ВТА лекции (845816), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Ковариантный вектор (функционал из Х*) является тензором типа (0,1). Это следует из формулпреобразования координат. Если f = ηk f k = η k f k , то ηα = η j cαj .1044. Билинейная форма В(x,y) в пространстве контравариантных векторов (Х,Х) является тензоромтипа (0,2). Действительно, пусть x = ek x k , y = ek y k , eα = ei cαi . Координаты или коэффициентыбилинейной формы равныaij = B(ei , e j ) , aαβ = B(eα , eβ ) = B(ei cαi , e j cβj ) = B(ei , e j )cαi cβj = aij cαi cβj .5. Билинейная форма В(f,g) в пространстве ковариантных векторов (Х*,Х*) является тензором типа(2,0). Действительно, пусть f = ηk f k , g = ζk g k , f β = b βj f j . Координаты или коэффициентыбилинейной формы равныa ij = B( f i , f j ) , a αβ = B( f α , f β ) = B(biα f i , b βj f j ) = biα b βj B( f i , f j ) = biα b βj aij .6.

Билинейная форма В(x, f) в пространстве векторов (Х,Х*) является тензором типа (1,1).Действительно, пусть x = ek x k , f = ηk f k , eα = ei cαi , f β = b βj f j . Координаты или коэффициентыбилинейной формы равныaij = B(ei , f j ) , aαβ = B (eα , f β ) = B(ei cαi , b βj f j ) = b βj B(ei , f j )cαi = b βj aij cαi .2. Основные операции над тензорамиОбозначения. Мульти индекс.i=( i1 i2 … ip ), α=( α1 α2 … αp ),j=( j1 j2 … jq ), β =( β 1 β2 … β q ),p, q – называются порядками мульти индексов. В дальнейшем будут использоваться следующиеобозначения;Для координат тензора Ai j = Ai1i12 ...2 i p q ,j j ...

jαдля матриц перехода координат biα = biα1 1 biα2 2 ...bi p p ,в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать.Для векторов базисов ei = ei1 ei 2 ...ei p .В этих обозначениях определение тензора (q, p) запишется в видеAαβ = b βj Ai j cαi .Мульти индексы складываются по правилуi+j=( i1 i2 … ip j1 j2 … jr ),где i=(i1 i2 … ip ), i=( j1 j2 … jr ).Сумма двух тензоров A, B типа (p,q) определяется по формулеD ij = Aij + B ij.В результате операции получается тензор того же типа,Dαβ = Aαβ + Bαβ = b βj Ai j cαi + b βj Bi j cαi = b βj (Ai j + Bi j )cαi = b βj Di j cαi105Произведение тензора на число определяется по формулеDi j = λAi j .В результате операции получается тензор того же типа,Dαβ = λAαβ = λb βj Ai j cαi = b βj λAi j cαi = b βj Di j cαiПроизведение тензора A типа (p,q) на тензор B типа (r,s) определяется по формулеDi j++kl = Ai j Bkl .Или в развернутом видеDi1i12 ...2 i p kq1k122...k rs = Ai11i2 ...2 i p q Bkl11lk22......lks r .j j ...

j l l ...lj j ... jВ результате операции получается тензор типа (q+s ,p+r). Докажем последнее утверждение. Дляисходных тензоров имеем формулы преобразования их координатAi j = bαj Aβα ciβ , Bkl = bγl Bδγ ckδ . Тогда для координат произведения получимDi +j +k l = Ai j Bkl = bαj Aβα ciβ bγl Bδγ ckδ = bαj bγl Aβα Bδγ ciβ ckδ = bαj bγl Dβα++δγ ciβ ckδ = bαj ++γl Dβα++δγ ciβ++kδ .Множества тензоров типа (q,p) в евклидовом пространстве Х с введенными таким образомоперациями обозначается Apq ( X ) .Операция перестановки местами двух выбранных индексов определяет новый тензор того жетипа.Рассмотрим эту операцию на примере тензора Ai1ji12ji23i4 типа (2,4). ПоложимBi1ji12ji23i4 = Ai3j1i2ji21i4 , Bi1ji12ji32i4 = Ai3ji12ji12i4 .

Найдем формулы преобразования координат от Bi1ji12ji23i4 к Bi1ji12ji32i4 .ИмеемBr1s1r2sr23 r4 = Ars31rs2 r21r4 = b sj11 b sj22 Ai3j1i2ji21i4 cri33 cri22 cri11 cri44 = b sj11 b sj22 Ai3j1i2ji21i4 cri11 cri22 cri33 cri44 = b sj11 b sj22 Bi1ji12ji23i4 cri11 cri22 cri33 cri44 .Операции симметрирования и альтернирования.Определение. Тензор А с координатами A......i ... j ... называется симметричным по паре индексов i, j ,если при перестановке этих индексов координаты тензора не меняются, т.

