ВТА лекции (845816), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)×[c,d] , то сходимость интеграла∫ f ( x, y)dxaэквивалентна условию: для любой последовательности ηk→b, η0=a , ηk∈[a,b) сходится ряд83∞ ηk +1∑ ∫ f ( x, y)dx . Аналогично для равномерной сходимости: для равномерная сходимость интегралаk =0 ηkb∫ f ( x, y)dx на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности η →b, η =a ,k0aηk∈[a,b) равномерно на Y сходится функциональный ряд∞ ηk +1∑ ∫ f ( x, y )dx .k =0 ηkηЭто утверждение следует из определения предела limη →b − 0n η k +1частичных сумм ряда∫ f ( x, y)dx по Гейне и выражения дляaηn∑ ∫ f ( x, y )dx = ∫ f ( x, y )dx .k =0 η ka∂fнепрерывны на [a,b)×[c,d] .

Если ∫ f ( x, y )dx сходится для всех y∂yabТеорема. Пусть функции f(x,y) и∂f ( x, y )∫a ∂y dx сходится равномерно на [c,d] , то функция Φ(y) =bаb∫ f ( x, y)dx дифференцируема наaэтом отрезке иd∂f ( x, y )f ( x, y )dx = ∫dx .∫dy a∂yabbДоказательство. Пусть ηn→ b ,ηn∈[a,b), η0=a . Согласно лемме∞ ηn +1bΦ(y) =∞ η n +1∫ f ( x, y)dx = ∑ η∫ f ( x, y )dx . Таким образом, функциональный ряд ∑ η∫ f ( x, y )dx сходитсяn =0a∞для всех y.

Далее,dn =0nη n +1∞ η n +1∑ dy ∫ f ( x, y )dx = ∑ ∫ηηn=0n =0nnn∂f ( x, y )dx . Таким образом, ряд из производных∂yсходится равномерно на [c,d]. По теореме о почленном дифференцировании функционального рядаη∞dd ∞ n+1d=f(x,y)dx=f(x,y)dx∑∑∫∫dy ady n = 0 η nn = 0 dyb∞Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) =∫xη n+1∞ η n +1∫ f ( x, y )dx = ∑ η∫n =0ηnn∂f ( x, y )∂f ( x, y )dx = ∫dx .∂y∂yap −1 − xe dx , p > 0.01Г(p) непрерывна на ( 0 , ∝ ). Г(p) = x p −1e − x dx +∫∞∫xe dx .10Докажем непрерывность функцийp −1 − x1∞01p −1 − x∫ x e dx ,84∫xp −1 − xe dx на ( 0 , ∝ ).b11)∫x1p −1 − xe dx ≤∫xe dx , p∈[ε , A] .001∫x1ε −1 − x∫xε −1 − xe dx сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл0p −1 − xe dx сходится равномерно на [ε , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на0этом множестве [ε , A].∞2)∫x∞p −1 − xe dx ≤1∞∫x∫x∞A −1 − xe dx , p∈[ε , A] .

∫ x A −1e − x dx сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл11p −1 − xe dx сходится равномерно на [ε , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на1множестве [ε , A].Для гамма функции Эйлера справедлива формула∞Γ( p )= ∫ x p −1e − xy dxyp0(1)Это равенгство получается после замены x → xy .Γ(p) =∞∞∞000p −1 − xp −1 p −1 − xypp −1 − xy∫ x e dx = ∫ y x e ydx = y ∫ x e dx .12. Бэта функция Эйлера В(p,q) =∫xp −1(1 − x) q −1 dx , p > 0 , q >0 .0Сделаем замену x =ydy, dx =.1+ y(1 + y ) 2∞В(p,q) =∞y p −11dyy p −1=∫0 (1 + y ) p −1 (1 + y )q −1 (1 + y )2 ∫0 (1 + y) p + q dy .∞В(p,q) =y p −1∫0 (1 + y) p + q dy(2)3.

