ВТА лекции (845816), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Выражение оператора Лапласа в сферических координатахH1 = 1, H2 = ρ cos θ, H3 = ρ,∂ H ∂u 2 k =k k H k ∂x ∂ 21∂u ∂ 1 ∂u ∂ ∂u + + cosθ = ρ cosθ2ρ cosθ ∂ρ ∂ρ ∂ϕ cosθ ∂ϕ ∂θ ∂θ ∆u = div grad u =1H∑ ∂x1 ∂ 2 ∂u 1∂ 2u1++ 2ρ2 222ρ ∂ρ ∂ρ ρ cos θ ∂ϕρ cosθГлава 7. ∂ ∂u cosθ .∂θ ∂θ Элементы тензорного исчисления§1. Линейные функционалы. Сопряженное пространство1.Определение линейного функционалаПусть Х – линейное пространство, т. е.
множество элементов, среди которых определены двеоперации: операция сложения x+y для любых двух элементов и операция умножения любого100элемента из Х на вещественное или комплексное число αx , удовлетворяющие аксиомам линейногопространства.Линейный функционал определяется, как отображение из Х в R: y = f(x) , удовлетворяющеесвойству f(ax+by)=af(x)+bf(y).Функционалы можно складывать и умножать на числа. Так, если даны два функционала f1 (x), f2 (x),то «функционал-сумма» определяется по формулеf (x) = f1 (x)+ f2 (x).Аналогично определятся функционал «умножение на число»f (x) =a f1 (x).Можно проверить, что множество всех линейных функционалов над линейным пространством Х сэтими операциями сложения функционалов и умножения функционала на число является линейнымпространством. Для этого нужно убедиться, что указанные выше операции удовлетворяютследующим свойствам:1.для любых функционалов g и f справедливо равенствоf+g=g+f2.для любых функционалов f , g , h справедливо равенство(f+g)+h= f+(g+h)3.для любых чисел a , b и любого функционала f справедливы равенства(ab) f=a (b f) , (a+b) f = a f +b f1.для любых функционалов f , g и любого числа a имеет место равенствоa(f+g)=af+ag5.существует нулевой функционал 0 такой, что для любого функционала f справедливо равенство0+f=f6.
для любого функционала f существует противоположный функционал, обозначаемый –f иудовлетворяющий свойствуf + (–f ) = 07.для любого функционала f выполнено:1f=fПримеры линейных функционалов1.Нулевой функционал f(x)=0 для любого x∈ X.2.f(x) =b∫ x(t )dt для любых x(t)∈ C[a,b].a3.
Пусть X – n-мерное линейное пространство, ek базис в этом пространстве. Для любого x∈ Xсуществует единственное разложение x = ek f k . Так как коэффициенты этого разложенияопределяются однозначно, то можно записать f k= f k(x). Таким образом, если x = ek f k(x) , y = ek f k(y),тоa x+by = a ek f k(x) +b ek f k(y) = ek ( a f k(x) +b f k(y)) , ax+by = ek f k(ax+by) ,откуда следует, что коэффициенты разложения f k являются линейными функционалами101a f k(x) +b f k(y)ek = f k(ax+by).Отметим, что f k(ej) = δ jk .Определение.
Множество всех линейных функционалов над Х называется сопряженнымпространствам и обозначается Х*.Теорема 2. Если Х – конечномерное (размерности n) линейное пространство, то сопряженноепространство Х* также имеет размерность n. Базисом в Х* служит набор функционалов f k.Доказательство. Система функционалов f k(x) линейно независима.
Действительно, если для любогоx ∈ X : сk f k(x)=0 , то полагая x = ej , получим сk = 0. Это означает линейную независимостьфункционалов f k(x). Докажем, что любой функционал можно разложить по системе f k(x). Пусть f(x)некоторый функционал и x = ek f k(x) , тогдаf(x) = f(ek f k(x)) = f(ek) f k(x) = сk f k(x).Отметим, что единственность разложения следует из линейной независимости.Определение. x ∈ X , f ∈ X* называются ортогональными, если f( x)=0.Определение.
Два базиса ek из Х и f k из Х* называются биортогональными (взаимными), если f k( ej) =δ jk .Существование взаимного базиса мы ранее доказали. Докажем его единственность. Пусть g j другойвзаимный базис g k( ek ) = δ jk . Рассмотрим разложение g j(x) по базису f k(x) : g j (x) = ckj f k(x) , если вэто равенство подставить x = ei , то получим δ i j = g j(ei) = ckj f k(ei) = ckj δ ik = cij . Таким образом,g j (x) = δ kj f k(x) = f j(x).Определение. В линейном вещественном пространстве Х определено скалярное произведение, есликаждой паре x, y из Х поставлено в соответствие вещественное число (x, y) , удовлетворяющееследующим свойствам1)(x,y) = (y,x)2)(ax,y) = a(x,y)3)(x+y,z) = (x,z) + (y,z)4)(x,x) ≥ 0 , (x,x) = 0 ⇔ x = 0.Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.Примеры.b1.Пространство CL2[a,b], (f,g) =∫ f ( x) g ( x)dx .an2.Пространство Еn , x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn), (x,y) =∑x yk =1102kk.3.
