ВТА лекции (845816), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Отсюда следует, что∫γ f ( x, y, z )dx = ∫γ f ( x, y, z ) cosα ds .35- угол,Докажем это.∑ f (Ξk) cos α k ∆lk = ∑ f (Ξ k ) cos α (Tk )∆lk = ∑ f (Tk ) cos α (Tk )∆lk +kk∑ ( f (Ξkk) − f (Tk )) cos α (Tk )∆lk .kПервая сумма является интегральной для∫γ f ( x, y, z ) cosα ds , вторая может быть сделана скольугодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функцииf[x(t),y(t),z(t)] на [α,β ] ).Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда, в своюочередь, будет следовать равенство∫γ Pdx + Qdy + Rdz = ∫γ ( P cosα + Q cos β + R cos γ )ds ,cos α =x' (t )x' (t ) + y ' (t ) + z ' (t )222, cos β =y ' (t )x' (t ) + y ' (t ) + z ' (t )222, cos γ =(4)z ' (t )x' (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )2.rОбозначим орт вектора касательной n = (cosα , cos β , cos γ ) и введем понятие вектора элементаr rдлины дуги ds = n ds .

В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в видеr r∫γ (V , n )ds , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и егопринято обозначатьr r∫γ (V , ds ) . Таким образом, формула (4) в векторном виде может быть записанаследующим образомr rr r=(V,ds)(V∫∫ , n )ds .γγДокажем четвертое свойство интеграла второго родаинтегралаr r| V | µγ .

Для интегральных сумм∫γ (V , ds ) ≤ supγr r(V∫ , n )ds (второе определение) можно записатьγ∑ (V , n)n −1k =0n −1Ξk( )lk ≤ ∑ V , nk =0n −1Ξklk ≤ sup V ∑ lk = sup V µγ .γk =0γОпределение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Длязамкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положительным направлением обхода называетсятакое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.3644222Пример 1. (4225) Вычислить  x 3 + y 3 ds , γ - дуга астроиды x 3 + y 3 = a 3 .∫γ Параметрическое уравнениеастроидыx = a cos3 t  t ∈ [0,2π ]y = a sin 3 t 4π /24 43 43 24433 a 9 cos 4 t sin 2 t + a 2 9 sin 4 t cos 2 t dt ==x+yds4acost+asint∫γ ∫0 4a7π /23∫ (cosππ4)t + sin 4 t sin t cos t dt = 12a0∫ (cos7 234)t + sin 4 t sin t cos tdt = − 12a07 23∫ cos5td cos t +0π12a7 237 07 1010555∫ sin td sin t = − 12a 3 ∫ u du +12a 3 ∫ u du =Пример 2.

(4238)∫γ x ds , γ - окружность x2277712 3 12 3a + a = 4a 366+ y 2 + z 2 = a 2 , x+y+z=0.Сделаем поворот системы координат на45 градусов вокруг оси Oz .Это означает переход к новойсистеме координат1(u − v) 21y=(u + v)2z=wx=Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов371∫γ x ds = 2 ∫ (u22− 2uv + v 2 )ds , где Γ - окружность u2+v2+w2=a2,2 u+w=0. Отметим, что этимΓповоротом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости.

Попробуем избавитьсятаким же способом от второго переменного. Так как2 u+w = 21 3 u+w  , то этого можно3  3добиться, сделав поворотОбратное отображение1( 2u + w) 31q=(−u + 2 w)3r=v1( 2 p − q) 31w=( p + 2q )3v=rp=u=21, sin β = −.В новых33Это соответствует повороту на угол β, для которого cos β =координатах p, q, r уравнение плоскости будет иметь вид p = 0 . Подинтегральная функция13u2-2uv+v2= q 2 +2qr + r 2 . Кривая лежит в плоскости p=0, поэтому в качестве параметризации3возьмем полярные координатыp=0 q = a cos t  t ∈ [0,2π ]r = a sin t 2πa3  1211 1 2 222 222∫γ x ds = 2 ∫Γ (u − 2uv + v )ds = 2 ∫Λ  3 q + 3 qr + r ds = 2 ∫0  3 cos t + 3 sin t cos t + sin t dt =22πa 3  1 + cos 2t sin 2t 1 − cos 2t a3  1 1  23=++dt2π + = π a .∫2 0622 6 2 33Пример 3. (4248) Вычислить интеграл∫γ xdy − ydx , где γ - 1) отрезек γ =OA, O=(0,0), A=(1,2).

2) парабола γ ={y=2x } , от O до A. 3) два212отрезка γ3 + γ4 : по оси Ox и вертикально вверх до точки A.38§3. Формула Грина1.Формула ГринаРассмотрим область типа A ( см. рис. ) D={(x,y):y1(x)≤ y ≤ y2(x), x∈[a,b]}, где y1(x)≤ y2(x), двенепрерывные функции на отрезке [a,b].Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим Γ . Пусть в области Dзадана функция P(x,y), непрерывная там вместе со своей частной производной∂P.

