ВТА лекции (845816), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для функции f * выполнены условияпредыдущей теоремы, поэтомуBEAC**∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫∫ f ( x, y)dxdy .ДалееRBEbEby2 ( x)ACaCay1 ( x )**∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dxравенство∫∫ f*( x, y )dxdy =R∫ f ( x, y)dy . По теореме 3 из параграфа 4 выполнено∫∫ f ( x, y )dxdy откуда и следует требуемое равенство. АналогичноDдоказываетсяТеорема. Если для области типа B существуют∫∫ f ( x, y)dxdy и ∀y∈[c,d]Dсуществуетx2 ( y)dx2 ( y )x1 ( y )cx1 ( y )∫ f ( x, y )dx , то существует ∫ dy ∫ f ( x, y )dxdx2 ( y )cx1 ( y )∫ dyи∫ f ( x, y)dx = ∫∫ f ( x, y)dxdy .D11Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле∫∫ f ( x, y)dxdy в том и другом порядке.D1.
D={(x,y):0 ≤ x ≤ 1, x2≤ y≤ 1+(x-1)2}2.D={(x,y):0 ≤ x ≤ 1, x2-1≤ y≤ cos(π2x ).§7. Замена переменных в двойном интеграле1. Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости,плоскость переменных ξ, η и область Σ в этой плоскостиПусть имеется взаимно однозначное отображение области D на Σξ = ξ ( x, y ) ( x, y ) ∈ Dη = η ( x, y ) (1),x = x(ξ ,η ) (ξ ,η ) ∈ Σ (2).y = y (ξ ,η )Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этихотображений12D(ξ ,η )D ( x, y )≠0.≠0,D ( x, y )D(ξ ,η )Отметим, чтоD(ξ ,η ) D ( x, y )=1.D ( x, y ) D (ξ ,η )В области Σ рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривуюξ = ξ (t ) t∈[α,β ].η = η (t )Ее образ в D имеет параметризациюx = x(ξ (t ),η (t )) t∈[α,β ]y = y (ξ (t ),η (t ))и будет также кусочно-гладкой кривой.
Действительно,∂x∂x ξ '+ η '∂ξ∂η ∂y ∂yy' =ξ '+ η '∂ξ∂η x' =(3).Если (ξ′,η′)≠(0,0), то и (x′,y′)≠(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденнойматрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречитусловию (ξ′,η′)≠(0,0).Определение. Кривая, составленная из точек области D видаx = x(ξ ,η0 ) x = x(ξ 0 ,η ) илиy = y (ξ ,η0 )y = y (ξ 0 ,η )называется координатной линиейНеявное задание этой линии имеет вид η(x,y)=η0 (соответственно ξ(x,y)=ξ0).Определение.
Числа ξ0 , η0 из области Σ плоскости (ξ , η) определяющие положение точки (x0 ,y0) изобласти D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот,на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (ξ0 , η0).13Фиксируя значения ξ или η на плоскости (ξ ,η) можно получить два семейства координатных линий.В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях двелинии одного семейства не пересекаются между собой и, через любую точку области D проходит поодной линии из каждого семейства2. Изменение площади при отображениях.Рассмотрим отображениеx = x(ξ ,η ) ξ = ξ ( x, y ) ( x, y ) ∈ D и его обратное(ξ ,η ) ∈ Ση = η ( x, y ) y = y (ξ ,η )удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденнымилиниями ξ=const, η=const плоскости ξ, ηРассмотрим прямоугольник ξ, ξ +∆ξ, , η, η +∆η в плоскости ξ, η и его образ в плоскости x, y.Обозначим для краткости x=x(ξ,η), y=y(ξ,η), тогдаx(ξ +∆ξ ,η)= x +∂x∆ξ + o(ρ),∂ξy(ξ +∆ξ ,η)= y +∂y∆ξ + o(ρ),∂ξx(ξ ,η +∆η)= x +∂x∆η + o(ρ),∂ηy(ξ ,η +∆η)= y +∂y∆η + o(ρ),∂ηx(ξ +∆ξ , η +∆η)= x +∂x∂x∂y∂y∆ξ +∆η + o(ρ), y(ξ +∆ξ , η +∆η)= y +∆ξ +∆η + o(ρ).∂ξ∂η∂ξ∂ηДля вычисления площади фигуры с вершинами14A(x,y), B(x(ξ +∆ξ ,η), y(ξ +∆ξ ,η)), C(x(ξ +∆ξ , η +∆η), y(ξ +∆ξ , η +∆η)), E( x(ξ ,η +∆η), y(ξ ,η +∆η))рассмотрим параллелограмм A=A′, B′, C′, E′ с координатами вершинA′=A=(x,y), B′=( x +E′=( x +∂x∂y∂x∂x∂y∂y∆ξ, y +∆ξ ), C′=( x +∆ξ +∆η, y +∆ξ +∆η ),∂ξ∂ξ∂ξ∂η∂ξ∂η∂x∂y∆η, y +∆η ) .∂η∂ηЭтот параллелограмм построен на векторах A′B′, A′E′,a=A′B′ = (∂x∂y∂x∂y∆ξ,∆ξ), b=A′E′ = (∆η,∆η).
