1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эти два выражения можно объединить в одно: О, если/„<Оили/к=Онест':е(0, 1, селим,=Ои~т':8>0. В (2.80) введена функция 3 Е 4,У2 ~Ье(.У2) Для идеального материала (Ее = 0) в правой части (2.80) надо сделать замену йт' 8 ~т' / ~ / с с 1+ и+ 2Ыг 2У2 Соотношения (2.79) допускают запись вида (2.57) с потенциальной функцией, имеющей непрерывные первые и кусочно- непрерывные вторые производные. Для материала с упрочнением 2.2.
Упругопластичесаий материал эта функция имеет вид И' ~(й) = — й: е. ~: е ЕР 2 и с((гу'; й)г ~ е: й + (Фг 8) — с 1. (2.82) 2(1 + и) ! 1 — 2~ 1+ и + 20.1г г Для идеального материала в (2.82) надо сделать замену Н(о': е) (О': е) с -+ с 1+ и+ 2Ыг 21г Приведем компоненты тензора ~и~У в декартовой системе отсчета для материала с упрочнением: ~-(бди ~+6н61а)+ 4 Бы — с 1+ и ~2 1 — 2и 1+ и+ 2Нуг) (2.83) где О, если~„(билни„=Оист,'Г, <О, с= 3 1, еслиДя — — Оио; 'е, >О.
Для идеального упругопластического материала в (2.83) надо сделать замену л / / ! / ЙГО он с -+ с 1+ и+ 2012 ' 2,72 В этой системе отсчета потенциальная функция (2.82) для материала с упрочнением переписывается в виде для идеального упругопластического материала надо сделать замену (( г: )г (о,геп) с -+ с 1+ и+ 2И,Уг 212 Сравнительный анализ теорий пластичности ЕР/ Сопоставляя выражения для компонент тензоров н ч. ", отмечаем, что при с = 1 первые можно получить из вторых, делал в последних замену Е, -+ .Е.
В некоторых случаях это обстоятельство позволяет эффективно применять более сложные (при записи относительно скоростей), чем в теории течения. 98 Глава 2. Опрененяюшие соотношения механики ... соотношения деформационной теории пластичности к определению критических нагрузок потери устойчивости тел при упруго- пластических деформациях. При решении некоторых задач этого класса оказывается, что критические нагрузки, определенные по деформационной теории пластичности, более близки к таким нагрузкам, полученным в эксперименте„чем критические нагрузки, рассчитанные по теории течения с изотропным упрочнением материала. Особенно сильно это различие проявляется в задаче о крутнльной потере устойчивости сжатого стержня крестообразного сечения, когда пластические деформации, появляющиеся при сжатии стержня, влияют на критическую величину сжимающей нагрузки, полученной с помощью определяющих соотношений деформационной теории пластичности, и не влияют на такую же величину нагрузки, вычисленную с помощью соотношений теории пластического течения (841.
Таким образом, деформационная теория пластичности, противоречивая в математическом плане и в сопоставлении с экспериментальными данными по сложному нагружению, позволяет в некоторых случаях получить решения задач по потере устойчивости тел, находящиеся в лучшем соответствии с экспериментальными данными, чем решения, найденные по более строгой теории течения. Этот результат назван парадоксол пластическоео выпрчивиния [84).
Во введении отмечено, что этот парадокс можно разрешить с помощью теории течения с угловой точкой на поверхности текучести. Определянмцие соотношения деформационной теории пластичности (2.72) получены прн игнорировании знака Х2 в случае, когда выполняется равенство .Х2 =,Х2 '*. При этом компоненты тензора к. зависят только от компонент девиатора тензора над>ч пряжений о'. Если бы компоненты этого тензора опр~~елялись нз (2.71) с учетом разных выражений при нагрузке и разгрузке материальной частицы, то компоненты тензора й зависели бы также от знака Х2 и при нейтральном нагружении (при условии ,Хз = 0) изменялись бы разрывным образом.
При некоторых дополнительных к,Х2 ) 0 условиях тензор ~к~~ вида (2.73) совпадает с тензором определяющих соотношений теории пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести (21, 24, 25, 84). На начальном этапе деформирования (Х2 < (о~~)2/3) поверхность текучести считается гладкой, имеющей вид (2.б1) (рнс. 2.4,а). Предполагается, что при пластическом течении на поверхности 2.2. Упругопластвческня материал в У„=О =О Рнс. 2.4. Возникновение угловой точки на поверхности текучести: а — Д,(гг',ааа) ( О, упругое леформпроаалва; б — Д„(гг',ег) = О, пластическое леформвроаание (полное нагружение) текучести возникает угловая точка (точка А на рис, 2.4,б). Полные соотношения теории пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести построены в [6Ц.
В этой теории прн нахождении конца радиуса-вектора в пространстве компонент девиатора тензора напряжений на поверхности текучести различают три состояния: полная разгрузка (упругое деформирование), неполное нагружение и полное нагружение. При полном нагружении тензор определяющих соотношений этой теории течения совпадает с тензором к. ~, при полной разгрузке -- с тензором к., а наличие области неполного нагружения обеспечивает Е непрерывный переход от полною нагружения к полной разгрузке. Использование теории пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести позволяет избавиться от недостатков классической деформационной теории пластичности и разрешает парадокс пластического выпучивания.