Другие свойства функций ЭйлераИз формулы (1) следует, что∞∞Γ( p + q )y p −1p + q −1 − x (1+ y )=xedx,Γ(p+q)= y p −1 ∫ x p + q −1e − xy e − x dx . Интегрируя, получимp+qp +q∫(1 + y )(1 + y )00∞∞∞∞∞y p −1Γ( p + q ) ∫dy = ∫ y p −1dy ∫ x p + q −1e − x ( y +1) dx = ∫ x q −1e − x dx ∫ ( xy ) p −1 e − xy xdy . Откуда, используяp+q(1 + y )00000(2)B ( p, q ) =85Γ ( p )Γ ( q ).Γ( p + q )∞В(p,1-p) = Г ( p ) Г (1 − p ) =y p −1π∫0 1 + y dy = sin pπ ,0<p<1.Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).Интеграл∞∞00p −1 − x∫ x e dx сходится для p>0 и∫xp −1ln k x e − x dx сходится равномерно на любом отрезке[ε , A ], для 0 < ε < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем∞∫xравномерную сходимость интеграловp −1ln k x e − x dx .0В окрестности нуля |ln x| ≤C1 (δ )для δ > 0 существует C1(δ).xδВ окрестности бесконечности |ln x| ≤ C2 (δ ) xδ для δ > 0 существует C2(δ).∞(k)Равномерная сходимость интеграла Г (p)=∫xp −1ln k x e − x dx на любом отрезке [ε , A ] следует из0∞оценок∫xp −11ln x e dx ≤ ∫ xk−x0ε −1∞−x| ln x | e dx + ∫ x A −1 | ln k x | e − x dxk101∞01≤ C1k (δ ) ∫ xε − kδ −1e − x dx + C2k (δ ) ∫ x A+ kδ −1e − x dx , для всех p∈[ε , A].

Здесь для ε >0 следует выбрать δ так,чтобы ε - k δ оставалось больше нуля.4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра∞Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл∫Ab∫∫01f (bx) − f (ax)d y f ( xy ) =,∫xaxbf ' ( xy)dy =a∞f ( x)dx существует для любого A > 0.x∞∞∞f (bx) − f (ax)dydydx = ∫ dx ∫ f ' ( xy )dy = ∫ dy ∫ f ' ( xy)dx = ∫ ∫ f ' (u )du = ∫ [ f (∞) − f (0)] =xyy0aa0a0af(0) lnbbbb.a∞∫0f (ax) − f (bx)bdx = f(0) ln , (a>0,b>0).xaИнтегрированием по частям вычисляются интегралы∞− αx∫ e cos βx dx =0b∞αα +β22, α ≥ 0,∫e−αxsin β x dx =086βα +β22,α≥0.Другой способ: Положим γ = -α + iβ ,∞∞− αxγx∫ e (cos βx + i sin βx )dx = ∫ e dx =001∞deγ∫γx=01γeγx∞=−x =01γ=1− α − iβαβ, откуда и следуют указанные формулы.=− 2= 2+i 222− α + iβα +βα +βα + β2=−Вычислить∞∫ecos bx − cos xdx = Φ (α ) .x−αx0∞Φ' (α ) = ∫ e −αx (cos cx − cos bx) dx =0αα +c22−αα + b22,αααdααdα111 b2 1 α 2 + c 2c22 α22 α−=ln(α+c)−ln(α+b)+ln 2 = ln 2− ln22222∫00α +c 0α +b222 c 2 α +bb0Φ(α ) − Φ(0) = ∫1 α 2 + c2ln2 α 2 + b2, Φ (α ) =Интеграл Пуассона∞I=∫e− x2πdx =20.I2=∞∞−x−x∫ e dx ∫ xe2∞2y200∞y0 =π4∞dy = ∫ dy ∫ e − x02(1+ y 2 )∞xdx =0∞∞∞221 dy1 dy1e − x (1+ y ) dx 2 (1 + y 2 ) = ∫e − u du = arctg2 ∫2 ∫∫2 0 1+ y 02 0 1+ y 02.∞Интеграл I =∫e− ax 2cos bx dx .0Интегрирование по частям I =∞21 −ax21ed sin bx = sin bx e − ax∫b0b∞I b ' = − ∫ x sin bx e0− ax 2∞0∞+ 2a ∫ x sin bx e0− ax 2 2a ∞2dx  = ∫ x sin bx e − ax dx . b 0b2∞∞−22b1dIbdbπdx = − I ,=−, I = C e 4 a , I(0) = ∫ e − ax dx =e − u du =,I=∫2aI2aa02 a01 π − 4ae .2 ab2π∫ ()2Вычислить интеграл F(a,b) = ln a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x dx , a>0, b>0 (1)087ππ2∂Fsin x∂Fsin 2 x= 2a ∫ 2 2dx(2),=2b∫0 a 2 sin 2 x + b2 cos2 x dx∂aa sin x + b 2 cos 2 x∂b022π2∂F∂Fsin 2 x+b= π из (2) F(a,b) = ∫ 2udu ∫ 2 2dx +С(b).u sin x + b 2 cos 2 x∂a∂b00aat21  b21 = 2− 22 2222  2 22(a t + b )(t + 1) b − a  a t + bt + 1 ππ∞2sin 2 xtg 2 xt2dx=dx=∫0 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x∫0 a 2tg 2 x + b 2∫0 (a 2t 2 + b 2 )(t 2 + 1) dt =2=∞∞1  2dtdt 1 bπ π π== 2b−− =22 2 2222 ∫∫b −a  0 a t +bt +1b − a  a 2 2  2a ( a + b )0a∫F(a,b) = 2u0π2u (u + b)du +C(b)= π lna+b+C(b).bπ ln b = F(b,b)=π ln 2 + C(b), C(b) = π lnГлава 6.b.2Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты§1.

