ВТА лекции (845816), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Предполагается, что D-компакт). Таким образом, мы получаем формулу,связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода∫∫ R( x, y, z )dxdy = ∫∫ R( x, y, z ) cos γ dS .Φ(1)ΦОпределение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости,будем называть поверхностью типа А . Поверхность называется допустимой, если она непрерывнодифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное числоповерхностей типа А.Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ковсем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывнодифференцируемое поле V=(P,Q,R), то∫∫P dydz +Q dzdx+R dxdy =Φ∫∫(P cos α +Q cos β + R cos γ) dS ,(2)Φгде cos α , cos β , cos γ - направляющие косинусы нормали к поверхности.

Эти формулы можнополучить из (1) циклической перестановкой переменных. Например, для интеграла∫∫ Qdzdx вΦформуле (1) необходимо заменить R на Q , y на x , z на y , x на z, cos γ на cos β (См. рис. Заменяем 2на 3).5. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го родаВведем следующие обозначения dS=ndS=(cos α, cos β , cos γ) dS. Это позволяет использоватьвекторное обозначение для интеграла 2-го рода∫∫P dydz +Q dzdx+R dxdy =Φ∫∫(V,dS).ΦФормула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом∫∫Φ(V,dS) =∫∫Φ58(V,n) dS(2)Замечание.Как это следует из формул вычислния площади поверхности, dS=|N|dxdy дляповерхности z(x,y) и dS=|N|dudv для параметрически заданной поверхности. Это можно использоватьпри вычислении поверхностных интегралов.

Например, для параметрически заданной поверхностиможно записать∫∫(V,dS) =Φ∫∫(V,n) dS=Φ∫∫(V,n) |N|dudv=D∫∫(V, N)dudv .DОтметим свойства интеграла 2-го рода1)(V,dS) = -∫∫(αV + β W, dS) = α(V,dS)Φ−Φ2)∫∫∫∫Φ3)∫∫∫∫(V, dS) + βΦ(V,dS) =Φ1 ∪ Φ 24) |∫∫∫∫∫∫(W, dS)Φ(V,dS) +Φ1∫∫(V,dS)Φ2(V,dS)| ≤ max |V|µΦΦВсе эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и формулы (2).Пример 1 (4352.2).

Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x+y+z=a, x≥0,y≥0, z≥0 относительно координатных плоскостей.Требуется вычислить интегралы∫∫ xρ ( x, y, z )dS , ∫∫ yρ ( x, y, z )dS , ∫∫ zρ ( x, y, z )dS .ΦΦПлотность распределения массы ρ=1.Φaa− x00∫∫ xdS = ∫∫ x 3dxdy = 3 ∫ xdx ∫ dy =ΦD3 3a .6Пример 2 (4353). Найти момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочкиx2+y2+z2=a2 , z≥0.Требуется вычислить интеграл∫∫ ( xΦ2+ y 2 ) ρ ( x, y, z )dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS .ΦПлотность распределения массы ρ возьмем равной 1.

Найдем длину вектора нормали N длясферических координат x=a cosθ cosϕ , y=a cosθ sinϕ , x=a sinθrir∂xN = ( A, B, C ) =∂ϕ∂x∂θrj∂y∂ϕ∂y∂θrki∂z2= a − cosθ sin ϕ∂ϕ− sin θ cos ϕ∂z∂θjcosθ cosϕ− sin θ sin ϕk0 =cosθa2(cos2θ cosϕ, cos2θ sinϕ, sinθ cosθ), N =a2 cos θ .Эта величина равна модулю якобиана, отображения определяемого сферическими координатами.59Тогда, используя сферические координаты для параметрического задания верхней полусферы, ( π π), 2 2 область изменения параметров - прямоугольник D = [0,2π ] × −π2π2()22222222222∫∫ ( x + y )dS = ∫∫ ( x + y ) N dϕdθ = ∫ dϕ ∫ a cos θ cos ϕ + a cos θ sin ϕ a cosθdθ =ΦD0ππ2π0(2)1()224a 4 ∫ dϕ ∫ cos3 θdθ = 2πa 4 ∫ 1 − sin 2 θ d sin θ = 2πa 4 ∫ 1 − u 2 du = 2πa 4 − πa 4 = πa 4 .330000Отметим, что в этом примере речь не идет о замене переменных.Пример 3 (4354).