Поэтому его площадь равна∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∆ξ∂ξ [a,b] =∂x∆η∂η∂y∆ξD ( x, y )∂ξ=∆ξ∆η.∂yD (ξ ,η )∆η∂ηВершины A,A′, B,B′, C,C′, E,E′ отличаются на o(ρ). Можно показать, что в этом случае площади будутотличаться на o(ρ2)µ(A′,B′,C′,E′)=D ( x, y )∆ξ∆η + o(ρ2).D (ξ ,η )Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равнаµD= ∫∫ dxdy = ∫∫DΣD ( x, y )dξ dηD(ξ ,η )(4).Докажем последнее равенство для случая, когда область Σ представляет собой квадрат [α,β] ×[α,β ]15Разобьем Σ на равные части линиями ξ=ξi , η=ηj .В этом случае ∆ξi=ξi+1 - ξi = (β - α)/n , ∆ηj=ηj+1 - ηj = (β - α)/n , ρ= ∆ξ i2 + ∆ηi2 =(β - α)/n,µD=n −1∑i, j =0D ( x, y )D (ξ ,η )∆ξi ∆η j +(ξ i ,η j )n −11∑ o( ni, j =02).Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n→∞ , откуда и следуетравенство (4).Замечание.
Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражениеdξdη - элементом площади в плоскости ξ, η. Равенство (4) позволяет говорить, что модульякобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображенииdxdy =Из равенства µD=D ( x, y )D (ξ ,η )D ( x, y )dξdη.D (ξ ,η )µΣ следует, что в любой точке области M0=(ξ0 ,η0 ,ζ0 )(ξ ' ,η ' )D ( x, y )D (ξ ,η )= lim(ξ 0 ,η 0 )Σ→M 0µV.µΣ3.Примеры отображений.Экспонентаu = e x cos y ( x, y ) ∈ Σ , Σ=[-3,1] ×[0,π]v = e x sin y 16Функция Жуковского1x x + 22x + y 2 ( x, y ) ∈ Σ ,Σ=( в полярных кординатах) [0,π] ×[0.25,0.9]1y v = y − 22x + y 2 u=Дробно линейное отображениеx x + y 2 ( x, y ) ∈ Σ ,Σ= [0.25,1]×[0,1]y v =1− 2x + y 2 u =1+2174.
Замена переменных в двойном интеграле.Рассмотрим отображениеx = x(ξ ,η ) ξ = ξ ( x, y ) ( x, y ) ∈ D и его обратное(ξ ,η ) ∈ Σ ,η = η ( x, y ) y = y (ξ ,η )непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D.Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(ξ, η)=f(x(ξ, η),y(ξ, η)) интегрируемана Σ .Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области Σ и наоборот. Такимобразом связанные между собой разбиения, будем обозначать ∆D={Dk} , ∆Σ={Σk}. Здесь Dk и Σk –подобласти, переходящие друг в друга при заданном отображении .Для разбиений ∆D={Dk} , ∆Σ={Σk} можно выписать соотношение между колебаниями функцийωk(F)= sup f ( x( M ), y ( M )) − f ( x( N ), y ( N )) =M , N ∈Σ kДалее µΣ k =supM ' , N '∈Dkf ( M ' ) − f ( N ' ) =ωk(f).D(ξ ,η )∫∫ dξdη = ∫∫ D( x, y) dxdy ≤ CµD .kΣkDkПоэтомуS(F, ∆Σ)-s(F, ∆Σ)=∑ ω ( F )µΣ = ∑ ω ( f )µΣkkkkk≤ С ∑ ωk ( f ) µDk =C(S(f,∆D)-s(f, ∆D)).kkОткуда и следует интегрируемость функции F(ξ, η) на Σ.Теорема.
