1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Материал тела называется еипоуируеин, если компоненты производной Яуманна тензора напряжений Коши — линейные однородные функции компонент тензора скорости деформаций 2.1. Упругий материал 73 тензора скорости деформаций Й, но могут зависеть от текущих значений компонент тензоров напряжений и деформаций. Между этими тремя определениями упругого материала существует связь, которая задана следующей теоремой [67, 110]. ТеОрема Нолла. Упругий материал является частным случаем гипоупругого материала; иэоглропный гиперупругий магпериал лвлпетсл частным случаем упругого и, следовательно, гипоупругого материала. Отметим, что только для гиперупругою материала гарантируется отсутствие диссипации (рассеивания) энергии на внутреннее трение.
В определении гиперупругого материала используется пара сопряженных симметричныхинвариантныхтензоров напряжений и деформаций (Я, Е). Вместо этой пары можно было бы использовать любую другую пару таких сопряженных тензоров, например (Я( ~1, Е( ~1). В двух других определениях (упругого и гипоупругого материалов) используется пара симметричных индифферентных тензоров (в, е), которая с учетом равенства е~~ = Й также отнесена к сопряженной паре (см.
2 1.4.4). Рассмотрим частные случаи определяющих соотношений гиперупругого и упругого материалов: Я = ч.~: Е, в = к.~: е, (2.19) где к., ч. — тензоры четвертою ранга. Пользуясь формулами и ь связи тензоров Е и е в (1.48), а также Я и э в (1.79), получаем формулы связи компонент тензоров к. и К [72]~: анны =,7а$ ад Сйрчгв аь а1 Р Ч г В~ ~бйм рв вс д ~ЛРЕгв ра гг.1 Р Е 7 г *' (2.20) В декартовой системе отсчета соотношения (2.20) записываются Здесь и далее предполагаем, что С'в — компоненты тензора Ы в пространственном базисе, а г'1 — компоненты тензора г в материальном отсчетном базисе (знак Ч над г"', опускаем во избежание загроможденик формул). Глава 2.
Опрелеляюпше соотношения механики .. в следующем виде [49, 88]: н бцм †.7Х;,„Х,, Е„',„, ХЛ„Х,,„ (2.21) Б 1 "и кя ы — — — хйр х [ К „хь[„х~[,. Таким образом, для того, чтобы определяющие соотношения гиперупругого и упругого материалов (2.19) описывали олин и тот же материал, тензоры к.
и й должны преобразовываться по формулам (2.20) или (2.21). Если зти тензоры определить так, чтое ~д ~ь ~е (2.22) т.е. сделать прямое обобщение закона Гуда на гиперупругий и упругий материалы, то определяющие ссютношения (2.19) будут соответствовать двум разным материалам, так как формулы преобразования (2.20) или (2.21) при произвольной величине деформаций здесь не выполняются.
Определяющие соотношения гипоупругого материала (2.18) можно модифицировать, используя в левой части вместо производной Яуманна некоторую другую индифферентную производную тензора напряжений Коши в~ или Кирхгофа т'~, например кол сд ва н тг сд+ ~г,1 д то~ . сн,.а ные в 2 1,4.3. В исследованиях по нелинейной механике сплошной среды была развернута дискуссия [3, 35, 38, 72, 73, 77, 79, 88, 96, 100, 118, 12Ц по вопросу о том, какую из индифферентных производных лучше использовать для формулирования определяющих соотношений гипоупругого материала.
Изложим кратко суть дискуссии. Рассмотрим обобщенные определяющие соотношения гипоупругого материала (2.23) ЯБазовые изомеры Сь Сц, Сц~ определены в (2.7) в переменных Лагранжа. Лля того, чтобы получить выражения этих юомеров в переменных Эйлера, надо заменить выражения вида уп и е, на уо и е„откуда следуют два эквивалентных представления тензора к.~: = [Лупу +р(у' у' +д'у' )]е; Зез Зея Зе~ = ' = [Лдпд +Р(У' Уз +дпдз ))е, Зе Зея 3 ел 2.1. Упругий материал В качестве тестовой задачи для отбора подходящей индифферентной производной обычно используется задача о простом сдвиге [38, 72, 118) с тензором к. = я.~ в правой части (2.23), т. е, закон Гука обобщается на гипоупругий материал и рассматриваются определяющие соотношения вида вЛ ~е, г1 (2.
24) При решении тестовой задачи получены следующие результаты. При использовании производной Яуманна тензора напряжений Коши в~ в левой части (2.24) решение показывает осциллирующее поведение компонент тензора напряжений Коши при монотонном возрастании угла сдвига, не соответствующее картине деформирования. Более реалистичное (без осцилляций) поведение этих компонент отмечается при использовании производных Грина — Макиннеса в~ и Трусделла з~". В [38) предложено модифицировать определяющие соотношения (2.24) путем замены тензора скорости деформаций й индифферентной производной е некоторого индифферентного тензора деформаций е: вь ~е, ел (2.25) Отсутствие осцилляций в решении задачи о простом сдвиге гарантируется тем, что соотношения (2.25) представляют собой запись относительно скоростей соотношения в=К:е, (2.26) имеюгцего вид определяющего соотношения для упругого материала, т.
