ВТА лекции (845816), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Откуда и следует требуемое утверждение.§4. Классы интегрируемых функцийТеорема 1. Всякая непрерывная на квадрируемом компакте D функция интегрируема на этом D.Вопрос о том, может ли существовать не квадрируемый компакт, здесь не обсуждается.Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения ∆={Dk}S(f,∆) - s(f,∆) =n−1∑ ω ( f )µDkk =0k, ωk (f) = Mk – mk .По теореме Кантора для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что при λ(∆)<δ будет выполнено неравенство ωk(f) <ε. ТогдаµDS(f,∆) - s(f,∆) =n−1∑ ωk ( f )µDk <k =0ε n −1∑ µD =ε .µD k = 0 kТеорема 2.

Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывовинтегрируема.Без доказательства.5Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция f ( M ), M ∈ Dинтегрируема на P и 0, M ∈ P \ DF(M)= ∫ F ( x, y)dxdy = ∫ f ( x, y)dxdy .PDДоказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|≤ M. Пусть ε0 >0. Так какобласть D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы ∂D cплощадью µ(U) < ε0 , ∂D⊂ U .

Можно показать, что существует ε раздутие границы ∂D , лежащеевнутри U. Это ε раздутие границы ∂D , представляющее собой объединение ε окрестностей всехточек границы, обозначим через Uε . Так как функция интегрируема на D, то существует δ такое, чтоS(f,∆D) - s(f,∆D) < ε0 при λ(∆D)<δ,(1)где ∆D – разбиение области D. Пусть разбиение ∆P области P выбрано с характеристикой λ(∆P)<min(δ,ε) . Разобьем разность сумм Дарбу на три суммыS(F,∆P)-s(F,∆P)=∑ ω ( F )µPkk=∑′ +∑′′ +∑′′′.В первой сумме ∑′ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиенияPk пересекаются с границей ∂D. Ко второй сумме ∑′′ относятся слагаемые, для которых Pkсодержатся в D, за исключением слагаемых, попавших в первую сумму. В третьей сумме ∑′′′содержаться все остальные слагаемые.

Отметим, что в третью сумму попадают только слагаемые,равные нулю. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.∑′′ < ε0 в силу (1).∑′′′ = 0, так как в области, где проходит суммирование F=0.∑′ < 2M∑′′′µPk <2Mµ(U) < 2M ε0.Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости для функции F на P.Для доказательства равенства∫ F ( x, y)dxdy = ∫ f ( x, y)dxdy следует выбрать сходящиесяPDпоследовательности интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входилаграница области D, а промежуточные точки выбирать внутренними для каждой из подобластейразбиения. В этом случае для областей разбинения Pk, не попадающих в D , будет выполнено условиеF(Mk)=0 , соответствующие слагаемые F(Mk)µPk будут равны нулю и интегральная сумма помножеству P совпадет с интегральной суммой по множеству Dσ ( F , ∆mP , Ξ mP ) = σ ( f , ∆mD , Ξ mD ) .§5.

Свойства определенного интеграла1.Простейшие свойства1)∫ dxdy = µDD4) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и∫(f(x,y) + g(x,y))dxdy =D∫D6f(x,y)dxdy +∫Dg(x,y)dxdy.Доказательство. Пусть ω′k колебание функции f на Dk , ω′′k колебание функции g на Dk , ωkколебание функции f+g на Dk . Тогдаωk =sup|f(P′)+g(P′) – f(Q′) – g(Q′)|≤ sup(|f(P′)– f(Q′) |+| g(P′)– g(Q′)|)≤≤ sup|f(P′) - f(Q′)|+ sup|g(P′) – g(Q′)|=ω′k + ω′′k .

