ВТА лекции (845816), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При измеримости областей Σ , V справедлива формула замены переменных∂x∫ f ( x)dx = ∫ f [ x(u)] ∂u du ,ΣVсуществование интегралов предполагается.Глава 3.Криволинейные интегралы§1. Криволинейные интегралы 1-го рода1.Определение, существованиеРассмотрим спрямляемую кривую γ и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой29«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={Tk} .На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка Ξk=(ξk , ηk , ζk ), Ξ={ Ξk }, обозначим длину дугиTk Tk+1 через lk , длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим ∆lk . Характеристикой разбиенияT назовем величину λ(T) = max ∆lk .
Составим интегральные суммы следующего видаσ(f,T,Ξ)=n−1∑ f (Ξk =0k)∆lk(1).Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения λ(T), при условии существованияэтого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейныминтегралом 1-го рода и обозначается∫γ f ( x, y, z )ds = λ lim(T ) → 0σ ( f ,T , Ξ) .Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла∃J∀ε>0∃δ>0:(λ(T)<δ, Ξ∈T)⇒|σ(f,T, Ξ) - J|<ε.Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы видаn−1∑ f (T )lk =0kk, где вместо длины хорды ∆lk берется длина дуги lk .
Доказательство эквивалентности этихопределений для гладкой кривой будет дано позже.Замечание 1. Если кривая γ плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интегралобозначается∫γ f ( x, y)ds .Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системыкоординат.
Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительноповоротов и сдвигов системы координат.Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрическиx = x(t ) y = y (t ) , t∈[α, β]z = z (t ) (2)Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек(x′ 2+y′ 2+z′ 2≠0)), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл∫γ f ( x, y, z )ds существует и имеет место равенство30β∫γ f ( x, y, z )ds = α∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]x'2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt (3)Доказательство.
Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj }отрезка [α, β ].n−1n−1∑f (Ξ k )∆lk = ∑ f [ x(θ k ), y (θ k )] ( x(tk +1 ) − x(t k )) 2 + ( y (t k +1 ) − y (t k )) 2 ∆t k =∑f [ x(θ k ), y (θ k )] x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) ∆t k = ∑ f [ x(θ k ), y (θ k )] x'2 (θ k ) + y '2 (θ k )∆t k +k =0n−1k =0n−1k =0n−1∑ f [ x(θk =0kk =0()), y (θ k )] x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) − x'2 (θ k ) + y '2 (θ k ) ∆t k .Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточномелкого разбиения. Действительно,x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) − x'2 (θ k ) + y '2 (θ k ) =x'2 (θ k ' ) − x'2 (θ k ) + y '2 (θ k ' ' ) − y '2 (θ k ))x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) + x'2 (θ k ) + y '2 (θ k )x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) − ( x'2 (θ k ) + y '2 (θ k ))x'2 (θ k ' ) + y '2 (θ k ' ' ) + x'2 (θ k ) + y '2 (θ k )=.
Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нетособых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномернойn−1непрерывности. Таким образом, пределом сумм∑ f (Ξk =0k)∆lk будет интегралβ∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]αx'2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt .Для доказательства эквивалентности двух определений, для заданного разбиения {tj } отрезка [α,β ]промежуточные точки ξj выберем так, чтоlk =t k +1∫x'2 (t ) + y '2 (t ) dt = x'2 (ξ k ) + y '2 (ξ k )∆tk ,tkсоответствующие точки на кривой γ обозначим Ξk=( x(ξk),y(ξk) ). Для интегральной суммы получимn−1∑ f (Ξk =0kn −1t k +1k =0tk)lk = ∑ f [ x(ξ k ), y (ξ k )] ∫n−1x'2 (t ) + y '2 (t )dt = ∑ f [ x(ξ k ), y (ξ k )] x'2 (ξ k ) + y '2 (ξ k )∆t kk =0Полученная сумма является интегральной суммой для интегралаβ∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]αx'2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt , откуда и следует требуемое утверждение.Замечание.
Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения{Ak} (что считать началом кривой, а что концом, что в дальнейшем будет определяться, какориентация кривой ). Точки A, B могут совпадать.2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.311)∫γ (αf + βg )ds = α ∫γ fds + β ∫γ gds2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует∫ f ds , то существуют ∫ f ds и ∫ f ds и справедлива формулаABACCB∫ f ds = ∫ f ds + ∫ f dsAB1) Если существуетACCB∫ fds , то существует и ∫ f ds и выполнено неравенство ∫ fds ≤ ∫ f ds .ABABABAB2) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) Приповоротах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.Поясним это свойство на примере отображенияx = u cos α − v sin α y = u sin α + v cos α z=w( поворот на угол α вокруг оси Oz)Если функция f(x,y,z) определена на γ , то в системе координат (u, v, w) функцияF(u,v,w)=f(u cosα - v sinα , u sin α + v cos α, w)Будет определена на образе Γ кривой γ .
И в данном случае это свойство означает равенствоинтегралов∫γ f ( x, y, z )ds = ∫ F (u, v, w)ds .ΓДоказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой этисвойства следуют из соответствующих свойств обычного интегралаβ∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]αx'2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt .Замечание.
Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространитьутверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.§2. Криволинейные интегралы 2-го рода1.Определение, существование.32Рассмотрим кривую γ с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T={Tk} разбиение кривой γ иΞ={ Ξk } , Ξk=(ξk , ηk , ζk ), набор промежуточных точек, ∆xj=xj+1 – xj .Для функции f(x,y,z) , данной кривой, разбиения и набора промежуточных точек образуеминтегральные суммыn −1∑ f (Ξk =0)∆xkk(1)Предел сумм (1) при λ(T)→0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек,называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается∫γ f ( x, y, z )dx(2)Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода λ(T) = max ∆lk.Аналогично можно определить интегралы∫γ f ( x, y, z )dy ,∫γ f ( x, y, z )dz .Замечание 1.
Если началом кривой выбрать точку B, то все ∆ xj меняют знак, поэтому∫ f ( x, y, z )dy = − ∫ f ( x, y, z )dz .ABBAЗамечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системыкоординат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительноповоротов и сдвигов системы координат.Теорема 1. Пусть кривая γ задана в параметрическом видеx = x(t ) y = y (t ) , t∈[α, β]z = z (t ) (3)Если кривая (3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на γ, тоинтеграл (2) существует и имеет место формулаβ∫ABf ( x, y, z )dy =∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]x' (t )dt .αДоказательство.
Для разбиения T={Tk}={(x(tk), y(tk), z(tk)} и промежуточных точек33{Ξk}={(x(ξk), y(ξk), z(ξk)} можно интегральные суммы представить в видеn −1∑k =0n−1n −1f ( x(ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k ))∆xk = ∑ f ( x(ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k ))[ x(tk +1 ) − x(t k )] =k =0∑ f ( x(ξk =0), y (ξ k ), z (ξ k )) x' (θ k )∆t kkПоследнюю сумму в этом равенстве можно представить в видеn−1∑k =0n −1f ( x(ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k )) x' (ξ k )∆t k + ∑ f ( x(ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k ))[ x' (θ k ) − x' (ξ k )]∆tk .k =0β∫Здесь первая сумма является интегральной для интеграла f [ x(t ), y (t ), z (t )]x' (t ) dt , а вторая можетαбыть сделана меньше любого наперед заданного ε >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силуравномерной непрерывности функции x' .Замечание.
Зачастую удобно рассматривать интегралы видаβ∫γ P( x, y, z )dx + ∫γ Q( x, y, z )dy + ∫γ R( x, y, z )dz = ∫γ Pdx + Qdy + Rdz = α∫ ( Px'+Qy'+ Rz ' )dt =ββr rr rr r∫ (V , r ' )dt = ∫ (V , ds ) = ∫ (V , ds ) .αγαИнтегралrr r∫γ (V , ds ) можно интерпретировать, как работу силового поля Vвдоль пути γ .2. Свойства криволинейного интеграла 2-го родаПеречисляемые ниже свойства выписаны для интегралов видаинтегралов∫γ Pdx , ∫γ Qdy , ∫γ Rdz .
Через γ--r r∫γ (V , ds ) , но они справедливы и дляобозначается кривая, отличающаяся от γ направлениемобхода. Кривую γ будем предполагать кусочно-гладкой, а функции P,Q,R непрерывнымиr( V = ( P, Q, R ) ), тогда1)r rr r(V,ds)=−(V∫∫ , ds )γγ−r2)rrr rrr∫γ (αV + βW , ds ) =α ∫γ (V , ds ) +β ∫γ (W , ds )3)(Аддитивность по множеству) Если существует интегралr r∫ (V , ds ) и кривая AB разбита точкойABC на два участка AC, CB , тоr rr rr r∫ (V , ds ) = ∫ (V , ds ) + ∫ (V , ds ) .ABAC34CB4)Если существует интегралr r∫ (V , ds ) , тоABr r(V∫ , ds ) ≤ sup | V | µγ .γγ5) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) Приповоротах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняетсяПервое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла. Свойства 2)-3)доказываются так же, как и для обычных интегралов.
Для кусочно гладкой кривой эти свойстваβследуют из свойств интегралов∫βf [ x(t ), y (t ), z (t )]x' (t )dt ,∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )] y' (t )dt ,ααβ∫ f [ x(t ), y(t ), z (t )]z ' (t )dt . Четвертое свойство будет доказано в следующем пункте.αЗамечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространитьутверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.3. Связь с интегралом 1-го рода.Рассмотрим кусочно-гладкую кривую γ и непрерывную функцию f(x,y,z) , определенную на γ.Рассмотрим разбиение {Tk}={xk ,yk ,zk,} кривой γ с промежуточными точками Ξ={Ξk} .∆xk=xk+1 - xk=∆lk cos αk . На рисунке отрезок BC проходит через точку Tk , параллельно оси Ox.Поэтому∑ f (Ξk)∆xk = ∑ f (Ξ k ) cos α k ∆lkkkСлева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые приизмельчении разбиения будут сходиться к интегралу∫γ f ( x, y, z ) cosα ds , где α=α(x,y,z)который образует касательный вектор к кривой γ в точке (x,y,z) с осью Ox,cos α =x' (t )x' (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