Тогда∂yсправедлива формула∂P∫ P( x, y)dx = - ∫∫ ∂y dxdy .Γ2∂P∂Pdxdy=dx∫∫D ∂y∫a y ∫( x) ∂y dy = ∫a [P( x, y2 ( x)) − P( x, y1 ( x))]dx = EC∫ P( x, y)dx 1bДоказательство.(1)Dy ( x)b∫ P( x, y)dx = − ∫ P( x, y)dx − ∫ P( x, y)dx - ∫ P( x, y)dx − ∫ P( x, y)dx = − ∫ P( x, y)dx .ABCEEAЗдесь используются равенстваABBCΓ∫ P( x, y)dx =0, ∫ P( x, y)dx =0, следующие непосредственно изEABCопределения интеграла. Аналогично, можно показать, что для области типа B (см.

рис. )39справедлива формула∂Q∫ Q( x, y)dy = ∫∫ ∂x dxdy .Γ(2)DЕсли область является одновременно областью и типа A и типа B ,rто из (1), (2) для поля V =(P,Q) получается формула ∂Q∂P ∫ Pdx + Qdy = ∫∫  ∂x − ∂y dxdyΓ(3)DФормулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область можноразбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых формула (3)справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.Для области, показанной на рисунке, можно сделать разрез, как показано на рисунке.Область разбивается на две области D1 , D2 , для которых справедлива формула Грина.40Введем обозначения ∂D1 =γ1+γ2 , ∂D2 =γ3+γ4=Γ , тогда ∂D =γ1+γ4 .

При этом∫γ2 ∂Q∂P +∫=0. Тогдаγ3 ∂Q ∂P  ∂Q ∂P  ∂Q ∂P dxdy = ∫∫  + ∫∫  = Pdx + Qdy +−−−∂x ∂y ∂x ∂y  D2  ∂x ∂y  γ 1 ∫+ γ 2D1 + D2 D1 ∫∫  ∂x − ∂y dxdy = ∫∫D∫ Pdx + Qdy = γ∫ Pdx + Qdy + γ∫ Pdx + Qdy + γ∫ Pdx + Qdy + γ∫ Pdx + Qdy = γ∫ Pdx + Qdy + γ∫ Pdx + Qdyγ 3 +γ 4123414∫= Pdx + Qdy .ΓПример 1.

(4307) Вычислить∫Cxdy − ydx. Контур C оринтирован положительно. Рассмотреть дваx2 + y 2случая: контур не содержит начало координат, контур содержит начало координат.Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производныеy2 − x2∂Q ∂  x  x 2 + y 2 − 2 x 2==,=  2( x 2 + y 2 )2( x 2 + y 2 )2∂x ∂x  x + y 2 ∂P ∂ y x2 + y2 − 2 y2y2 − x2=−=,=  − 2∂y ∂y  x + y 2 ( x 2 + y 2 )2( x 2 + y 2 )2Таким образом, в первом случае∫C ∂Q ∂P xdy − ydx= ∫∫ dxdy =0.−22x +y∂x ∂y D Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P,Q) имеет особенностьв начале координат, которая попадает в область интегрирования. Выберем круг с центром в началекоординат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D.

Границу этогокруга, ориентированную положительно, обозначим Cr . Произведем два разреза кусочно-гладкимикривыми, соединяющие какие либо две точки границы контура C с какими либо точками окружностиCr . На рисунки в качестве разрезов выбраны отрезки прямой и показаны обозначения для некоторыхкривых, образовавшихся в результате этих разрезов. Отметим, чтоC=C1+C8 , Cr− =C3+C6 , C2= C7− , C4= C5− .41Внутри контуров C1+ C2+ C3+ C4 и C5+ C6+ C7+ C8 особенностей нет и, как было доказано, с КонтурΓ=C1+ C2+ C3+ C4+ C5+ C6+ C7+ C8 не содержит внутри себя ни каких особенностей векторногополя (P,Q) и, поэтому к нему применима формула Грина0=∫∫+C1 + C 2 + C 3 + C 4=C5 + C 6 + C 7 + C8∫C1+∫+C2∫+C3∫C4+∫+C5∫+C6∫C7+∫ =∫C8C+∫C3+∫ =∫C6C−∫.Cr2πТаким образом.r cos t (r cos t ) − r sin t (−r sin t )xdy − ydxxdy − ydxdt = 2π .2∫C x 2 + y 2 = C∫ x 2 + y 2 = ∫0rrПример 2.