Преобразования базисов и координат1.Отображение областей. Криволинейные координатыРассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) .Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями,осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямоеи обратное непрерывно дифференцируемы )88x = x( x1 , x 2 , x 3 ) y = y ( x1 , x 2 , x 3 )z = z ( x1 , x 2 , x 3 ) (1)Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборыкоординат (x,y,z) и (x1,x2,x3) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M изобласти V определяется, как ее исходными координатами ( в дальнейшем это будут декартовыкоординаты ), так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называютсякриволинейными координатами.

В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так,если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называетсякоординатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй итретьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогичноопределяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точкубудет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначноопределяется заданием трех линий l1∈S1, l2∈S2, l3∈S3 . Наряду с координатными линиями можнорассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну изкоординат, а остальные две рассматривать, как параметры.Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области VКасательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим черезr  ∂x ∂y ∂z  r1 =  1 , 1 , 1   ∂x ∂x ∂x  r  ∂x ∂y ∂z r2 =  2 , 2 , 2  ∂x ∂x ∂x r  ∂x ∂y ∂z  r3 =  3 , 3 , 3   ∂x ∂x ∂x  (2)Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны∂x∂x1∂xr r r(r1 , r2 , r3 ) = 2∂x∂x∂x 3∂y∂x1∂y∂x 2∂y∂x 3∂z∂x1∂x∂x1∂z∂y= 1∂x 2∂x∂z∂z3∂x∂x189∂x∂x 2∂y∂x 2∂z∂x 2∂x∂x 3∂yD ( x, y , z )=≠ 0.∂x 3 D( x1 , x 2 , x 3 )∂z∂x 3rrrДля данного базиса единственным образом можно определить базис r 1, r 2, r 3 такой, чтоr r( rk , r j)= δ kj .

Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называетсявзаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формуламr rr rr r[r , r ] r[r , r ] r[r , r ]rr 1= r 2r 3r , r 2= r 3r 1r , r 3= r 1r 2r . (3)(r1 , r2 , r3 )(r1 , r2 , r3 )(r1 , r2 , r3 )Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждойточке области V базис (2) является ортогональным.В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, чтоr r rrrrтройка r1 , r2 , r3 правая.

Положим H1= | r1 | , H2= | r2 | , H3= | r3 | , величины H1, H2, H3 называютсякоэффициентами Ламэ. В силу ортогональности ( тройка правая )r r rr r rrr r rr r(r1 , r2 , r3 ) = H1 H2 H3 , [r2 , r3 ] = H2 H3 r1 , [r3 , r1 ] = H3 H1 r2 , [r1 , r2 ] = H1 H2 r3 .H1H2H3Откуда следует, чтоrrrr rr rrrr 1 = 1 2 , r 2 = 2 2 , r 3 = 32 .H1H2H32. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространствеЦилиндрические координатыx = r cos ϕ y = r sin ϕ z = h x1=rx2=ϕx3=hrr 1=(cos ϕ , sin ϕ , 0)rr 2=r (- sin ϕ , cos ϕ , 0)rr 3=(0, 0, 1)H1=1H2=rH3=1r r rСистема цилиндрических координат ортогональна и (r1 , r2 , r3 ) =rr1 r r 2 r2 1r rr = r1 , r = 2 = (− sin ϕ , cos ϕ ,0) , r 3 = r3 .H2 rСферические координаты90D ( x, y , z )=r,D( x1 , x 2 , x 3 )x = ρ cos θ cos ϕ y = ρ cosθ sin ϕ z = ρ sin θ x1=ρrr 1= (cos θ cos ϕ , cos θ sin ϕ , sin θ)x2=ϕx3=θ, θ∈[-π/2, π/2]rr 2=rr 3=ρ cos θ (-sin ϕ ,cos ϕ ,0)ρ (-sin θ cos ϕ , - sin θ sin ϕ , cos θ)H2=ρ sin θ,H3=ρ.H1=1r r rСистема сферических координат ортогональна и (r1 , r2 , r3 ) =3.D ( x, y , z )=ρ2cos θ,D( x1 , x 2 , x 3 )Взаимные, сопряженные базисыВ дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.Определение.

Характеристики

Список файлов лекций