ВТА лекции (845816), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Базисы ri , rk называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие(ri , rk) = δ ik .Теорема. Для любого базиса ri существует единственный взаимный базис.Из условия r1 ⊥ r2 , r1 ⊥ r3 , поэтому этот вектор надо искать в виде c[r2 , r3], из условия (r1 , r1) = 1находится множитель c. Таким образом,r1 = [r2 , r3]/( r1 , r2 , r3 ), r2 = [r3 , r1]/( r1 , r2 , r3 ), r3 = [r1 , r2]/( r1 , r2 , r3 ).Любой вектор пространства можно разложить по базисам3x=∑k =13xk rk =∑rk xk .k =1Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными координатами.Соглашение 1.

В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличиеиндекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексуот 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримсяпри написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. Тоже самое касается жирности шрифта для обозначения вектора (r=r, если не возникает путаницы).91Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образомx = xk rk = rk xk .3Еще один пример:ai bij cj =3∑∑ai bij cj .i =1 j =1Найдем выражение для ко и контравариантных координатx = xi ri = ri xi ⇒xi = (x, ri ), xi = (x, ri)(1).Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббсаx = (x, ri ) ri = ri (x, ri)(2)Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)xi = (x,rj )(rj,ri) = xj gjiijx = (rj,ri) (x,r ) = gji xjij(3)j(4)iМатрицы g = (r ,r ), gji = (rj,ri) симметричны и называются метрическими тензорами.

Беря в качествеx в формуле (2) вектора rj , rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощьюметрических тензоровrj = gji rirj = ri gji .Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощьюметрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk , получимδ jk = gji gikδ kj = gik gji .Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.4.Преобразование координатДаны базисы ei , ei и ei , e i . Обозначим матрицы, связывающие эти базисы aij , bi j , cij , d i j .e i = ej cij , ei = e j bi j ⇒b kj cij = δ ik(5)Равенство b kj cij = δ ik в развернутом виде выглядит следующим образом b11 2 b1 b3 1b21b22b23b31   c11b32   c12b33   c13c12c22c23c31   1 0 0  c32  =  0 1 0  ,c33   0 0 1 Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левыйвнизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номерстолбца.e j = aij ei , ej = d i j e i ⇒92d kj aij = δ ik(6)Последнее равенство в матричном виде: d11 2 d1d3 1d 31   a11d 32   a12d 33   a13d 21d 22d 23a12a22a23a31   1 0 0  a32  =  0 1 0  .a33   0 0 1 Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на e k получим выражения дляматриц перехода между базисами( e i , ek) = ( ej cij , ek )= δ jk cij = cik ,(ek , e i )= ( d kj e j , e i )= d kj δ i j = d ik .Таким образом, cik = d ik .

Аналогично показывается, что bi j = aij . Равенства (5), (6) перепишутся ввидеe i = ej cij , ei = e j bi j (7)e j = bi j ei , ej = cij e i (8)Равенства (7), (8) в развернутом виде: c11(e1 e2 e3 ) = (e1 e2 e3 )  c12 c3 1 e 1   b11 2  2 e  =  b1 e 3   b3   1b21b22b23c12c22c23c31 c32  ,c33  b11(e1 e2 e3 ) = (e1 e2 e3 )  b12 b3 1b31   e1  b32   e 2  ,b33   e3  e1   c11 2  2 e  =  c1 e3   c 3   1c12c22c23b31 b32 b33 (7)c31   e 1  c32   e 2 c33   e 3 (8)b21b22b23Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, дляконтравариантных координат.Имеем x = e i xi x1  x1  = ei x i или x= (e1 e2 e3 )  x 2  = (e1 e2 e3 )  x 2  .

Подставляя во второе равенство ei из x3  x3   (7) получимx = e j bi j x i , откуда e j x j = e j bi j xi и x j = bi j xi.Аналогично из равенств xk e k = xk e k , ek = cik e I получаем, xk e k = x j e j = x j ckj e k откуда xk = x j ckj .Таким образом, x 1   b11 2  2 x  =  b1 x 3   b3   1b21b22b23b31   x1  b32   x 2  ,b33   x 3 93 c11(x1 x2 x3 ) = (x1 x2 x3 )  c12 c3 1c12c22c23c31 c32  .c33 Полученные формулы x j = bi j xi , xk = x j ckj позволяют сформулировать правило: координатывекторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и векторасопряженного базисаe i = ej cijei = e j bi jxk = x j ckjxi = x j bi je j = bi j eiej = cij e ix j = bi j xixj = cij x i§2.