(4303) Вычислить∫ (sin yex− my )dx + (cos ye x − m)dy , где AmB – верхняяAmBполуокружность x2+y2=ax , начало - A(a,0), конец – B(0,0).∂Q ∂∂P ∂∂Q ∂P= (cos ye x − m ) = cos ye x ,= (sin ye x − my ) = cos ye x − m .−= m.∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y∫Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy =AmBBA∫ Pdx + Qdy = mAmBπa 28 ∂Q ∂P πa 2Pdx+Qdy==.m=−dxdy=mdxdy=mµD∫∫∫D  ∂x ∂y ∫∫D8AmB + BA− ∫ Pdx + Qdy = mBAπa 28+ ∫ Pdx + Qdy .AB42AB- имеет параметризациюx =t t ∈ [0, a ] .y = 0Тогда∫ Pdx + Qdy = mπa 2AmBπa∫ (0)dt = ma+8280∫ ( f ( y )eПример 3. (4304) Вычислить.x− my )dx + ( f ' ( y )e x − m)dy , где функция f(y) – непрерывноAmBдифферинцированная на проекции кривой AmB функция (проекция на ось Oy), AmB – кривая,соединяющая точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D.∂Q ∂∂P ∂∂Q ∂P= ( f ' ( y )e x − m ) = f ' ( y )e x ,= ( f ( y )e x − my ) = f ' ( y )e x − m .−= m.∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y∫Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy =AmBBA ∂Q∂P ∫ Pdx + Qdy = = ∫∫  ∂x − ∂y dxdy = m∫∫ dxdy = mµD .AmB + BADD∫ Pdx + Qdy =mµD − ∫ Pdx + Qdy = mµD + ∫ Pdx + Qdy .BAAmBAB- имеет параметризациюABx = x0 + ∆x t  t ∈ [0,1] , A=(x0,y0),B=(x1,y1), ∆x=x1 - x0 , ∆y=y1 - y0 .y = y0 + ∆y t Тогда∫ Pdx + Qdy = ∫ (( f ( y1AB∫ (( f ( y0) ))() )0+ ∆y t )e x0 + ∆x t − m( y0 + ∆y t ) ∆x + f ' ( y0 + ∆y t )e x0 + ∆x t − m ∆y dt =0∫ Pdx + Qdy = ∫ (( f ( y1(+ ∆y t )e x0 + ∆x t − m( y0 + ∆y t ) ∆x + f ' ( y0 + ∆y t )e x0 + ∆x t − m ∆y dt =1AB)00) )x 0 + ∆x t∆x dt +0 + ∆y t ) ex + ∆x t∫ (− m( y0 + ∆y t )∆x )dt + ∫ ( f ' ( y0 + ∆y t )e ∆y )dt −1100043∫ m∆ydt = ∫ ( f ( y1100+ ∆y t )ex 0 + ∆x t0)∆y d ( x0 + ∆xt ) − m∆x y0 ++2 ∆y u − x0 u m∆y = ∫  f ( y0 + ∆y)e du − m∆x y0 ++∆x2x0x1∫ ( f '( y1)+ ∆y t )e x0 + ∆x t d ( y0 + ∆y t ) −0 x0 + ∆x  u − y0 ∆y∫y  e  0y10df (u )  ∆y u − x0 u m∆y = ∫  f ( y0 + ∆y)e du − m ∆x y0 + − ∆y  +∆x2  x0 x1u = y1y1  x + ∆x  u − y 0  x0 + ∆x  u − y 0 0 ∆y e ∆y f (u ) − ∫e u = y0 y 0  ∆y m ∆x y0 + − ∆y  +2  − m∆xy0 + m∆xy1 ∆x∆x x0 + ( v − y0 ) f (u )du = ∫  f (v ) e ∆ydv − ∆y∆yy0u = y1y1  x + ∆x  u − y 0  x0 + ∆x  u − y 0 0 ∆y e ∆y f (u )− ∫e u = y0 y 0  ∆xf (u )du = ∆y∆x∆y− m∆y + e x1 f ( y1 ) − e x0 f ( y0 ) .2∫ Pdx + Qdy = mµD+ − m∆xy0+mAmB∆x∆y− m∆y + e x1 f ( y1 ) − e x0 f ( y0 ) .22.Использование формулы Грина для вычисления площадей.Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых∂Q ∂P−≡ 1 , то получится формула для∂x ∂yвычисления площади области, ограниченной кривой γ . ∂Q ∂P dxdy = ∫ Pdx + Qdy .−∂x ∂y D γµD = ∫∫ dxdy = ∫∫ DМожно предложить три варианта таких функций1) Q=x, P=0 и тогда µD = xdy .∫γ2) Q=0, P=-y и тогда µD = − ydx .∫γ3) Q=xy1, P= − и тогда µD = − ∫ ydx − xdy .222γПример 1.

Характеристики

Список файлов лекций