ВТА лекции (845816), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Отметим, что при доказательствеиспользовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например,x1 ( y )для интеграла∫ | f ( x, y + ∆y) | dxфункция f должна быть определена на отрезке [A,B] , лежащемx1 ( y + ∆y )вне области D (см. рисунок)Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого y∈Y . Говорят, что f(x,y)равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y→ y0 если∀ε >0∃δ >0∀x∈[a,b]∀y∈Uδ(y0): |f(x,y) - g(x)|<ε .77Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональнойпоследовательности f(x,y) f n (x) равномерно сходится на [a,b] к g(x) при n→∞ , где вместодискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y .Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейсяпоследовательности непрерывных функций).

Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на[a,b] при y→y0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].Доказательство. Выпишем неравенства|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)|≤ | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Длязаданного ε сначала выбираем δ окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|< εдля любых y из некоторой окрестности точки y0 .

Это можно сделать в силу равномернойнепрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также < εвыбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленноминтегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций).

Если f(x,y)непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y→y0 , тоbbaalim ∫ f ( x, y )dx = ∫ g ( x)dx .y → y0Доказательство.2.bbaa∫ [ f ( x, y ) − g ( x)]dx ≤ ∫f ( x, y ) − g ( x) dx ≤ |b - a|ε .Интегрирование интегралов зависящих от параметраПредположим, что область является областью типа А и В . Из формул выражения двойного интегралачерез повторные следуют следующие формулыx2 ( y)F(y) =∫ f ( x, y)dxx1 ( y )d∫ F ( y)dy = ∫∫ f ( x, y)dxdycDy2 ( x)G(x)=∫ f ( x, y )dyy1 ( x )b∫ G( x)dx = ∫∫ f ( x, y)dxdya3.DДифференцирование интегралов, зависящих от параметраТеорема (Лейбниц).

Если f и∂fнепрерывны в [a,b]× [c,d] , то F(y) =∂y78b∫ f ( x, y)dxa∂F∂f ( x, y )дифференцируема на [c,d] и=∫dx .∂y a ∂ybДоказательство.F ( y + ∆y ) − F ( y ) 1[ f ( x, y + ∆y) − f ( x, y)]dx = 1 ∫ ∂f ( x, y + θ∆y ) ∆ydx = ∫ ∂f ( x, y + θ∆y ) dx ,=∫∆y∆y a∆y a∂y∂ya0<θ <1. Тогдаbbbb ∂f ( x, y + θ∆y ) ∂f ( x, y ) F ( y + ∆y ) − F ( y )∂fdx .− ∫ dx ≤ ∫ −∆y∂y∂y∂y aabИз этого неравенства и равномерной непрерывности функции∂fследует требуемое утверждение.∂yРассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольникеR, содержащем область D.Теорема.

Если f и ее производная∂fнепрерывны на R, x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d]∂yx2 ( y)производные, то F(y) =∫ f ( x, y)dxтакже имеет производнуюx1 ( y )∂F=∂y∂f ( x, y )dx + f ( x2 ( y ), y )x2 ' ( y ) - f ( x1 ( y ), y )x1 ' ( y ) .∂yx1 ( y )x2 ( y )∫vДоказательство. Рассмотрим функцию Ф(u,v,y) =∫ f ( x, y)dx , определенную на прямоугольномuпараллелепипеде [ A, B ] × [ A, B ] × [C , E ] , Для нее существуют непрерывные частные производные∂f ( x, y )∂Φ ∂Φ ∂Φ∂Φ. Непрерывность функции=∫dx следует из равномерной непрерывности,,∂u ∂v ∂y∂y u ∂yv∂f ( x, y )функции. Дифференцируя сложную функцию F(y) =∂yполучим требуемое равенство.79x2 ( y)∫ f ( x, y)dx = Ф(y, x (y), x (y))1x1 ( y )2§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра1.

Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметраРассмотрим интегралbΦ ( y ) = ∫ f ( x, y )dx(1)a− ∞ < a < b ≤ +∞ , y∈Y.Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если− ∞ < a < b ≤ +∞ и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условиемсходимости интеграла (1) будет существование конечного пределаηlimη →b − 0∫ f ( x, y)dx .abЕсли при заданном y интеграл сходится, то для любого η∈[a,b) интеграл∫ f ( x, y)dx (называемыйηbостатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде limη →b − 0∫ f ( x, y)dx = 0 .