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах1. Введение.В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системойкоординат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображениемx = x( x1 , x 2 , x 3 ) x1 = x1 ( x1 , x 2 , x 3 ) y = y ( x1 , x 2 , x 3 ) или x2 = x2 ( x1 , x 2 , x 3 )z = z ( x1 , x 2 , x 3 ) x3 = x3 ( x1 , x 2 , x 3 ) Это отображение предполагается невырожденным, непрерывно дифференцируемым и имеющимотличный от нуля якобиан.

Обратное отображение имеет видx1 = x1 ( x1 , x2 , x3 ) x 2 = x 2 ( x1 , x2 , x3 ) .x 3 = x 3 ( x1 , x2 , x3 ) Согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения δ ij =∂x i ∂xk∂xk ∂x jили в матричном виде ∂x1 ∂x1∂x ∂x*  ∂x 2=∂x* ∂x  ∂x1 ∂x 3 ∂x 1∂x1∂x2∂x 2∂x2∂x 3∂x2∂x1  ∂x 1∂x3  ∂x1∂x 2  ∂x2∂x3  ∂x1∂x 3  ∂x31∂x3  ∂x∂x1∂x 2∂x2∂x 2∂x3∂x 2∂x1 ∂x 3 ∂x2 =∂x 3 ∂x3 ∂x 3 1 0 0 0 1 0 .0 0 1Здесь использованы следующие обозначения для матриц Якоби и ковариантных, контравариантныхвекторов:94 ∂x1 ∂x1 x1  2∂x  ∂x 2=x =  x , x* = ( x1 , x2 , x3 ),∂x*  ∂x1 x3   ∂x 3 ∂x 1∂x1∂x 2∂x 2∂x 2∂x 3∂x 2∂x1  ∂x1 1∂ x3  ∂x∂x 2  ∂x*  ∂x2=,∂ x3  ∂ x  ∂ x 1 ∂ x3∂x 3  1 ∂x∂x3 звездочкой внизу обозначены ковариантные координаты. ∂x j ∂x j ∂x j  являются сопряженными к,,∂x∂x∂x23  1Таким образом, вектора  ∂x j ∂x j ∂x j  ∂x1 ∂x2 ∂x3 j .,т.е.r=,,,iii  ∂x ∂x ∂x  ∂x1 ∂x2 ∂x3 ri = В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:uk=∂V  ∂P ∂Q ∂R ∂u, V = ( P, Q, R ),Vk = k =  k , k , k k∂x∂x ∂x ∂x ∂x 1.

Выражение градиента в криволинейных координатахДля скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен ∂u ∂u ∂u  . По формуле дифференцирования сложной функции,, ∂x1 ∂x2 ∂x3 grad u = 3∂u∂u ∂x j ∂u ∂x j=∑==(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббсаii∂x∂x j ∂x ij =1 ∂x j ∂xgrad u = (grad u , ri ) ri =ui ri .Откуда для ортогональной системы координатgrad u = ui ri = uirie= ui i .2HiHi2. Выражение дивергенции в криволинейных координатахОбозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi =div V =∂V  ∂P ∂Q ∂R =,, , тогда∂x i  ∂x i ∂x i ∂x i ∂P ∂Q ∂R ∂P ∂x k ∂Q ∂x k ∂R ∂x k++=++=∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x k ∂x1 ∂x k ∂x2 ∂x k ∂x3=∂P ∂x1 ∂P ∂x 2 ∂P ∂x 3+++∂x1 ∂x1 ∂x 2 ∂x1 ∂x 3 ∂x1+∂Q ∂x1 ∂Q ∂x 2 ∂Q ∂x 3+++∂x1 ∂x2 ∂x 2 ∂x2 ∂x 3 ∂x295∂x1∂x 2∂x2∂x 2∂ x3∂x 2∂x1 ∂x 3 ∂x2 ,∂x 3 ∂ x3 ∂x 3 ∂R ∂x1 ∂R ∂x 2 ∂R ∂x 3+ 2+ 3= (V1,r1)+(V2,r2)+(V3,r3) = (Vk,rk) =1∂x ∂x3 ∂x ∂x3 ∂x ∂x3+rk  3 1V,∑ k H 2  = ∑ H (Vk , ek ) .k =1 k =1k k3=В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak .

Вэтом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в3формулу для данной операции, например, в формулу div V =1∑ H (V , e ) . Можно показать, чтоk =11Hdiv V =kkk∂  H kA  .k  Hk∑ ∂xk4. Выражение ротора в криволинейных координатахV = Pi +Qj + Rk , Vi =i∂rot V =∂x1Pj∂∂x2Q∂V  ∂P ∂Q ∂R =,,,∂x i  ∂x i ∂x i ∂x i k ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂== ,,−−−∂x3  ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 R ∂R ∂x k ∂Q ∂x k ∂P ∂x k ∂R ∂x k ∂Q ∂x k ∂P ∂x k  k =, k, k− k− k− k ∂x ∂x2 ∂x ∂x3 ∂x ∂x3 ∂x ∂x1 ∂x ∂x1 ∂x ∂x2 3=∑k =1i∂x k∂x1∂P∂x kj∂x k∂x2∂Q∂x kk∂x k=-[ Vk , rk]=∂x3∂R∂x k31∑Hk =12k3[rk , Vk]=1∑Hk =1[ek , Vk].k3. Выражение оператора Лапласа в криволинейных координатахgrad u =∑ ukk1H31 ∂u1 ∂u, div grad u = (Vk , rk).

Тогда из формулы div V =e , Ak =k kk∂xH∂xkk∑Hk =1∂ A H1 получим ∆u = div grad u =k H Hk ∑ ∂xkek,Hkk∂  H ∂u  2 k  .k  H k ∂x ∑ ∂xk§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах1. Цилиндрические координаты (r, ϕ, h) = (x1,x2,x3).x = r cos ϕy = r sin ϕ96z=hr1 = (cos ϕ , sin ϕ , 0), H1 = |r1| = 1,r2 = (-r sin ϕ ,r cos ϕ , 0), H2 = |r2| = r,r3 = ( 0 , 0 , 1), H3 = 1.e1 = er = (cos ϕ , sin ϕ , 0) ,e2 = eϕ = (-sin ϕ ,cos ϕ , 0) ,e3 = eh = ( 0 , 0 , 1) .Базис er , eϕ , ez – ортонормированный.∂ek= 0,∂r∂e1∂e∂e= e2 , 2 = −e1 , 3 = 0 ,∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ek= 0.∂h4. Выражение градиента в цилиндрических координатахgrad u = ui ri = uigrad u =rie= ui i .2HiHi∂u1 ∂u∂u∂u1 ∂u∂ur1 + 2r2 +r3 =er +eϕ +eh .∂rr ∂ϕ∂z∂rr ∂ϕ∂z5. Выражение дивергенции в цилиндрических координатахV = Pi +Qj + Rk , Vi =∂V  ∂P ∂Q ∂R  ∂P ∂Q ∂R =  i , i , i  , V1 = ,,  , V2 =i∂x ∂x ∂x ∂x  ∂r ∂r ∂r  ∂P ∂Q ∂R , . , ∂h ∂h ∂h Если V = ekAk , тоV1 = Vr =∂∂ k∂∂ k( ekAk) = ekA + Akek = ekA .∂r∂r∂r∂rV2 = Vϕ =∂∂ k  ∂ek( ekAk) = ekA + ∂ϕ∂ϕ ∂ϕV3 = Vh =∂Ak∂Ak∂∂e( ekAk) = ek+ k Ak = ek.∂h∂h∂h∂h k∂Ak A = ek+ A1e2 - A2e1 .∂ϕ97 ∂P ∂Q ∂R ,, , V3 = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Отсюда следуетrk  3 1=V,∑ k H 2  = ∑ H (Vk , ek )k =1 k =1k k∂A1 1  ∂A2∂A3 1 ∂1 ∂A2 ∂A311=++ A +rA ++∂r r  ∂ϕr ∂ϕ∂h ∂h r ∂rdiv V = (Vk,rk) =3( ).4.

Выражение ротора в цилиндрических координатах[e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,[e1, V1] =∂A2∂A3∂A2∂A3[e1, e2] +[e1, e3] =e3 e2,∂r∂r∂r∂r11[e2, V2] =rr[e3, V3] = ∂A1 1   ∂A1∂A3∂A3 [e2 , e1 ] +[e2 , e3 ] − A2 [e2 , e1 ]  =  − − A2 e3 +e1  ,∂ϕ∂ϕ  ∂ϕ r   ∂ϕ∂A1∂A2∂A1∂A2[e3, e1] +[e3, e2] =e2 e1 ,∂h∂h∂h∂h 1 ∂A3 ∂A2  ∂A1 ∂A3  ∂A2 e1 + e2 + e3 .−−∂h ∂r  r ∂ϕ ∂h ∂r rot V = 5.

