1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В настоя|цей главе в качестве альтернативы дифференциальным уравнениям движения предлагаются их слабые формы, служащие основой применения численных методов, представленных в части 11. Для решения некоторых классов задач можно также эффективно использовать вариационные формулировки уравнений. В функционалах, с помощью которых получаются вариационные формулировки, также ослаблены требования на гладкость варьируемых функций по сравнению с исходной дифференциальной формой.
В настоящей книге приводятся вариационные принципы тдлько относительно скоростей неизвестных функций, требуемые для применения МКЭ (часть 11) и для качественного исследования поведения решения нелинейных уравнений в особых точках (гл. 4). Более полное представление слабых форм уравнений движения и вариационных принципов нелинейной механики можно найти, например, в [36, 49, 62, 67, 88, 98, 119, 122[. 3.1. Слабые формы уравнений движения Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений движения) формулируется следующим образом [37, 49, 122]: работа внутренних сил на возможных (виртуальных) перемеп1ениях 110 Глава 3. Олабые формы уравнений движение ...
равна работе внешних сил на возможных перемещениях. Под возможными перемещениями понимаются кинематически возможные (удовлетворяющие заданным величинам на части границы тела я„или ая„) перемещения. 3.1.1. Текущая конфигурация В текущей конфигурации равенство, выражающее принцип возможных перемещений, имеет вид в: беда = р(г — а).бипР + Ф* бцс(Я Чбц, (3.1) и бт где вариация тензора деформаций Коши бе определяется следующим образом1: бе = -[з7(бп) +17(бц) ]. 1 2 Здесь знак б обозначает вари«пню, т. е.
такое поле достаточно гладких функций бц, что бпк О наЯ„. (3.2) В предположении непрерывной дифференцируемости компонент тензора напряжений Коши я эквивалентность уравнения (3.1) и уравнений движения и статических граничных условий (естественные граничные условия) (1.114) следует из произвольности бц. Кинематические граничные условия в (1.114) заложены в варьируемые перемещения (жесткие граничные условия), так что вьшолнено равенство (3.2). 3.1.2. Отсчетная конфигурация В отсчетной конфигурации принцип возможных перемещений выражается равенством ор аят (З.З) 1 Здесь и далее длк сокрашения записи используем следуюшие обозначении длк тензора, транспоннроааниого к тензору градиента вектора н: зги (зуи) . 3.1.
Слабые формы уравнении движении Вариация тензора деформаций Грина — Лагранжа Е определяется следующим образом: 6Е = -[Ф(5ц) + Ф(дп)'+ Ф(бп) Фпт+ Фп Ф(дц)~), 2 где поля достаточно гладких функций дц удовлетворяют условию дц = 0 на ~Я„. (3.4) В предположении непрерывной дифференцируемости компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Б зквивалентность уравнения (3.3) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.119) и (1.120) следует из произвольности дп. Кинематические граничные условия (на ооа) в (1.119) или (1.120) являются жесткими.
Альтернативные выражения для равенства (3.3) получаются заменой пары тензоров (В, Е) в левой части любой другой парой сопряженных инвариантных или несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Например, если в качестве пары сопряженных тензоров использовать (Р, Р), то уравнение (З.З) можно переписать в виде Р .
5Ре(ОИ Ор(1' и) 5пе(0~1+ ч'~ 5ппОЯ О1 О1 обт (3.5) где 5Р = Ф(дп)'. Здесь Оп — поля достаточно гладких функций, удовлетворяющих условию (3.4). В предположении непрерывной дифференцируемости компонент первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р эквивалентность уравнения (3.5) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.118) (с учетом 'Р = Р ) следует из произвольности Оп. Кинематические граничные условия (на ОЯ„) в (1.118) являются жесткими. 3.1.3.
Сопоставление дифференциальной и слабой форм уравнений движения Из вида слабых форм уравнений движения (3.1), (3.3) и (3.5) следует, что используемые в них поля напряжений не требуют дифференцируемости, а требуют только интегрируемости подын- 112 Глава 3. Слабые формы уравнений даииеннн ... тегральных выражений левых частей. Таким образом, слабые формы уравнений движения можно использовать для нахождения обобщенных (разрывных) решений уравнений движения. Ослабление требования гладкости на поля напряжений используется в МКЭ (см. часть П), так что на границах элементов напряжения, как правило, разрывны, а приближение напряжений при измельчении сетки к непрерывно диффсренцируемым полям служит оценкой точности полученного численного решения. Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнсний движения над дифференциальной.
Иногда при решении конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в (1.118)- (1.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером могут служить контактные задачи, где статические и кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление), зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае вместо последних членов в правых частях (3.3) или (3.5) можно использовать последний член из правой части (3.1), что всегда можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке граничных условий для дифференциальных уравнений движения (равновесия) такую замену сделать невозможно.