Найти координаты центра тяжести однородной поверхности z =x2 + y2 ,вырезанной поверхностью x 2 + y 2 = ax .Координаты центра тяжести: X =∫∫ xρ ( x, y, z )dSΦ∫∫ ρ ( x, y, z )dS,Y =∫∫ yρ ( x, y, z )dSΦ∫∫ ρ ( x, y, z )dS,Z =ΦΦ∫∫ zρ ( x, y, z )dSΦ∫∫ ρ ( x, y, z )dS.ΦСчитаем плотность распределения масс равной 1. Весππa cos ϕ2π2 2 21 2a ∫ cos 2 ϕdϕ =aповерхности ∫∫ ρ ( x, y, z ) dS = ∫∫ dS = ∫ dϕ ∫ r 2dr =22ππΦD0−π2 2−222∫π−1 + cos 2ϕdϕ =22a2 .π∫∫ xρ ( x, y, z )dS =Φ2∫π−cos ϕdϕa cos ϕ23∫ r 2dr = 2a0ππ2211cos 4 ϕdϕ = 2a 3∫3 π3−22∫π−(1 + cos 2ϕ ) 2dϕ =42πa32122∫π(1 + 2 cos 2ϕ + cos−22ϕ )dϕ = a 32aπ .

X = . Y = 0 из соображений симметрии.282π∫∫ zρ ( x, y, z )dS =Φ2∫π−dϕπa cos ϕa32dr = 232∫r022∫πcos ϕdϕ =y=3−2 32 4 2 316a 2 −  =a . Z=a.9π3 392Пример 4 (4362).Вычислить∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , Ф-внешняя сторона сферы x +y +z =a .2Φ∫∫Φ(V,dS) =∫∫Φ(V,n) dS= r r∫∫  r , r dS = ∫∫  r , r dS =aµФ= a 4π .ΦΦ603222Пример 5 (4365).Вычислитьz = c 1− dydz dzdx dxdy x2 y2 z 2,Ф-внешняясторонаэллипсоида++= 1.++∫∫Φ  xyz a 2 b2 c 2x2 y2c− 2 .p=− 22abax=−c2 xc,q = − 22a zby=−c2 y.b2 zx2 y2x2 y 2− 21− 2 − 22abab222cc1 c  111N = (− p,−q,1), (V , N ) = 2 + 2 + =  2 + 2 + 2  . Обозначим через ∆ - верхнийa z b z z z abc 1−полуэллипсоид, а через D его проекцию на плоскость xOy. Учитывая ранее сделанное замечание исимметрию относительно координатных осей, получим( ) dydz dzdx dxdy  dydz dzdx dxdy  =2 ∫∫  = 2 V , N dxdy =++++xyz xyz  ∫∫Φ∆ D∫∫ 11 12c 2 + 2 + 2  ∫∫bc Da2π111rdr 1= 2abc 2 + 2 + 2  ∫ dϕ ∫=22bc  0 0 1 − r2axy1− 2 − 2abdxdy111 1du11 1 1= 4πabc 2 + 2 + 2  .4πabc 2 + 2 + 2  ∫abc2abc 0 1− u§3.

Формула Стокса1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф,однозначно проектируемую не все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z= z(x, y), (x, y)∈Dz относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности ссогласованной ориентацией. Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе краяповерхности в этом направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производныеТогда имеет место равенство ∂P∂P∫∫  ∂z dzdx − ∂y dxdy  = ∫ P( x, y, z )dx .ΦΓДоказательство проведем для положительно ориентированной поверхности61∂P ∂P,.∂y ∂z∫ P( x, y, z ) dx = ∫γ P ( x, y ) dx .

Это следует из формулы*Обозначим P*(x,y)=P(x,y,z(x,y)). Отметим, чтоΓвычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим параметризацию кривой γ.x(t ) γ: t∈[α, β ] тогда Γ :y (t )x(t )y (t ) t∈[α, β ].z ( x(t ), y (t ))βТогда∫γ P ( x, y ) dx = ∫γ P( x, y, z ( x, y)) dx = α∫ P( x(t ), y(t ), z ( x(t ), y (t ))) x' (t )dt ,*β∫ P( x, y, z ) dx = α∫ P( x(t ), y(t ), z ( x(t ), y (t ))) x' (t )dt .ΓПо формуле Грина∂∫ P( x, y, z ) dx = ∫γ P ( x, y ) dx = − ∫∫ ∂y P ( x, y)dxdy =*Γ*D ∂P( x, y, z ( x, y )) ∂P( x, y, z ( x, y )) ∂z dxdy =− ∫∫ +∂y∂z∂y D ∂P( x, y, z ( x, y ))∂P( x, y, z ( x, y )) ∂z∂P( x, y , z )∂P( x, y, z ) ∂z− ∫∫dxdy − ∫∫dxdy = − ∫∫dxdy − ∫∫dxdy∂y∂z∂y∂y∂z∂yDDΦΦ∂P( x, y, z )∂P ( x, y, z )= − ∫∫dxdy − ∫∫q cos γ dS =∂y∂zΦΦ− ∫∫Φ ∂P( x, y, z )∂P( x, y , z )∂P ( x, y, z )∂P( x, y, z )dxdy + ∫∫cos β dS = ∫∫ dzdx −dxdy  .