е. решением (2.25) является выражение (2.26), которое не содержит осцилляций компонент тензора при монотонном возрастании деформаций сдвига. Определяющие соотношения упругопластическою материала при геометрически линейном деформировании задаются в виде однородной функции первой степени скоростей компонент тензора напряжений Коши от компонент тензора деформаций Коши.
Основная цель проводимого здесь анализа поведения компонент тензора напряжений Коши в задаче о простом сдвиге для различных формулировок определяющих соотношений гипоупругого материала состоит в ответе на вопрос: какую из сравниваемых формулировок следует предпочесть при введении упругого закона деформирования в определяющие соотношения упругопластическою материала при произвольных деформациях тела? В свете Глава 2.
Онределяюшие соотношения механики ... 76 обобщения определяющих соотношений упругопластического материала, записанных в условиях геометрически линейного деформирования, на произвольную деформацию тела очевидно, что желательной структурой определяющих соотношений должна быть структура соотношений (2.23), так как только с помощью тензора скорости деформаций Й можно сделать правильную запись мощности внутренних сил зо (см. 3 1.4.4). Эта величина служит основой для вывода определяющих соотношений упругопластического материала (например, из принципа максимума Мизеса [4)).
Такой анализ по выбору определяющих соотношений гипоупругого материала проведен в [3]. Сделан вывод: для произвольного вида определяющих соотношений упругопластического материала в диапазоне изменения деформаций, достаточном для большинства практических приложений, можно использовать определяющие соотношения (2.23) с производной Грина — Макиннеса я~ в левой части. Этот вывод основан на том, что, во-первых, эта производная является коротационной, так что выполняются свойства (1.39), (1.40); во-вторых, при К = й~ с достаточно хорошим приближением соотношения (2.24) превращаются в (2.25)7, что предотвращает осцилляции компонент тензора напряжений Коши в задаче о простом сдвиге.
В то же время решения задачи о простом сдвиге для тел из идеальною упругопластического материала и упругопластического материала с изотропным упрочнением показывают правильную картину деформирования (без осцилляций компонент тензора напряжений Коши при монотонном возрастании сдвига) при использовании определяющею соотношения (2.18) [118[.
Осцилляции появляются в том случае, если применяется кинематический (анизотропный) закон упрочнения материала упругопластического тела. Таким образом, для первых двух моделей упругопластическою материала в качестве скорости тензора напряжений можно использовать производную Яуманна тензора напряжений Коши з'7, что значительно упрощает задачу определения скорости изменения тензора напряжений Коши по сравнению с использованием производной Грина — Макиннеса в~. В первом случае компоненты производной я'7 определяются непосредственно с использованием компонент тензора вихря зч, а во втором слу- Роль индифферентного тензора деформаций е играет левый тензор логарифмических деформаций 1ц я', так как 1п зги яз г1. 2.1.
Упругий материал 77 чае для определения тензора относительного спина а1 требуется полярное разложение (1.33) тензора градиента деформаций Р [бб) в каждой материальной точке тела. 2.1.3. Малая деформация тела Пусть все материальные частицы тела В подвергаются малой деформации, так что выполнены приближенные равенства (1.52). Такую деформацию назовем малой деформацией тела, Тем не менее повороты и перемещения материальных частиц могут оставаться большими. Как и при геометрически линейном деформировании, все три определения упругого материала, рассмотренные в 3 2.1.2, теоретически эквивалентны при малой деформации тела, материал которого подчиняется закону Гука. Тензоры напряжений я, Я и деформаций е, Е связаны преобразованиями поворота (см. 2 1.3.4 и 3 1.4.1) Š— Вт,е.В е В Е Вт 8=В.'Я'В., Я=В. 8'В..
Все индифферентные производные тензоров напряжений и деформаций превращаются в производные Яуманна з~ и е~, при этом выполняется равенство е Й. Объективные производные тензоров напряжений и деформаций связаны соотношениями о~=В Е В. Е=В. еа В (2.27) в У В Я В т Я В т в ~ В Из (2.27) следует, что при малой деформации тела определяющие соотношения гипоупругого материала (2.18) представляют собой определяющие соотношения гиперупругого (2.14) или упруюго (2.17) материалов, записанные относительно скоростей. В силу теоретической эквивалентности всех трех определений упруюсти выгодность использования какого-либо одного вида определяющих соотношений диктуется в основном соображениями эффективности работы с выбранным соотношением при решении конкретной задачи. Например, если рассматриваются определяющие соотношения для гиперупругого и упругого материалов, то при выполнении равенств (2.22) оба определяющих соотношения при условии 78 Глава 2.
Опрепелиюшие соотношении механики ... малости деформаций тела описывают один и тот же материал. Этот факт является следствием изотропности материала, подчиняющегося закону Гука, и того, что Р - Н., С И., поэтому нет очевидного преимущества использования одного определяющего соотношения перед другим. Пля анизотропных (ортотропных) материалов выгоднее использовать определяющие соотношения гиперупругого материала в виде первого равенства (2.19), так как тензор к. остается постоянным в процессе деформирования,а тензор к.
изменяется. Использование определяющих соотношений гипоупругого материала (2.18) при численном решении задач проигрывает по сравнению с использованием определяющих соотношений гиперупругого и упругого материалов, так как для определения компонент тензора напряжений Коши надо интегрировать определяющие соотношения (2.18), что может внести дополнительные погрешности в решение задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