Пространство l 2 , элементами пространства служат всевозможные числовые последовательности∞x={xk}, удовлетворяющие условию∑x2kk =1< ∞. Операции сложения последовательностей иумножения их на (вещественные) числа вводятся обычным образом. Скалярное произведение∞определяется по формуле x={xk}, y={yk} , (x,y) =∑x yk =1kk.Проверим, что сумма двух элементов из l 2 также принадлежит l 2. Использую неравенство КошиБуняковского, получим∑ (xk + yk )2 = ∑ (xk2 + 2 xk yk + yk2 ) = ∑ xk2 + 2∑ xk yk + ∑ yk2 ≤nnk =1nk =1n≤ ∑ xk2 + 2k =1nk =1nn∑x ∑ y + ∑ y2kk =1n2kk =1k =12k= k =1n∑x+2kk =1k =12n∑y2kk =1∞Таким образом, из сходимости рядовn .∞∑ xk2 , ∑ yk2 будет следовать сходимость рядаk =1k =1∞∑ (xk =1k+ yk ) и2следовательно, элемент x+y ∈ l 2, если x , y ∈ l 2. Очевидно, что λx ={λxk}∈ l 2, если x ∈ l 2.
Такжеможно проверить выполнение аксиом линейного пространства и аксиом скалярного произведения.Нулем пространства служит последовательность из нулей: θ={0}, противоположным элементом для x={xk} будет (-x) ={-xk}. Остальные аксиомы линейного пространства следуют из соответствующихсвойств пространства вещественных чисел. Аксиомы скалярного произведения следуют изпростейших свойств числовых рядов.Теорема.
Если Х является n-мерным евклидовым пространством, то для каждого линейногофункционала существует единственное y, такое чтоf (x) = (x ,y).Доказательство. Выберем в Х ортонормированный базис e1,e2,…,en . Для произвольного x ифункционала f будут справедливы соотношенияnx = ek f k(x) , f(x)= f(ek) f k(x) . Положим y =∑ f ( e )ek =1kk, тогдаn n n( x, y ) = ∑ ek f k ( x), ∑ f (ek )ek = ∑ f k ( x) f (ek ) = f (ek ) f k ( x ) = f ( x) .
Докажем единственностьk =1 k =1 k =1такого функционала. Пусть (x , z)=(x , y) или (x , z-y)=0 для всех x. Полагая в этом равенстве x = z-y ,получим z = y .С другой стороны для фиксированного y скалярное произведение (x , y ) является линейнымфункционалом по переменной x . Таким образом, линейные функционалы над Х можноотождествлять с элементами пространства Х.
Поэтому для линейного функционала f, действующего влинейном пространстве Х общепринятым является обозначениеf (x) = (x , f).2.Формулы преобразования координатЕсли f k, ek взаимные базисы из Х* и Х соответственно, тоx = ek ξ k ξ k= (x , f k ),далее f = ck f k , ck = (ek , f) или103x = ek ( x, f k ) f = (ek , f ) f k Формулы Гиббса(1)Далее, если x = ek ξ k , f = ηk f k , то(2)(x , f)= ηk ξ kКак и раньше выводятся формулы преобразования координат. Приведем эти формулы.Если eα = ei cαi и f β = b βj f j , тоf β= c βj fjbαj ciα = δ i j , cαj biα = δ i j(3)Если x = ek ξ k = ek ξ k , тоξ β = b βj ξ j(4).ηα = η j cαj(5).Аналогично, если f = ηk f k = η k f k , тоКак уже отмечалось ранее, формулы преобразования координат соответствуют формулампреобразования базисовeα = e j cαjf β = b βj fηα = η j cαjξ β = b βj ξ jj§2.
Тензоры1.Определения и примерыПусть Х – евклидово пространство размерности n . Тензором А типа (q,p) (q – раз контравариантным,p – раз ковариантным ) называется некоторый объект, характеризующийся набором чиселj j ... jAi11i2 ...2 i p q (компоненты или координаты тензора),которые при переходе от базиса e1, e2,…, en, к новому базису e1 , e2 ,..., en преобразуются по законуβ β ...ββAα11α 22...α pq = b βj11 b βj 22 ...b. jqq Ai11i2 ...2 i p q cαi11 cαi22 ...c.αp p ,Гдеcαjj j ...
ji, bi j - матрицы, связывающие вектора старых и новых базисов: eα = ei cαi и f β =b βj f j (формулы (3) из первого параграфа).Примеры.1.Скаляр (числовая константа) формально можно считать тензором типа (0,0).2. Контравариантный вектор (элемент исходного пространства Х) является тензором типа (1,0). Этоследует из формул преобразования координат. Если x = ek ξ k = ek ξ k , то согласно формулам (4)ξ β = b βj ξ j .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
