ВТА лекции (845816), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Предел интегральных сумм σ(f,∆, Ξ) при λ(∆)→0 (если он существует и не зависитот выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f наD и обозначается∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = λ lim(∆)→0DМожно использовать обозначениеσ ( f , ∆, Ξ ) .∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ f ( M )dM ( вместо M можно использоватьDлюбую подходящую букву, напримерD∫ f ( x)dx ).DБолее точно это определение выглядит следующим образом:∃J∀ε>0∃δ>0:(λ(∆)<δ, Ξ∈∆)⇒|σ(f,∆, Ξ) - J|<ε.Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидовапространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о егомере µD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn)рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}.

В каждой из подобластейвыбираются промежуточные точки ξk=( ξ1k , ξ 2k ,...,ξ nk ) )∈Dk. Полученный набор точек обозначим Ξ={ξk}. Интегральной суммой для набора f, ∆ , Ξ называется выражениеσ ( f , ∆, Ξ) = ∑ f (ξ k ) µDk(1)kСуммирование производится по всем областям разбиения.

Величина λ(∆)= max dDk , где максимумkберется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения ∆ . Как и раньше,dDk = sup ρ ( x, y ) – диаметр множества Dk , где точная верхняя грань берется по всевозможнымx , y∈ D kточкам x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .Определение. Предел интегральных сумм σ(f,∆, Ξ) при λ(∆)→0 (если он существует и не зависитот выбора разбиений и промежуточных точек ) называется интегралом от функции f на D иобозначается∫ f ( x)dx = λ lim(∆)→0Dσ ( f , ∆, Ξ ) .Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным длядвойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.1)∫ dx = µDD1) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и∫(f(x) + g(x))dx =D∫D21f(x)dx +∫Dg(x)dx.2) Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и∫ cf ( x)dx =c ∫ f ( x)dx .DD3) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и∫∫DD| f ( x)dx | ≤ | f ( x) | dx .4) Если f и g интегрируемы на D и f ≤ g на D , то∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx .DD6) Если m ≤ f(x) ≤ M на D, то ∃ c∈[m,M] :∫ f ( x)dx = c µD.DСледствие.

Если f непрерывна на связном компакте D, то ∃ξ∈D:∫ f ( x)dx= f(ξ)µD.D7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.8) Если µD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено∫f(x) dx=0.D2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипедаПусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b] × [c,d] × [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V.Обозначим прямоугольник [c,d] × [g,h] через D.22Теорема. Если существует∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz и для любого x∈[a,b] существует ∫∫ f ( x, y, z)dydz ,DVb∫ ∫∫ f ( x, y, z)dydzто существует интеграл dxaи имеет место равенствоDb∫ dx ∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .aDVb∫(здесь и в дальнейшем используются обозначения dxabf(x,y,z)dydz=∫∫D∫a  ∫∫D f ( x, y, z)dydz dx )Доказательство.

Рассмотрим разбиение ∆ области V :∆={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]×[yj,yj+1] ×[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1.Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)mijk= inf f ( X ) , Mijk= sup f ( X ) . Тогда для X∈Vijk справедливы неравенства mijk≤ f(X) ≤ Mijk .X ∈VijkX ∈VijkДля набора промежуточных точек {ξ i }, ξ i ∈ [xi,xi+1] будет выполненоmijk ∆yj ∆zk ≤∫∫ f (ξ , y, z )dydz ≤ Mijki∆yj ∆zk,D jkm −1 l −1∑∑mijk ∆yj ∆zk ≤j =0 k =0∫∫ f (ξi , y, z )dydz ≤m −1 l −1∑∑Mijk ∆yj ∆zk,j =0 k =0DДомножая последние неравенства на ∆xi и суммируя, получимn −1 m −1 l −1∑∑∑mijk ∆xi ∆yj ∆zk ≤i =0 j =0 k =0n −1∑ ∆xii =0∫∫ f (ξi , y, z)dydz ≤Dn −1 m −1 l −1∑∑∑Mijk ∆xi ∆yj ∆zk .i =0 j =0 k =0bСредняя сумма является интегральной суммой для интеграла∫ dx ∫∫ f ( x, y, z)dydz , крайние суммыaявляются суммами Дарбу для интегралаD∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz , откуда и следует требуемоеVутверждение.Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования.

