1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1 введены характеристики деформируемой среды: тензоры напряжений, тензоры деформаций и их скорости. В реальных процессах деформирования тел эти величины не могут вести себя независимо. Фундаментальные свойства механики сплошной среды отражаются в определяюи4их сооглношениях — - функциональных зависимостях, связывающих напряжения, деформации и/или их схорости. Эти зависимости строятся на основе экспериментальных исследований. Выполнение следующих основных принципов: тензорность соотношений, принцип детерменизма, принцип локального действия, принцип материальной объективности, принцип затухающей памяти, законы термодинамики — накладывает ограничения на общий вид определяющих соотношений [38]. Все моделируемые материалы группируются в соответствии с определенными функциональными соотношениями.
В механике сплошной среды различают большое количество типов материалов со своими определяющими соотношениями: газ, идеальная жидкость, вязкая жидкость, упругие материалы, упругопластические материалы, упруговязкопластические материалы и т, д.
В МДТТ все материалы можно условно разделить на два класса: упругие и неупругие. Следуя [79], назовем материал тела упругим, если напряжения восстанавливаются на всех кривых в окрестности исходной точки пространства деформаций, а деформации являются единственными независимыми переменными состояния. Все остальные материалы называются неупругими. Более детальные формулировки упругих и неупругих материалов приводятся ниже. 68 Глава 2. Опревеляюшие соотношения механики,. В наставшей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиала — Кирхгофа вместо 8~2~ вводим обозначение Я, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений Е(2~ и е~ 2~ используем Е и е соответственно.
2.1. Упругий материал Для упругих материалов вводится связь между тензорами напряжений и деформаций. При атом в качестве отсчетной используется встпесгпв енная конфигурация тела — такая конфигурация, в которой компоненты тензора напряжений равны нулю всюду в теле. 2.1.1. Геометрически линейное деформирование тела Пользуясь законами термодинамики, можно показать (68), что при изотермическом и адиабатическом деформировании определяюшие соотношения упругого материала записываются в виде О = сИ'(е),. дИ1(еы) об= (2.1) ае де,у Скалярная достаточно гладкая функция компонент тензора деформаций Коши Й'(е) называется удельной погпенциальной энергией дефорлеаций (упругиле потенциалом). В силу симметрии тензора напряжений Коши о на Й'(в) накладываются ограничения дн' др(' дед де; Соотношения (2.1) можно переписать в виде (2.2) о = Ф(в), где Ф(е) — взаимно-однозначная тензорная функция тензора деформаций Коши е.
Дифференцируя по времени левые и правые части соотношений в (2.1), получаем следуюшую запись определяющих соотношений упругого тела относительно скоростей: ст=и,:й еь до =с'~ еы, (2.3) 2.1. Упругий материал 69 где й. — тензор четвертого ранга, обладающий симметриями 2 2 с( И' (е) лбы д И (егз) (~бы ~ыб оззм) г(е дед дем (2.4) Первая симметрия тензора й в (2.4) (Сум = С"Рц) называется славной симметрией (б2). Определяющие соотношения (2.3) имеют вид однородных функций первой степени скоростей компонент тензора напряжений Коши от скоростей компонент тензора деформаций Коши.
Вследствие этого и главной симметрии теизора к. определяющие соотношения (2.3) допускают запись с(И'(е) . б дИ'(еы) дИ' дИ' с(е дец деб дсзз с однородной потенциальной функцией второй степени И'(й) (квадратичной формой). Отметим, что функция И' может параметрически зависеть от компонент тензора деформаций Коши е. По теореме Эйлера об однородных функциях получаем явный вид этой функции: 1... 1. И'(е) = -О(е): е = -е: С: е 4я» 2 2 Пользуясь (2.2), приведем определяющие соотношения линейного упругого изотропного материала (закон Гука1): о =1г Е, (2.5) Таким образом, рассматривается частный случай соотношений (2.2) с линейной однородной функцией первой степени Ф(е).
Вследствие изотропности материала тензор четпсртого ранга йк определяется двумя постоянными параметрами (константами): А и )з (параметры Ламэ) или Е и и (модуль Юнга и коэффициент Пуассона), связанными друг с другом соотношениями Жи Я (1 + и)(1 — 2и)' 2(1 + и) 'Точнее геворк, соотношепик (2.6), (2.6) прелставлвзот частный случай закона Гука ллк изотропного материала, в евшем случае плк анизотропного материала тензор С~ в (2.6) может иметь 21 константу.