Вηbслучае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие limη →b − 0∫ f ( x, y)dx = 0 неηвыполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в видеblimη →b − 0∫ f ( x, y)dx = 0 .ηbОпределение. Пусть интеграл с параметром∫ f ( x, y)dx для всех или для некоторых y∈ Y имеетaединственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в +∞ (интеграл 2-го рода).Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, еслиb∫ f ( x, y)dx < ε∀ε >0∃δ >0∀η∈(b-δ,b)∀y∈Y:(для интеграла 2-го рода)η+∞∀ε >0∃M∀η∈(M,+∝)∀y∈Y:∫ f ( x, y)dx < ε(для интеграла 1-го рода)ηПризнак Вейерштрасса равномерной сходимостиЕсли существует функция g(x), определенная на [a,b) (b – конечное или +∞), интегрируемая налюбом [a, η), η∈(a,b) такая, что1) |f(x,y)| ≤ g(x), a ≤ x < b, ∀y∈Y80b2)∫ g ( x)dx сходится ,abто интеграл∫ f ( x, y)dxсходится равномерно на Y.abУтверждение следует из неравенств∫ηbbηηf ( x, y )dx ≤ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ g ( x)dx .Теорема.

(Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть − ∞ < a < b ≤ +∞ и f(x,y) определена инепрерывна на [a,b) по x для всех y∈Y. Если для любых η∈(a,b) функция f(x,y) равномерно сходится кg(x) на [a,b-η] при y→y0 , интегралbbaa∫ f ( x, y)dx равномерно сходится на Y, ∫ g ( x)dx сходится.Тогдаbbaalim ∫ f ( x, y )dx = ∫ g ( x)dx .y→ y0Доказательство.b∫aη∫abηaaηbf ( x, y )dx − ∫ g ( x)dx =f ( x, y )dx − ∫ g ( x)dx +aη∫a∫aηηb∫ηbДля ε>0 выбираем η так, что∫ηf ( x, y )dx <ε3bf ( x, y )dx и сходимостьbf ( x, y )dx + ∫ g ( x )dx .ηbbf ( x, y )dx − ∫ g ( x)dx + ∫ f ( x, y )dx − ∫ g ( x)dx =b∫η, g ( x)dx <ε3для всех y (равномерная сходимость∫ g ( x)dx ) .

Для выбранного таким образом η можно найти окрестностьa81ηточки y0 , в которойηη∫ f ( x, y)dx − ∫ g ( x)dx ≤ ∫aaf ( x, y ) − g ( x) dx <aε3(равномерная сходимость f(x,y)к g(x) на [a,b-η]).Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимостиbинтеграла∫ f ( x, y)dx необходимо и достаточно, чтобыaη ''∀ε >0∃δ>0∀ y ∈ Y∀η′,η′′∈(b-δ,b):∫η f ( x, y)dx < ε .'η ''Достаточность. При выполнении условия∫ f ( x, y)dx < ε для ∀ y ∈ Y∀η′,η′′∈(b-δ,b) можно перейтиη'bк пределу при η′′ → b . Тогда для ∀ y ∈ Y∀η′∈(b-δ,b) :∫ f ( x, y)dx ≤ ε , что означает равномернуюη'bсходимость интеграла∫ f ( x, y)dx .abНеобходимость.

Имеем ∀ε >0∃δ>0∀ y ∈ Y∀η∈(b-δ,b):∫ f ( x, y)dx < ε . Тогда при η′,η′′∈(b-δ,b)ηη ''будет выполненоbη ''bη ''b'b∫ f ( x, y)dx = η∫ f ( x, y)dx + ∫ f ( x, y)dx ≤ η∫ f ( x, y)dx + ∫ f ( x, y)dx < 2ε .η''Непрерывность несобственного интеграла от параметра2.bТеорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)×[c,d] , интеграл Φ(y) =∫ f ( x, y)dxaсходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.Доказательство.|Φ(y+∆y) - Φ(y)|b=∫abηbbaaηηf ( x, y + ∆y )dx − ∫ f ( x, y )dx ≤ ∫ [ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )]dx + ∫ f ( x, y + ∆y )dx + ∫ f ( x, y )dx .82Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного ε выбором η в силу равномернойbсходимости интеграла∫ f ( x, y)dx .

После выбора η первый интеграл может быть сделан меньшеaзаданного ε выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функцииf(x,y) на прямоугольнике [a,η] × [c,d].3.Интегрирование интегралов зависящих от параметраbТеорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)×[c,d], интеграл Φ(y) =∫ f ( x, y)dxabd∫ ∫сходится равномерно на [c,d] , существует интеграл dx f ( x, y ) dy , тоacddbbdccaac∫ Φ( y)dx = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Доказательство.

Для любого η∈[a,b)dηηcaad∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, чтоcηb∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на [c,d] к ∫ f ( x, y)dx при η→b. Действительно,aabηaab∫ f ( x, y)dx − ∫ f ( x, y)dx = η∫ f ( x, y)dx .Эту теорему можно обобщитьbТеорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)×[c,d), интеграл∫ f ( x, y)dx сходитсяad∫ f ( x, y)dy сходится равномерно на любом [a,ξ] иравномерно на любом [c,η] , интегралcсуществует один из повторных интеграловdbbdcaac∫ dy ∫ f ( x, y) dx , ∫ dx ∫ f ( x, y) dy , то существует и другой и выполняется равенствоdbbdcaac∫ dy ∫ f ( x, y)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Без доказательства.4.Дифференцирование интегралов, зависящих от параметраbЛемма.

Характеристики

Список файлов лекций