Таким образом, привыполнении соответствующих условий получаются равенства видаb∫ dx ∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,aVDxd∫ dy ∫∫ f ( x, y, z )dxdz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,cDyV23h∫ dz ∫∫ f ( x, y, z)dxdy = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .gVDzЧерез Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0 ,соответственно.В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первогоиз написанных соотношений это будет выглядеть следующим образомbdhacgbhdagc∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y, z )dz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,V∫ dx ∫ dz ∫ f ( x, y, z)dy = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .bdhacgVbdhacg(используются обозначения dx dy f ( x, y, z )dz =   f ( x, y, z )dz dy dx )∫ ∫∫∫ ∫ ∫Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться триравенстваh∫∫ dxdy ∫ f ( x, y, z )dz = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ,D xygVd∫∫ dzdx ∫ f ( x, y, z )dy = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ,D zxcVb∫∫ dydz ∫ f ( x, y, z )dx = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ,D yzaVЗдесь Dxy =Dz =[a,b] × [c,d], Dzx=Dy =[g,h] × [a,b] , Dyz =Dx = [c,d] × [g,h].3.

Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего видаПусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость параллельнаякоординатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x ∈ [a,b] обозначим через Dx сечениеV∩ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x ∈ [a,b].

При этих предположенияхсправедливаТеорема. Если существует∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz и для ∀x∈[a,b] существует I(x)= ∫∫ f ( x, y, z )dydz тоVDxbсуществует и∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz иaDxb∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz .aDxV24Доказательство. Обозначим через R=[a,b]× [c,d] × [g,h] прямоугольный параллелепипед,содержащий область V и определим на R функцию f ( M ), M ∈ V. 0, M ∈ R \ Vf*(M)= Тогдаb**∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz , Rx= [c,d]× [g,h].RaRxДля левого и правого интегралов справедливы равенства∫∫∫ f*Rb( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f * ( x, y, z )dxdydz + ∫∫∫ f * ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz .VR \VbbV**∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz = ∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz = ∫ dx ∫∫ f ( x, y, z )dydz .aRxaDxaDxЗамечание.

Сечение Dx = V∩ Lx может быть задано в видеDx = {(y,z): y1(x) ≤ y ≤ y2(x) , z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)}.25В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz =Vb∫ dxay2 ( x)∫z 2 ( x, y )∫dyy1 ( x )f ( x, y, z )dz =z1 ( x , y )∫∫ dxdyDz2 ( x, y )∫ f ( x, y, z )dz .z1 ( x , y )D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в видеD = {(x,y):a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}.

Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получитьдругие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.4. Замена переменных в тройном и n-кратном интегралеПусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом,отличным от нуляx = x (ξ ,η , ζ ) y = y (ξ ,η , ζ ) , (ξ, η, ζ )∈ Σz = z (ξ ,η , ζ ) из Σ в V, где области Σ и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формулаµV=∫∫∫ΣD ( x, y , z )dξ dη dζD (ξ ,η , ζ(4).Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что∫∫∫ dx dy dzV=µ V =∫∫∫ΣD ( x, y , z )D ( x, y , z )dξ dη dζ =D (ξ ,η , ζD (ξ ,η , ζ )µ Σ.(ξ ,η ,ζ )Откуда следует, что в любой точке области M0=(ξ0 ,η0 ,ζ0 )D ( x, y , z )D (ξ ,η , ζ )= lim( ξ 0 ,η 0 ,ζ 0 )Σ→M 0µV.µΣТеорема ( о замене переменных ).