Здесь∂y∂z∂z∂yΦΦ использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормалиcos β = −q1+ p + q22, cos γ =11 + p2 + q2, откуда q cos γ = - cos β .Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть дляповерхностей, дапускающих зарбиение на части, однозначно проектируемые на все координатныеплоскости.2. Формула Стокса для векторного поля.62Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г-крайэтой поверхности с согласованной ориентацией.Из доказанной формулы ∂P∂P∫∫  ∂z dzdx − ∂y dxdy  = ∫ P( x, y, z )dx формальной заменой z наΦy, y на x,Γ ∂R∂R∫∫  ∂y dydz − ∂x dzdx  = ∫ R( x, y, z )dz .x на z, P на R (см.

рисунок, заменяем 1 на 2) получимΦΓТочно так же заменой z на x, y на z, x на y, P на Q (см. рисунок, заменяем 1 на 3) получим ∂Q∂Q∫∫  ∂x dxdy − ∂z dydz  = ∫ Q( x, y, z )dy . Складывая полученные выражения, получимΦΓ ∂R∂Q  ∂P∂R  ∂Q∂P ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫  ∂y − ∂z dydz +  ∂z − ∂x dzdx +  ∂x − ∂y dxdy .ΓΦВекторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формулеri∂rot V =∂xPrj∂∂yQrk∂.∂zRТогда формула Стокса запишется в виде∫(V, ds) =Γ∫∫Φcos α∂(rot V, dS)= ∫∫∂xΦPcos β∂∂yQcos γ∂dS .∂zRЦиркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротра через эту поверхность.Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.Пример 1.(4367) Вычислить∫ ydx + zdy + xdz , С- окружность x +y +z =a , x+y+z=0 , проходимая2222Cпротив часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.rk∂=(-1,-1,-1). В качестве поверхности с краем C выберем круг сечения плоскости∂zx22x+y+z=0 шара x +y +z2≤ a2 , ориентированный нормалью (1,1,1).

Тогдаri∂rot V =∂xyrj∂∂yz63∫ ydx + zdy + xdz = ∫∫(rot V, dS)=ΦC∫∫(rot V, n) dS= − 3ΦПример 2.(4368) Вычислить∫ (x2∫∫dS= − 3 µФ= − 3 π a2.Φ− yz )dx + ( y 2 − xz )dy + ( z 2 − xy )dz , взятый по отрезку винтовойAmBлинии x=a cos ϕ , y=a sin ϕ , z=ri∂rot V =∂xx 2 − yzrj∂∂yy 2 − xzhϕ от А(а,0,0) до B(a,0,h).2πrk∂=(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования и∂zz 2 − xyx = aвместо винтовой линии выберем отрезок, соединяющий точки A, B. y = 0t ∈ [0, h] .z = t h2222∫ ( x − yz)dx + ( y − xz)dy + ( z − xy)dz = ∫ t dt =0AmBh3.3Пример 3.(4369) Доказать формулуdx1µΦ = ∫ cos α2 ∂Φxdycos βydz1cos γ = ∫ [n, r ], ds ,2 ∂Φz()где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью n , ограниченная кривой ∂Φ ,согласованно ориентированной с нормалью n .V = [n, r ] = ( z cos β − y cos γ , x cos γ − z cos α , y cosα − x cos β ) ,rrrijk∂∂∂rot V ==(2cosα,2cosβ,2cosγ)=2 n .∂x∂y∂zz cos β − y cos γ x cos γ − z cos α y cos α − x cos βdx∫ cosα∂Φxdycos βydzcos γ = ∫ V , ds = ∫∫ rot V ,dS = ∫∫ 2n, n dS = 2 ∫∫ dS = 2 µΦ .∂ΦΦΦΦzПример 4.

Характеристики

Список файлов лекций