3.2. Вариационные принципы Принцип возможных перемещений можно использовать для решения как статических, так и динамических задач. Вариационные принципы, которые приводятся в этом разделе, можно использовать для решения только квазистатических задач (вследствие того, что инерционные силы зависят от скоростей псрем.- щений, их нельзя ввести в функционал). В нелинейной теории упругости вариационные принципы обычно формулируются относительно полей перемс1цений, деформаций и напряжений (например, Ху — Васидзу, Хсллингера -- Рейсснера. стационарности полной потенциальной энергии и др.). Рассмотрим некоторые вариационные принципы.
сформулированные относительно полей скоростей перемещений, деформаций и напряжений. которые справедливы для упругих и неупругих тел. 3.2. Варианионные принннны 113 3.2.1. Обобщенный вариационный принцип Выпишем полную систему уравнений (уравнения равновесия, граничные условия, кинематические связи и определяющие соотношения), сформулированных относительно скоростей в отсчетной конфигурации: (3.6) 1(оЕ(Р) Иг в К Уравнения (3.6) описывают квазистатическое деформирование упругих и упругопластических тел Для упругопластических тел функция оŠ— однородная потенциальная функция второй степени от своих аргументов, имеющая непрерывные первые производные и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные, а для упругих тел зта функция представляет собой квадратичную форму (гл. 2).
Система (3.6) является системой уравнений Эйлера и естественных граничных условий вариационного уравнения бо,Ун = О (3.7) с функционалом [27) о 7н(Я ц Р) (ОЕ(Я) оду и) по$ Р . (Р 1(7цт) 60$г о1 О1 — Т* пИ Я вЂ” Т. (и — ц*)п' Я. (3.8) овт Наоборот, решение уравнений (3.6) поставляет стационарное значение функционалу (3.8). Для краткости говорим, что система (3.6) соответствует вариационному уравнению (3.7). Альтернативная запись системы уравнений (3.6), сформулированных относительно скоростей в отсчетной конфигурации, Ф Р +'рГ=О й = ц* Т=Р Х=Т* Р = Фц в Ъ' на Я„, о на оз|., в ор. 3.2.
Вариациенные принципы .УВ(1, ч, БО) гн (1Е(1) — рГ ч) <Л~" — БО: (1 — Яч ) <1е"— $* чу — $. (ч — ч*)ЫЯ. (3.13) Ст.(БТ +,.~~ )+ Г=В ч= ч* вр; на а~ на Ят, Ф: — н (я +Б чч) =к* 1 й = — ~( чч + ч ч ) 2 т, АИ'(е1) 4<1 (3.14) вЪ; вК Система (3.14) соответствует вариационному уравнению 1 ~— = /[,е'ее'; —.:~е ч ~ — р~ ]е'— 2 ~.е: (а '~ч ~ч ~~ив 2 — а* ° ч ЫЯ вЂ” Ф (ч — ч") ~Ы. (3.15) Кроме того, в этой же конфигурации система уравнений (3.12) может иметь следующую альтернативную форму: 116 Глава 3. Слабые формы уравнений лвиженна ...
Приведем еще одну альтернативную запись системы уравне- ний (3.12) в текущей конфигурации: '17 (ел+в 'Чч — с1 в — в с1)+р1'= О в К ч = ч* на Я„, $ = и (в~+в чч — с1 в — в.с1) = Ф' на Ят, (3.16) 1 с1 = — (зуч+ зуч ) 2 л 118(с1) Ыс1 Система (3.16) соответствует вариационному уравнению Ин =О, вЪ; где .т„(е .")=1 [в~а)-'.(а е)+ + — в: (туч ° 'Чч ) — р1' ° ч[ ИЪ' — / в: [с1 — — ("Рч+ туч )~ (Л1— 2 г — $* чу — Ф (» — ч*)Ж (3.17) зт Яи Все эти вариационные формулировки теоретически эквивалентны друг другу, и каждую из них удобнее принимать в зависимости от вида используемых определяющих соотношений.
Аналогичные вариационные принципы предложены в [88], но сформулированы они относительно приращений, а не скоростей. Отметим, что представленные в настоящем разделе формулировки обобщенного вариационного принципа, данные относительно скоростей, являются аналогом вариационного принципа Ху — Васидзу [67, 119) в нелинейной теории упругости. Настоящие же вариационные формулировки можно использовать как для упругих, так и для упругопластических тел при произвольной величине деформаций. Сопряженные вариационные формулировки приведены в [98), где определяющие соотношения даны в обращенном виде, т.
е. скорости деформаций выражены через скорости напряжений. Сопряженные вариационные формулировки являются аналогом вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера [67, 119) 3.2. Вариационные принципы 117 в нелинейной теории упругости. Рассмотренный вариационный принцип может служить эффективным инструментом для применения МКЭ, так как здесь независимо варьируются как скорости перемещений, так и скорости деформаций и напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
