1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Индифферентные производные (Олдройда, Коттера — Ривлина, Яуманна, Грина — Макиннеса) тензоров напряжений в, т, в(г), в( г) также входят в класс объективных производных тензоров напряжений, будучи индифферентными тензорами. Введем две объективные производные (инвариантные тензоры) тензора напряжений т, которые получаются из индифферентных производных т и т применением операции исключения поворота: то~ Кт ' го~ ' Н т1зе Эе 1 Вт од Н - -гЭ Между этими производными выполняются соотношения Б(г) 11-з . о~ . )(1-1 Б(-г) т), тол, 17 (г)а у — 1 О! у-1 (-г)а у сд у Кроме того, между объективными производными тензоров напр»- жений также существуют следующие связи (часть из них приве- дена в [3, 38, 72]): Вт а В в~=И, в К тх= К т я., т = й..т К , Б(г) = кчт ' в(г)а ' 1а в(г)а Н Б(г) Вт Б(-г) 1ат (-г)а 1» (-г)а 1в Б(-г) ( 88) Б(г) С о~ й Б(-г) с ан (г)а д,, о~, С (-г)а у .тон, у Из (1.89) вытекает Б(~) = тсое; Э ег, Б( г) = т; е' Э е(, в(г) = тс е; Эез, в( г)а = т, е'Эег.
Механический смысл объективных производных тензоров Б(г), Б( г), в(г), в( г) аналогичен механическому смыслу этих тензо- 1.4. Тензоры напряжений ров при замене контравариантных и ковариантных' компонент в текущем материальном базисе тензора напряжений Кирхгофа ма- териальными производными этих компонент. Пользуясь уравнением неразрывности (1.66) и определением тензоров напряжений т и т (1.77), получаем соотношения меж- ду объективными производными тензоров найряженнй Коши н Кирхгофа: .. а а т = .7(й+ 91гд), т =,У(з + з1гд), где т~ — любая из индифферентных производных тс' =,7(вс'+ в1гг1), тсн =,7(зсд+ згге1), (1.
90) т' =.Г(в'+в~гс1), тс =.7(зс+з~гг1). В общем случае материальные производные несимметрич- ных тензоров напряжений Р и Р не объективны. Приведем связь материальных производных этих тензоров с материальной (объ- ективной) производной тензора Б(2), пользуясь (1.80), (1.81): Р=Я(2) .Р+Я00 .Р=Б(')+Я~2) Я+Я~2) Я Р = Р Б(2) + Р Б(2) = Я(2) + Н . Б<г) + Н Б<2), (1.91) т так что справедливо равенство Р = Р. Зля 1РЬ-подхода в момент времени 1 выполняются равенства (1.42), кроме того, .1 = 1, поэтому все рассмотренные тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши т=й=Р=Р=Я(~)=Я( ~)=в~~)=в~ 2)=в.
Тем не менее скорости изменения тензоров различаются. Рассмотренные объективные производные тензоров превращаются в следующие: й С г Ф С г Я(2) (2)С т.с) 0) 1 Б( ') =в( г)с=тсн тс" Таким образом, для Ж-подхода все рассмотренные объективные производные тензоров условных напряжений свелись к трем: т'г(= тс), тс', тс". В соответствии с (1.90) эти объективные производные тензора напряжений Кирхгофа т связаны с объективными производными тензора напряжений Коши в формулами (7 = 1) т' = вг+ з1гс(, тс' = зс'+ в1гс1, тс" = всд+ в1ггЬ Глава 1. Основные положение механики сплошной среды 54 Первая из этих производных введена Хиллом, а вторая Трусделлом. В дальнейшем трактуем эти производные как про- изводные тензора напряжений Коши з и вводим для них обозна- чения з г— в з +з1гд =Й вЂ” зи з+з вг+з1гс1, (1.93) з '=з +з1гд=Й вЂ” 1 з — з 1+з1гд.