Гиена 2. Опрепепкюпше соотношении механики ... 70 С помощью параметров Ламэ тензор й~ записывается следую- щим образом: Е' = ЛС, + р(си + Сп,), (2.6) где Сц Сц, Сщ — базовые изомерм изотропного тензора четвер- того ранга [36), Су = е; Зе' З ее Зе" = дгдме, Зе. З ее З е~ = иЗи, Сц = е; Зе. Зе' Зйг = дс~дУ~е, Зе Зее З еь (2.7) Сщ = е; З й З е' З е' = д"д'"е; З е1 З еа З е~ = е; З и З е'. Из (2.5), (2.6) получаем следующую запись закона Гука: о = Л(1ге)д+ 2ре. (2.8) В декартовой системе отсчета закон Гука, записанный через ком- поненты, имеет вид о11 = е., меж = Лбн ец, + 2реб, Е (2.9) где С;ум = Л5';5ы + д(5ее5гз + 5нАе).
Е Для того, чтобы перейти к записи закона Гука в виде (2.1), с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях находим потенциал 1 1 ~ 1 И7 = -<т(е): е = — е: ~: е = -Л(1ге) + ре: е. (2.10) 2 2 ' ' 2 В декартовой системе отсчета он имеет следующее выражение через компоненты тензора деформаций Коши: 1 1 И' = -С1уме11ем = -Л(еье) + це;ге1~. е г 11ифференцируя по времени соотношения в (2.5), (2.8), получаем закон Гука, записанный относительно скоростей: о' = к.: е = Л(1г е)н + 2де.
(2.11) В потенциальной форме он имеет вид о = ., И'(е) = — сг(е): е= — Л(Фге) +де: е. (И.(е) . 1.... 1 .г с(е ' 2 2 При геометрически линейном деформированни тела все три формы записи закона Гука ((2.Ц с учетом (2.5), (2.10) и (2.11)) 2.1.
Упругий материал эквивалентныг. Эта эквивалентность теряется при обобщении закона Гуда на случай произвольной деформации упругого тела. Лля такой деформации в следующем параграфе вводятся три различных (неэквивалентных) определения упругого материала (б7, 11б]з. 2.1.2. Определении упругого материала при произвольнои величине деформаций Определение 1. Материал тела называется гилерупругим, если существуют естественная конфигурация тела и такая англитическгя функция И'(Е), образуемая по отношению к естественной конфигурации, что для всех точек тела справедливо равен- ство (т'(Е) = ш.
(2.12) Функция Йг(Е) называется потенциальной энергией дефор44ачцй. механический смысл функции Йг(е) следует из ее определения1 эта функция представляет потенциальную энергию деформаций единицы массы тела. Введем удельную потпенниальную энергию де4ормааий (упругий потенциал) Й'(Е) [67) (потенциальная энергия деформаций единицы объема тела в отсчетной конфигурации) 4: Й" (Е) = орйг(Е) (2.13) Это утверждение справедливо для закона Гуха и в более общем случае — для определяющих соотношений линейного упругого материала (необязательно пзотропного) . Тогда под й~ подразумевается постоянный тензор (не зависящий от тензора деформвлий е), обладающей симметриями С~Им = евнм гвин Твввя же незхвиввлентность может иметь место н для определяхпцпх соотношений физически нелинейного упругого материала при (возможной) геометрпчесхи линейной деформвпии тела. Для такого материала потенциальная фунхция йг — неяввдратичнвя форма, Ф вЂ” нелинейпвя фунхдия е, а тензор С в (2.3) зависит от е.
Если определяющие соотношения (2.2) или (2.3) вводятся независимо, в не выводятся из (2.1), то нельзя гарантировать их зявивелептность. "Оставляем для функции Нг(Е) то же обозначение, что и для функции 14г(е) из 1 2.1.1, тах хах при условен бесконечно малой леформации материальной чвстиды функция гг'(Е) превращается в функцию Йг(е). Глава 2. Опрелелккнпие соотношенил механики ... 72 Из (2.12), (2.13), (1.102), (1.104) следуют определяющие соотношения гиперупругого материала: ~И" (Б) " дЯ(Еы) дй' дФ (Е аЕ,, ' ОК;, ОЮ,,' Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Б с компонентами тензора деформаций Грина —— Лагранжа Б.
Альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций.
Пользуясь (1.47), запишем следующие выражения для удельной потенциальной энергии деформаций: Е(У) ев Ит[(Е(У')), Е(Р) ее И'[(Е(Р)). (2.15) Теперь из (2.12), (2.13), (1.102), (1.107), (2.15) получаем альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала [36, 46): с(Е(У) с(Е(Р) НУ' ' с(Р (2.16) Определение 2. Материал тела называется упругим, если существует естественнан конфигурация тела и в подходяще определенной конечной окрестности этой конфигурации существует взаимно-однозначное соответствие вида и = Ф(е) с-.» з0 = Ф0(еы).
(2.17) Соотношения (2.17) называются определяющими соотношениями упругого материала. (2.18) Соотношения (2.18) называются определяющими соотношениями гипоупругого материала. Предполагается, что в них компоненты тензора четвертого ранга к. не зависят от компонент Определение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