е. A......i ... j ... = A...... j ...i ... . ЕслиA......i... j ... = − A......j ...i... , то тензор называется кососимметричным по этой паре индексов.Операция симметрирования тензора по индексам i1i2…ik . Операция состоит в построении поданному тензору Ai...1i 2 ...i k нового тензора B по следующему правилу: рассматриваются k! тензоров,полученных из А перестановкой индексов i1i2…ik и B определяется, как сумма этих тензоров,деленная на k!.{}def1B = A(...i1i 2 ...i k ) = 106∑A k! (i1i2 ...ik )...i1i 2 ...i k.Пример 1.

a( i1i2 ) =()1ai i + ai2 i1 для тензора aij типа (0,2).2 121 3 53 5 75 7 9 1 2 3Пример 2. aij =  4 5 6  , a(ij)=7 8 9Операция альтернирования А тензора по индексам i1i2…ik определяется по формуле{}def1∑ (−1)С = A[...i1i2 ...ik ] = [ i1i 2 ...i k ] k! ( i1i2 ...ik )Ai...1i2 ...ik  ,где [i1i2…ik] – четность перестановки (i1i2…ik).Пример 1. a[ i1i 2 ] =()1ai i − ai2 i1 .2 12 1 2 3Пример 2. aij =  4 5 6  , a[ij]=7 8 9 0 −1 − 21 0 −1 .2 10 Можно проверить, что тензор B является симметричным тензором, а тензор С – кососимметричным.2.Метрический тензор.Метрический тензор определяется по формулам gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), где ei , ei – два взаимных базисав евклидовом пространстве Х.

Ранее были выведены формулы Гиббсаx = (x,ek)ek , x = ek (x,ek) ,откуда следует, чтоej = (ej,ek)ek=gjk ek , ej = ek (ej,ek)= ek gjk .Если x = xj ej , y = yk ek , то скалярное произведение(x, y) = xj yk (ej, ek)= xj yk gjk – билинейная форма ( тензор типа (2,0) ).Аналогично, если x = ej x j , y = ek yk , то скалярное произведение(x, y) =( ej , ek) x j yk = gjk x j yk – билинейная форма ( тензор типа (0,2) ).Положим gij = (ei , e j ) = δ i j , x = ej x j , y = yk ek, тогда(x, y) =( ej x j , yk ek )= yk ( ej , ek ) x j - билинейная форма ( тензор типа (1,1) ).Определение.

Тензоры gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), gij = (ei , e j ) = δ i j называются метрическими тензорамив евклидовом пространстве Х.Тензоры gij , gij очевидно симметричны. С помощью метрических тензоров можно определитьоперацию поднятия индекса i1α j ... jqAi2 ...1ip107= Ak 1i2 ...iqp g kα ,j ... jи операцию опускания индекса j1Aα 2i1 ...iqp = g kα A i1 ...2i p q .j ... jk j ... j§3.

Полилинейные формы и их связь с тензорамиПусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением)размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1).Обозначим xk = ej xki , y s = yis ei.Определение. Функция F(y,x)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) от q контравариантных и p ковариантныхвекторов называется полилинейной формой ( (q,p) – полилинейной формой ), если она линейна покаждому аргументу.Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двухформ типов (q,p),(s,r) дает форму типа (, q+s ,p+r):H(y1,y2,…,yq+s,x1,x2,…,xp+r)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) G(yq+1,yq+2,…,yq+s,xp+1,xp+2,…,xp+r).Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числаj j ... jjai11i2 ...2 i p q = F (e j1 , e j 2 ,..., e q , ei1 , ei2 ,..., ei p ) , илиaij = F (e, e* ) .iРассмотрим наборы векторов x1= ei1 x1i1 , x2= ei2 x2i2 ,…, xp= ei p x pp ,y1= y1j1 e j1 , y2= y 2j 2 e j 2 ,…,yq= y qjq e q .

Координаты полилинейной формы в новом базисе eα = ei cαi и e β = b βj e j будут равныjβαai1i12 ...2 i p q = F (e j1 , e j2 ,..., e q , ei1 , ei2 ,..., ei p ) = F (bβj11 e β1 , bβj 22 e β 2 ,..., bβ qq e q , eα1 ciα1 1 , eα 2 ciα2 2 ,..., eα p ci1 p ) =j j ... jjjβαβ β ...βαbβj11 bβj 22 ...bβ qq F (e β1 , e β 2 ,..., e q , eα1 , eα 2 ,..., eα p )ciα1 1 ciα2 2 ...ci p p = bβj11 bβj22 ...bβ qq aα11α 22 ...α qp ciα1 1 ciα2 2 ...ci p p ,jjjили, в краткой форме: a i = F (e, e* ) = F (bαj eα , eβ ciβ ) = bαj F (eα , eβ )ciβ = bαj aβα ciβТаким образом, полилинейная форма типа (q,p) является тензором типа (q,p).Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp), рассмотримновую формуG(y2,…,yq,x2,…,xp)=F (eα , y ,..., y∑α2q, eα , x2 ,..., x p ) .Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса.

Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, тодостаточно рассмотретьF(eα,eα ). Имеем eα = ei cαi и e β = b βj e j и∑iF( e i , ei )=∑i∑αF( e i , eα ciα )=∑F( e i , eα ) ciα =i∑αF( ciα e i , eα )=∑αF( eα , eα ).Напомним, что наличие индекса i на разных уровнях, слева внизу, справа вверху, означаетсуммирование по этому индексу.108Полилинейная форма G(y2,…,yq,x2,…,xp)=F (eα , y ,..., y∑α2q, eα , x2 ,..., x p ) называется сверткой попервому индексу. Координатами этой формы будутα j ... jbi22...i p q = G (e j2 ,..., e q , ei2 ,..., ei p ) = ∑ aα i22...i p qj ... jjαСвертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.109.

Характеристики

Список файлов лекций