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатахH = H1 H2 H3 = r,∂  H ∂u  2 k  =k k H k ∂x 1  ∂  ∂u  ∂  1 ∂u  ∂  ∂u   1  ∂  ∂u   1  ∂ 2u  ∂ 2u+. +  r  =   r   +  r  +r  ∂r  ∂r  ∂ϕ  r ∂ϕ  ∂h  ∂h  r  ∂r  ∂r   r 2  ∂ϕ 2  ∂h 2∆u = div grad u =1H∑ ∂x§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах1. Сферические координаты (ρ, ϕ, θ) = (x1,x2,x3).x = ρ cos θ cos ϕy = ρ cos θ sin ϕz = ρ sin θr1 = (cos θ cos ϕ , cos θ sin ϕ , sin θ),H1 = |r1| = 1,r2 = (-ρ cos θ sin ϕ , ρ cos θ cos ϕ , 0),H2 = |r2| = ρ cos θ,r3 = (-ρ sin θ cos ϕ , -ρ sin θ sin ϕ , ρ cos θ), H3= ρ.98e1 = eρ = (cos θ cos ϕ , cos θ sin ϕ , sin θ),e2 = eϕ = (- sin ϕ , cos ϕ , 0),e3 = eθ = (- sin θ cos ϕ , - sin θ sin ϕ , cos θ).Базис eρ , eϕ , eθ – ортонормированный.∂ek= 0,∂ρ∂e1∂e∂e= cos θ e2 , 2 = - cos θ e1 + sin θ e3 , 3 = - sin θ e2 ,∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂e1∂e∂e= e3 , 2 = 0 , 3 = - e1 .∂θ∂θ∂θ1.

Выражение градиента в сферических координатах2. grad u = ui ri = uigrad u =rie= ui i .2HiHi∂u1∂u1 ∂u∂u1∂u1 ∂ur1 + 2r2 + 2r3 =eρ +eϕ +eθ2∂ρρ cos θ ∂ϕρ ∂θ∂ρρ cosθ ∂ϕρ ∂θ2. Выражение дивергенции в сферических координатахПусть V =ek Ak ,V1 = Vρ =∂Ak∂Ak∂∂e(ek Ak) = ek+ Ak k = e k.∂ρ∂ρ∂ρ∂ρV2 = Vϕ =∂∂Ak∂e( ekAk) = ek+ k Ak =∂ϕ∂ϕ∂ϕ= ek∂Ak– A2 cos θ e1+(cosθ A1 - A3sin θ ) e2 + A2 sin θ e3 =∂ϕ ∂A3 ∂A1 ∂A2− cosθ A2 e1 + + cosθ A1 − sin θ A3 e2 + + sin θ A2 e3 . ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕV3 = Vh = ∂A1 ∂A3∂∂Ak∂e( ekAk) = ek+ k Ak = − A3 e1 + + A1 e3 .∂θ∂θ∂θ ∂θ ∂θОтсюда следует11rk  3 1= (V1,e1) +(V2,e2) +(V3,e3) =V,∑ k H 2  = ∑ H (Vk , ek )ρ cos θρk =1 k =1k k ∂A2 1  1 ∂A3  ∂A2 111 A + =+ A1 cosθ − A3 sin θ  +− A3 sin θ  +∂θ  ρ cos θ  ∂ϕρ cos θ  ∂ϕ ρ  ρdiv V = (Vk,rk) =34.

Выражение ротора в сферических координатах99∂A1+∂ρ 1 ∂A3  2 A +.∂θ [e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,[e1, V1] =∂A2∂A3∂A2∂A3[e1, e2] +[e1, e3] =e3 e2,∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ ∂A1∂A3[e2 , e1 ] +[e2 , e3 ] − A2 cosθ [e2 , e1 ] + A2 sin θ [e2 , e3 ]  =∂ϕ ∂ϕ13 ∂A∂A1 −e3 +e1 + A2 cos θe3 + A2 sin θe1  =∂ϕρ cosθ  ∂ϕ11[e2, V2] =ρ cosθρ cosθ1ρ cosθ1  ∂A1 ∂A3 2  −+Acosθe++ A2 sin θ e1  ,3 ∂ϕ   ∂ϕ[e3, V3] =ρ∂A1∂A2[e3, e1] +[e3, e2] − A3 [e3, e1] =∂θ∂θ ∂A1∂A2e1 ,− A3  e2 −∂θ ∂θ= rot V =∂A2∂A31e3 e2 +∂ρ∂ρρ cosθ  ∂A1   ∂A1 ∂A3∂A2322  −+−Ae−+Acosθe++Asinθe2 3  ∂ϕ 1   ∂θ∂θ    ∂ϕe1 = 1  ∂A3 ∂A1 ∂A2 132+++Asine−Ae−θ12 ρ cosθ ∂ϕρ cosθ ∂θ ∂θ = ∂A1 −+ A2 cosθ e3 . ∂ϕ5.

Характеристики

Список файлов лекций