2.2.2. Произвольная величина деформаций Введем унифицированную запись определяющих соотношений упругопластического материала: сг = к.: й, (2.84) где под тензором С ~ для определяюших соотношений деформационной теории пластичности без учета разгрузки (2.72) понимается тензор к. ~, а для определяющих соотношений теории пластического течения с изотропным упрочнением материала (2.79) — тензор С~~У. Потенциальная форма соотноше- 100 Глава 2. Определяющие соотлощелия мехаликл ний (2.84) принимает вид О =, И'(8) = — О(8): й = — й . к.: е, пй (8), 1... 1, еР и'й ' 2 2 где под потенпиальной функцией И" понимается либо функ- ция И~я, определенны в (2.75), либо функция И'1, определенная в (2.82).
Формальное обобщение определяющих соотношений (2.84) для больших деформаций материальной частицы получается за- меной материальных производных ег и 8 объективными производ- ными некоторых тензоров напряжений и деформаций (38, 73, 77, 79 83 88 96 97 100 101 106 113)14 Используем для первого обобщения определяющих соотноше- ний (2.84) пару инвариантных сопряженных тензоров (Я, Е). В качестве скоростей тенэоров напряжений и деформаций возьмем (объективные) материальные производные Я и Е.
Обобщенные определяющие соотношения записываются в виде ~ЕР, Е (2.85) Тензор четвертого ранга ой получается следующими заменами в тензоре й Р: О-+Б, О -+Я, й-+Е (2.86) Диаграмма одноосного деформирования для определения Е, Е, и Е, ~~ро~~~~ в осях Е11 — 811. Для соотношений (2.85) потенциальная форма записи имеет вид (2.32), где используется функция 0И", определяемая по формуле (2.33) с заменой тензора ок. тензором бк., при этом 0И'— ЕР однородная функция второй степени (но необязательно квадратичная форма). При отождествлении тензора ое. с тензором ой Р справедливы альтернативные формы записи определяющих соотношений (2.34), (2.36). Альтернативная форма определяющих соотношений (2.85) имеет вид Р=~~:Р.
"Альтернативное обобщение (38, 38) состоит в замене еддитивлого разложеиия телэора деформаций Коши (2.88) мультилликативлым разложением телэора градиента деформаций е' ла упругую г" и пластическую г"~ составляющие: я = е'. ее. 2.2. Упругопластическнй материал -ЕР Контравариантные компоненты тензора ой получаются из соответствующих компонент тензора сй по формулам преобра- ЕР зования вида (2.35). Зля этих соотношений потенциальная форма записи имеет вид (2.36) с заменой в (2.37) тензора бй тензо- - ЕР Ром о~ Рассмотрим область применимости определяющих соотношений (2.85).
Образуем вторые инварианты девиаторов трех различных тензоров напряжений: Уг(в ) = - девдззй = - дйдз з У2(т ) = 9кй9узтчты, У2(Б ) = 9ы9ЭЯЯ пЯ и. 2 ' 2 Зля малых упругих, но, возможно, больших пластических деформаций (что характерно для неупругого деформнрования металлов) в силу несжимаемости пластических деформаций имеем ,У 1, тогда 'Г в, т в, Уг(T ) Уг(я ). (2.88) Хотя в силу (1.88) справедливо равенство контравариантных компонент тб = о"з, но и тензор-девиатор г', н его второй инвариант образуются с помощью компонент д; метрического тензора и в материальном текущем базисе, а Б' и,Уг(Б') — с помощью компонент д; тензора я в материальном отсчетном базисе (см.
(2.87)). Поэтому в общем случае Уг(Б) уе Уг(т). (2.89) Равенство,Уг(Б') =,Уг(т') справедливо только при малых деформациях материальной частицы (но перемещения и повороты могут быть большими). Из физических соображений следует, что критерием появления пластических деформаций должно быть выполнение некоторого условия в пространстве компонент девиатс ра тензора истинных напряжений в, а не условных напряжений Б. Из (2.89) следует, что определяющие соотношения (2.85) имеют механический смысл только при малой деформации тела1з. 'зОпрелеляюшие соотнопзеиия вила (2.85) лля произвольной величины леформаций используются в работе [72], но в ней поверхность текучести строится не в пространстве компонент напряжений, а в пространстве компонент деформаций. 102 Глава 2.
Онренелкюшие соотношении механики Дискуссию [38, 43, 101[ вызвал вопрос законности обобщения аддитивного разложения (2.76) для произвольной величины деформапий. Итогом дискуссии [113) можно признать корректность аддитивного разложения тензора скорости деформаций д на упругую с1е и пластическую сР составляющие: с1 = с1' + дв для малых упругих, но (возможно) больших пластических деформаций. Следующим важным шагом в построении определяющих соотношений является корректный выбор индифферентной производной тензора напряжений Коши. Остановим свой выбор на производной Яуманна Б~ в силу преимутцеств коротационных производных по сравнению с другими конвективными производными (см. 21.2.7) и из-за простоты определения производной Яуманна, которую можно использовать для построения модели упруго- пластического материала с изотропным упрочнением (см. 2 2.1.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