ОтсюдаS(f+g ,∆) – s(f+g ,∆)=Σωk µDk ≤ Σω′k µD k + Σω′′k µD k .Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательностиинтегральных сумм будет выполнено равенствоσm(f+g) = σm(f) + σm(g).Переходя к пределу при m→∞ получим требуемое равенство.5) Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и∫c f(x,y)dxdy =cD∫f(x,y)dxdy.DУтверждение следует из соотношения σ(cf,∆,Ξ)= cσ(f,∆, Ξ) для любых интегральных сумм.6) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и|∫f(x,y)dxdy | ≤D∫| f(x,y)|dxdy.DДоказательство. Пусть ω′k колебание функции | f | на Dk , а ωk колебание функции f на Dk .

Тогдаω′k =sup||f(P′)| –| f(Q′)||≤ sup|f(P′)– f(Q′) |= ωk .Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм|σm(f)|≤ σm(|f|).переходя к пределу при m→∞ получим требуемое неравенство.7) Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|≤ M, |g(x,y)|≤ M . Пустьω′k колебание функции f на Dk , ω′′k колебание функции g на Dk, а ωk колебание функции f g на Dk .Выполнено соотношениеf(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) == f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)).

Откуда следует неравенствоωk ≤ Mω′′k + Mω′k и, следовательно, функция fg интегрируема.8) Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точка, в которой f(P0)≠0.Для заданного ε >0 рассмотрим ε-окрестность Uε точки P0. Если характеристика разбиения λ(∆)< ε ,то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка| σ (∆, f , Ξ ) |≤| f ( P0 ) | µU ε =| f ( P0 ) | πε 2 . Это следует из того, что все отличные от нуля слагаемыесуммы σ (∆, f , Ξ) попадут в Uε .Следствие.

Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 такжеинтегрируема и7∫f1(x,y)dxdy =D∫f2(x,y)dxdy .DДоказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).Замечание. Можно доказать, что справедливо утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечномчисле точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.1) Если f и g интегрируемы на D и f ≤ g на D , то∫f(x,y) dxdy ≤D∫g(x,y) dxdy .DДля сходящейся последовательности интегральных суммσm(f)≤ σm(g).2) Если µD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено∫f(x,y) dxdy=0.DВсе слагаемые в любой интегральной сумме будут равны нулю.2.

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.Теорема 1. Если m ≤ f(x,y) ≤ M на D, то ∃ c∈[m, M] :∫ f ( x, y)dxdy = c µD.DДоказательство. Для случая µD=0 утверждение справедливо согласно свойству 8). Пусть µD≠0.Тогда∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫ M dxdy = M µD. ОткудаDDm µD = m dxdy ≤m≤D∫ f ( x, y )dxdyDµD∫ f ( x, y)dxdy≤ M и c= DµD.Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то ∃ξ∈D:∫ f ( x, y ) dxdy = f(ξ)µD.DТеорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1∪D2 (разбиение произведено некоторой линией), тоf(x) – интегрируема на D1 и D2 и∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ f ( x, y ) dxdy + ∫ f ( x, y) dxdy .DD1D2Доказательство. Пусть ∆1 - разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения ∆ всего D так,чтобы характеристика разбиения не изменилась λ(∆) = λ(∆1) . В этом случае S(f,∆1) –s(f,∆1) ≤ S(f,∆) –s(f,∆) , откуда следует интегрируемость на D1.

Аналогично доказывается интегрируемость на областиD2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует8выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм σ( f, ∆m1 ,Ξ m), σ( f, ∆m2 , Ξ m) для D1 и D2и их объединение ∆m = ∆m1 + ∆m2 . Для таких сумм получимσ( f,∆m, Ξ m) = σ( f, ∆m1 , Ξ m) + σ( f, ∆m2 , Ξ m).Переходя к пределу в последнем равенстве, получим требуемое соотношение.Теорема (Неравенство Коши-Буняковского).Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство∫ f ( P) g ( P)dP ≤ ∫ fD2( P)dPD∫g2( P)dP .DДоказательство.0≤∫( f()+ λg ) dP = ∫ f 2 + 2λfg + λ2 g 2 dP = ∫ f 2 dP +2 λ2DDD∫2fgdP +λ2 ∫ g dP .DD22Так как это справедливо для любых λ, то  ∫ fgdP  - ∫ f 2 dP ∫ g dP ≤ 0, откуда и следует требуемоеDD Dнеравенство.§6. Вычисление двойных интегралов1.Интегрирование по прямоугольнику.Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]×[c,d]={(x,y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }.dТеорема.