Пусть функция f интегрируема в D, тогдаD ( x, y )∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f [ x(ξ ,η ), y(ξ ,η )] D(ξ ,η ) dξdη .ΣDДоказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некотороеразбиение области Σ на подобласти Σi и соответствующее ему разбиение области D на множества Di.Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (ξi , ηi ), для которойµDi =D ( x, y )D ( x, y )∫∫ dxdy = ∫∫ D(ξ ,η ) dξdη = D(ξ ,η )DiΣi18µΣi .(ξ i ,η i )Для этих точек (ξj,ηj ) и соответствующих им точек (xj,yj ) можно выписать интегральные суммыD ( x, y )∑ f ( x , y )µ D = ∑ f [ x(ξ ,η ), y(ξ ,η )] D(ξ ,η )jjjjjjjµΣ j .jj( ξ j ,η j )При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будутсходиться к интеграламD ( x, y )∫∫ f ( x, y)dxdy , ∫∫ f [ x(ξ ,η ), y(ξ ,η )] D(ξ ,η ) dξdη ,DΣсоответственно.Пример 1.
Рассмотреть область D={ϕ∈[α,β ],r∈[r1,r2]} и сделать замену в интеграле∫∫ f ( x, y)dxdy ,Dиспользуя полярные координаты.Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле∫∫ f ( x, y)dxdy для областиDD={|x|+|y|≤ 1}.Пример 3 (3959). Сделать замену переменных x=u cos4v, y= u sin4v в интеграле∫∫ f ( x, y)dxdy дляDx+ y = a.области D, ограниченной кривыми x=0, y=0,19Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –гокоординатных углов и кривой (x3+y3)2=x2+y2.Перейдем к полярным координатам1r6(cos3ϕ+sin3ϕ)2=r2, r =µD= ∫∫ dxdy =D12−41−2sin(ϕ +3π4−4π43πdϕ)(2 − sin 2ϕ )d cos(ϕ +4π14dϕ14dϕrdr===33∫0∫∫2 π cos ϕ + sin ϕ 2 π (cos ϕ + sin ϕ )(1 − cos ϕ sin ϕ )π=12−43π4∫π−4sin(ϕ +π44dϕ)(2 + cos(2(ϕ +)14=−∫π 2 ππ2)(2 + cos(2(ϕ + )))− sin (ϕ +4−3cos 3 ϕ + sin 3 ϕ∫π dϕ3π4∫π13π4−cos ϕ + sin 3 ϕ343π4∫π−4π4=)))d cos( ϕ +(1 − cos 2 (ϕ +π4π4)))(1 + 2 cos (ϕ +π4=))−11du. Последний интеграл расходится.2∫2 1 (1 − u )(1 + 2u 2 )Глава 2.Кратные интегралы.
Продолжение§1. Тройные и n-кратные интегралы1.Определение тройного и n-кратного интегралаПусть D кубируема, ее площадь будем обозначать µD , функция f(M)=f(x,y,z) определена иограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти Dk(совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей Dk выберем точкуMk=(ξk,ηk,ζk)∈Dk.
Полученный набор точек обозначим Ξ ={Mk}. Интегральной суммой для набора f,разбиения ∆ , набора промежуточных точек Ξ называется выражениеσ ( f , ∆, Ξ) = ∑ f ( M k ) µDkk20(1)Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ(∆)= max dDk называется0≤ k < nхарактеристикой разбиения ∆ . Здесь dDk = sup ρ ( P, Q ) – диаметр множества Dk .P , Q∈D kУсловие Mk∈Dk, для всех k мы будем обозначать Ξ∈∆.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