з " = з~ — (з. д + с1 з). (1.96) Формулы (1.91), связывающие материальные производные несимметричных тензоров напряжений 7з и Р с материальной производной симметричного тензора Б(~), для Ш подхода принимают вид 'Р=з +з 1, Р=з +1 з. (1.97) Трактуем правые части (1.97) как производные теизора напряжс ний Коши: з = — 3 +3 ! =Й вЂ” 1 3+з1гс), зе = з '+1 з = Й вЂ” з 1+з1гс1. (1.98) В общем случае этн скорости — необъективные и несимметричные тензоры (з~ = з~ ).
Пользуясь (1.91), (1.79), (1.31), (1.95), (1.98), получим связи 7~. зп Р узе ~ (1.99) Производные з~ и зг' называются соответственно производнылеи Хилла и Трусделла тензора напряжений Коши. Их механический смысл следует из соотношений 2 С Н 01 Тс (1. 94) справедливых только для 1Л-подхода. Из (1.90), (1.93) и (1.89) получаем связи между материальной производной второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа и производной Трусделла тензора напряжений Коши: я12) 7С зте д зтс я я(2) 7Г (1 95) .7 Пользуясь связью индифферентных производных (1.41), получаем связь производных Трусделла и Хилла тензора напряжений Коши: 55 1.4.
Тензоры напряженая Только для Ш -подхода справедливы соотношения Р— в, Р— в. (1.100) Приведем выражения компонент производных в~, в~ ", в~, ве в декартовой системе отсчета: (усу + зй3нсьс + есвссс/ц + зсоссьь)1сс З 1сз Н = (зсу — еЦЖя — нсвт,/с + зб«ьь)й4 З йу, в = (зб — зьан; ь — асиенте+ зЦА,ь)1с; З 1с, Тс.
(1.101) а ( „ „ „, + з. ~ )1 З 1, в = (ЗΠ— все Ъ + з ус(ьь)14 З 1с~. О При бесконечно малой деформации материальной частицы все скорости тензоров напряжений превращаются в материаль- ную производную тензора напряжений Коши, которая в декарто- вой системе отсчета, записанная через компоненты, имеет следу- ющий вид: 1.4.4. Сопряженные тензоры напряжений и деформаций Введем мощноспсь енулсренквх ссье единицы массы деформируемого тела В (инвариантную величину) 1 1 а=-в:1=,— -: 1 (1. 102) Р Р так, что мощность внутренних сил я13 тела В определяется следующим образом: й11= в:а 1Р = -: 11е).
Ъ о1 Свертки и = в: 41 и ~пс = т: 41 (инвариантные величины) представляют собой мощности внутренних сил единиц объемов деформируемого тела в актуальной и отсчетной конфигурациях соответственно. Мощность внутренних сил играет фундаментальную роль в механике сплошной среды, в частности при построении определяющих соотношений. Вьппе были введены различные тензоры напряжений и деформаций. Пусть А,  — произвольно выбранная пара инвариантных тензоров напряжений и деформаций соответственно.
Сле- бб Глава 1. Основные положения механики сплошной среды дуя (74, 76], назовем инвариантные тензоры напряжений А и деформаций В соп)зяженнььии по мощности, если для них выполняется равенство оад = А: В (= т: 41). (1.103) Можно показать, что т: с! = Ц(г) ' Е(г) = Ф ): К( ) = -Я(г): С = --и( ): В, (1104) -г, -г 1. г 2 2 т. е. пары инвариантных тензоров напряжений и деформаций (н(г) Е!2)) (ц[-г) Е(-г)) (1.105) (-'Я(), С), ( ' И(- ), В) сопряжены по мощности.
Справедливы равенства ~и = т; Й, ад = и: с(. (1.106) Не существует инвариантного тензора деформаций (как явной функции тензора Щ материальная производная которого была бы равна 41 [74], Поэтому из (1.106) следует, что в рамках определений, введенных выше, для инвариантных тензоров напряжений т и й сопряженные инвариантные тензоры деформаций!3 не существуют. Определение сопряженных инвариантных тензоров, использующее равенство (1 103), оставляем для введенных ранее несимметричных тензоров напряжений и деформаций.