Если f интегрируема на D и для ∀x существует∫ f ( x, y)dy =J(x), то существует иcbd∫ ∫ f ( x, y )dy dxaи выполнено равенствоcbdd=dxf(x,y)dydx∫a ∫c f ( x, y)dy = ∫∫D f ( x, y)dxdy .∫a ∫cbДоказательство. Для заданных разбиений ∆x={a=x0<…<xn=b}, ∆y={c=y0<…<ym=d} рассмотримразбиение ∆ ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]× [yj, yj+1],9f ( x, y ) , Mij= sup f ( x, y ) , Ξ={(ξi, ηj)}, ξi∈[xi, xi+1], ηj∈[yj, yj+1],введем обозначения mij= inf( x , y )∈Dij( x , y )∈Dij∆xi=xi+1 – xi, ∆yj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенстваmij ≤ f(x,y) ≤ Mij для (x,y)∈Dij(1)y j +1∫ f (ξ , y)dy ≤ Mmij ∆yj ≤i∆yjij(2)yjm −1∑ mij ∆y j ≤j =0d∫f (ξi , y )dy ≤cm −1∑Mj =0ij∆y j(3)Умножая неравенства (3) на ∆xi и суммируя, получимn −1m −1i=0j =0∑ ∑mij ∆xi ∆yj ≤n −1d∑∆xii =0∫n −1m −1i=0j =0∑ ∑f (ξi , y )dy ≤cMij ∆xi ∆yj .При λ(∆)→0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу∫∫ f ( x, y)dxdy ,Dсредняя сумма представляет собой интегральную сумму для интегралаbdac∫ dx ∫ f ( x, y)dy , откуда иследует требуемое утверждение.Замечание.

Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.bЕсли f интегрируема на D и для ∀y существует∫ f ( x, y)dx =I(y), то существует иafxydx(,)dy и выполнено равенство∫c ∫adbdbbdyf(x,y)dxdy=∫c ∫a f ( x, y)dx = ∫∫D f ( x, y)dxdy .∫c ∫adИнтегралыdbbdcaac∫ dy ∫ f ( x, y)dx , ∫ dx ∫ f ( x, y)dy называются повторными.Следствие (перемена порядка интегрирования).

Если f интегрируема на D и для ∀y существуетb∫df ( x, y )dx =I(y), ∀x существуетa∫cd bf ( x, y )dy =J(x), то существуют ∫  ∫ f ( x, y )dx dy ,c af(x,y)dydx и выполнено равенство∫a ∫cbddbbdcaac∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫∫ f ( x, y)dxdy .D2. Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию10Рассмотрим область D={(x,y): y1(x) ≤ y ≤ y2(x), x∈[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на[a,b].

Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида D={(x,y): x1(y) ≤ x ≤x2(y),y∈[c,d]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B .Теорема. Если для области типа A существуютy2 ( x)by1 ( x )a∫∫ f ( x, y)dxdy и для ∀x∈[a,b]Dy2 ( x)∫ f ( x, y )dy , то существует ∫ dx ∫ f ( x, y)dyсуществуетby2 ( x)ay1 ( x )иy1 ( x )∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫∫ f ( x, y)dxdy .DДоказательство. Пусть D={(x,y): y1(x) ≤ y ≤ y2(x), x∈[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на[a,b]. Рассмотрим функцию f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D, 0, ( x, y ) ∈ R \ Df *(x,y) = где R=[A,B] ×[C,E] прямоугольник, содержащий область D.

Характеристики

Список файлов лекций