|+|w|=1.

Якобиан отображения равен681 −1 1D(u , v, w)D ( x, y , z ) 13= 1 1 − 1 = 2 + 2 = =4,= , поэтому I =D ( x, y , z )4D(u , v, w) 4−1 1 13∫∫∫ dudvdw = 4 2∆2 2=1.3Пример 2 (4381) Доказать, что если Ф – замкнутая простая положительно ориентированнаяповерхность, то∫∫ (a, dS )=0, где a - постоянное векторное поле. Утверждение непосредственноΦследует из формулы Остроградского-Гаусса.Пример 3 (4382). Объем тела равенµW =()1r , dS , где ∂W – положительно ориентированная граница области W.3 ∂∫∫WУтверждение непосредственно следует из формулы Остроградского-Гаусса.Пример 4 (4383). Объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью F(x,y,z)=0 иплоскостью равен µW =1hµΦ , где µΦ - площадь основания, h – высота.3Поместим начало координат в вершину конуса. Боковую поверхность конуса, ориентированнуювнешней нормалью обозначим Ф1 , а основание, ориентированное нормалью − m обозначим Ф2 .Тогда3µW = ∫∫∫ 3dxdydz = ∫∫∫ div r dxdydz =WW∫∫ (r, dS )= ∫∫ (r , n )dS )+ ∫∫ (r , n )dS∂W( )Φ1поверхности конуса скалярное произведение r , n = 0 и( ) (∫∫ (r , n)dS = 0 .

Для поверхности основанияΦ1)конуса r , n = r ,− m = h , поэтому∫∫ (r , n)dS = h ∫∫ dS = hµΦ .Φ2Пример 5 (4390). ВычислитьДля боковойΦ2Φ2∫∫ (V , dS ), где Ф – часть конической поверхности x +y =z222, 0≤ z ≤ a ,Φориентированной внешней нормалью, а поле V = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Дополним поверхность до замкнутой.Основание, ориентированное нужным образом обозначим Ф0 .69∫∫ (V , dS ) = ∫∫∫ div V dxdydz = 2∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz = 2 ∫ dϕ ∫ dh∫ r (r cosϕ + r sin ϕ + h)dr =Φ+Φ02πWahWahπa2 ∫ dϕ ∫ dh ∫ rhdr = 4π ∫ hdh ∫ rdr = 2π ∫ h 3dh = a 4 .2000000образом,∫∫ (V , dS ) =Φπ2a 4 − πa 4 = −π22πah000∫∫ (V , dS ) = ∫∫ a dxdy = a µD = πa2Φ022. ТакимDa4 .§5.

Элементы теории поля1. ВведениеДля вектора в будет использоваться обозначение a или a . Функция u(x,y,z) , заданная в области Dбудет называться скалярным полем. В случае задания трех функций P,Q,R можно говорить овекторном поле V=(P,Q,R). Градиент скалярного поля u , определяется как векторное поле V = grad u ∂u ∂u ∂u , ,  . Функция u называется потенциалом векторного поля, а само поле называется ∂x ∂y ∂z = потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношениемdu=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл∫(V, ds) для замкнутой кривой С называется циркуляцией векторногоCполя по C. Замкнутая кривая называется контуром, а интеграл по контуру обозначается∫(V, ds) иCпредставляет собой работу векторного поля вдоль этого контура.

Поле называется безвихревым, еслиего ротор равен нулю.Определение. Поле V называется соленоидальным, если для него существует векторное поле Wтакое, что V = rot W. Такое векторное поле W называется векторным потенциалом поля V .Ранее доказанные утверждения можно сформулировать в виде теоремыТеорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области D заданонепрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия1.

Циркуляция векторного поля∫(V, ds) равна нулю вдоль любого контура, лежащего в D.C2. Поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция,градиентом которой и является данное поле. При этом∫(V, ds) = u(B) - u(A).AB3. Поле V безвихревое.2.Поток векторного поляБудем считать, что V=(P,Q,R) – это поле скоростей (рассматривается стационарный поток жидкости).Векторной линией поля V называется линия, касательная к которой в любой точке совпадает понаправлению с вектором V .70Совокупность всехвекторных линийданного поля,проходящих черезнекоторый контур,называется векторнойтрубкойУравнения,определяющиевекторную линию•x = P ( x, y , z ) •y = Q ( x, y , z ) •z = R ( x, y , z ) Количество жидкости, протекающей через малую площадку S, перпендикулярную потоку жидкостиrr| V | tµSза единицу времени равно=| V | µS для наклонной площадки это будетt( )( )V cos V , n µS = V , n µS .r∑ (nr,V )Составляя интегральные суммы видаkMkµS k и переходя к пределу можно получитьвыражение для количества жидкости протекающей через ориентированную поверхность Ф внаправлении ее нормали в единицу времени.

Характеристики

Список файлов лекций