Если f интегрируема в V, то∫∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ f [ x(ξ ,η , ζ ), y(ξ ,η , ζ ), z (ξ ,η , ζ )]VΣD ( x, y , z )dξ dη dζ .D(ξ ,η , ζДоказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функцииF(ξ,η,ζ)=f[x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)] на Σ доказывается так же, как и в случае двойного интеграла.Выберем какое-либо разбиение {Σj} области Σ и обозначим через {Vj} соответствующее разбиениеобласти V.

Согласно формуле (4)26µ Vj =D(x,y,z)∫∫∫ D(ξ ,η , ζ)dξ dη dζ =ΣjD ( x, y , z )D (ξ ,η , ζ )µ Σj.( ξ j ,η j ,ζ j )Полученные таким образом точки Mj = (ξj , ηj , ζj ) будем рассматривать как промежуточные точкидля интегральных сумм функции F(ξ,η,ζ) и разбиения {Σj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj )для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае∑ f ( P )µV = ∑ f [ x(Mjjjj), y ( M j ), x( M j )]jD ( x, y , z )D(ξ ,η , ζ )µΣ j .MjИз этого равенства следует требуемое утверждение.Пример 1.

Цилиндрические координаты∫∫∫x 2 + y 2 dx dy dz , x2+y2=z2, 0 ≤ z ≤ 1Vx = r cos ϕ  D ( x, y , z )y = r sin ϕ  ,=r.D ( r , ϕ , h)z=h В этом случае D = {(r,ϕ,h): 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ z , ∀ z∈[0,1]} .1∫∫∫DV0DzПример 2. Сферические координатыA=12πz10000x 2 + y 2 dx dy dz = ∫∫∫ r 2 dr dϕ dz = ∫ dz ∫∫ r 2 dr dϕ = ∫ dz ∫ dϕ ∫ r 2 dr = 2π ∫∫∫∫ xyzdx dy dz , x +y +z222≤ 1, 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z .V27z3πdz = .36x = ρ cos θ cos ϕ − ρ cosθ sin ϕ D ( x, y , z )y = ρ cosθ sin ϕ  ,= ρ cosθ cos ϕD(ϕ,ρ,θ)z = ρ sin θ 0cosθ cos ϕcosθ sin ϕsin θ− ρ sin θ cosϕ− ρ sin θ sin ϕ =ρ cosθ=-sinθ (ρ2sinθ cosθ sin2ϕ+ρ2sinθ cosθ cos2ϕ)-ρcosθ(ρ cos2θ sin2ϕ+ρ cos2θ cos2ϕ) ==-sinθ ρ2sinθ cosθ -ρcosθ ρ cos2θ =-ρ2cos θ .1A= ρ 5 dρ∫0π /2ππ /2∫ cos ϕ sin ϕdϕ ∫ cos θ sin θdθ30Пример 3. В интеграле0π1  sin 2 ϕ  2  cos 4 θ  2 1 − == .6  2  0 4  0 4811− xx+ y∫ dx ∫ dy∫ f ( x, y, z )dz000расставить пределы интегрирования в порядкеdxdzdy и dzdxdy.Пример 4.

Заменить тройной интегрлал однократным2811x+ y000∫ dx ∫ dy ∫ f ( z )dz11x+ y∫ dx ∫ dy∫0001∫ f ( z )1 −0121201f ( z )dz = ∫ f ( z )dz ∫∫ dxdy + ∫ f ( z )dz ∫∫ dxdy = ∫ f ( z ) µDz dz + ∫ f ( z ) µDz dz =Dz02z2Dz11dz + ∫ f ( z ) (2 − z )2 dz2125. Замена переменных в общем случаеРассмотрим регулярное отображениеx1 = x1 (u1 , u2 ,..., un ) x2 = x2 (u1 , u2 ,..., un )  ( кратко x=x(u) )...xn = xn (u1 , u2 ,..., un )из области Σ в область V.

Характеристики

Список файлов лекций