Можно показать, что : Я' = Р: Я = Р; Р = Р: Н, (1.107) т. е. пары несимметричных тензоров напряжений и деформаций (Р, У'), (Р, Я), (Р, Р), (Р, Н) '~С некоторым приближением в качестве такого тензора деформаций можно использовать правый тензор логарифмических деформапий !и У (3, б3, 74, 121). Поэтому с тем же приближением можно считать пару инвариантных тензоров (т, !и У) сопряженной по мопшости.
Если в определении сопряженных инвариантных тензоров вместо за использовать аа, то в том же приблиа женин пара (в, !н %)) может рассматриваться сопряженной. 1.4. Тензоры напряжений 57 сопряжены по мощности1з. Среди этих пар можно отдать предпочтение парам (уэ, У) и (Р, Р), так как в каждой из них сопряженные тензоры изменяются по одному и тому же закону прн жестких движениях окрестности материальной точки. Зля тензоров в парах (Р, Я) и (Р, Н) законы преобразования различны.
Пусть с — произвольный индифферентныи тензор. Обозначим через с инвариантный тензор, полученный операцией исключения поворота из тензора сзо. Эти тензоры связаны соотношениями с=В.т с В., с=В. с В.т. (1.108) Такими же соотношениями связаны материальная производная тензора с и коротационная производная Грина -- Макиннеса тензора с [3, 121]: Вт -С В -С В вЂ” ' Вт (1.109) Соотношения (1.108), (1.109) являются ключевыми для определения сопряженных индифферентных тензоров напряжений и деформаций. Рассмотрим произвольно выбранную пару индифферентных тензоров напряжений а и деформаций Ь.
Следуя [12Ц, назовем индифферентные тензоры напряжений а и деформаций Ь сопряженными по мощности, если для них справедливо равенство ощ = а: Ьсз (= т: д). (1.110) Обозначим через а и Ь инвариантные тензоры, полученные из соответствующих индифферентных тензоров а и Ь операцией исключения поворота. Тогда из (1.108), (1.109) следует равенство а: Ь = а: Ь~. Отсюда вытекает, что приведенное выше определение сопряженных индифферентных тензоров напряжений и деформаций яв- 1зПринятое здесь определение сопряженных несимметричных тензоров нэпрюкеиий и деформедий отличеется от аналогичного определения в [46, 74, 76]. Лля того, чтобы получить определение сопряженных тензоров, принятое в этих работах, надо в (1.103) заменить тензор деформаций В тренспонировелным к нему тензором В', Отметим, что для симметричных тензоров напряжений и деформелий эти определения совпадают.
В свою очередь, тензор с можно рассматривать квк тепзор, полученный из тензора с с помощью операции поворота. Глава 1. Основные положения механики сплошной среды ляется перефразировкой аналогичного определения сопряженных инвариантных тензоров. Пля введенных ранее индифферентных тензоров напряжений и деформаций справедливы соотношения в(г), (г)о в(-г), е(-г)о в(г) . со в(-г), )гс 2 ' 2 откуда следует, что пары индифферентных тензоров напряжений и деформаций (в(г) е(')) (в(-') е(-г)) ~- в(г), с), ( — - з(-'), )») сопряжены по мощности. Отметим, что, в соответствии с приведенным выше определением сопряженных индифферентных тензоров напряжений и деформаций, для тензора напряжений Кирхгофа т и тензора напряжений Коши в не сгуществует сопряженных индифферентных тензоров деформаций 1. Тем не менее считаем пары индифферентных тензоров (т, е( г)), (в, е( г)) сопряженными по мощности в силу равенств о, ~ , (-г)сн ж, 1ж в, (-г)сл которые следуют из первого равенства (1.63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
