1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3.2.2. Вариационный принцип Хилла Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций (47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений ц принимают заданные значения на границе ОЯ„, т. е.
выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3,8). Предположим также, что материальная производная первою тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.
с. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее: оо1н = б, (3.18) где о1В(и)— : 1оЕ(17п) — орЕ - и! доЪ' — Т*. и НоЯ. (3.19) ог овт Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.6) являются уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями вариационного уравнения (3.18). При этом предполагаются выполненными определяющие соотношения ИоЬ(Фп) (3.20) 1 зтпт Выражения функции оЕ для некоторых упругих и упругопластических материалов приведены в гл.
2. 118 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ... Решение й системы (3.6) поставляет стационарное значение функционалу (3.19), равное [47] оХк(й) = — Т ° п*е(~Я вЂ” Т*. йИ~Я вЂ” р1 йо(о$', 2[ 1 ае оет о1 (3. 21) Это истинное решение необязательно единственное. Но при выполнении достаточного критерия единственности решения системы (3.6) (гл. 4) стационарное значение функционала оХе(й) минимальное [47).
При аналогичных наложениях ограничений на варьируемые параметры в функционале (3.11), вариационное уравнение (3.10) преобразуется к виду (3.22) боХи = О, где 1 ,г~(И=-Х [,в(в)~--е:(ея вяз-',1 я[~'~- 2 ор Т" ц И~Я. (3.23) оет Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.9) при выполнении кинематических связей и определяющих соотношений (четвертая и пятая формулы (3.9)) соответствуют вариационному уравнению (3.22).
Стационарное значение функционала дается формулой (3.21). Это значение минимально при выполнении достаточного критерия единственности решения задачи (3.9). Отметим, что функционалы (3.19) и (3.23) эквивалентны вследствие связи потенциальных функций (2.38). Пользуясь (2.39), (2.40), приведем компонентную запись функционала (3.23) в декартовой системе отсчета: ГГ1 1 - . о .1 о оХи (и1) =11 ~-ойфзнЕОЕй1+ -Вбиейий[1 — рАи [~Х 1'"— О1 (3.24) озт 119 3.2. Вприпеиоппые припаяны Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). Аналогично получаем выражения функционалов вариационного принципа Хилла в текущей конфигурации.
Вариационное уравнение принимает вид И=О, (3.25) где в качестве функционала 1 можно использовать одно из трех альтернативных выражений: 1Дч) гн [гЖ((уч) — рГ ч) гйт — Ф' ч гБ, 8т 1 г~г г— = 1 [,пгагг —:(ч ч з — рг [а — 1г' гг, 2 (3,26) 1 г, г г = 1' [,егег — '. ге ег + - '. (ч ч г - гг [ гг— 2 е* чдя. Эти функционалы получаются соответственно из функционалов (3.13), (3.15), (3,17). Они все эквивалентны вследствие связей потенциалов (2.48), (2.53), (2.54).
Истинное решение Ф поставляет стационарное значение функционалу 1 [47)г 1(ч) = — С ч" г1Я вЂ” Ф* ч гБ — р1'. чгЬ' . (3.27) 21,/ Яе пт и При выполнении достаточного критерия единственности решения задач (3.12), (3.14) или (3.16) (гл. 4) значение функционала (3.27) минимальное. 3.2. Вариапионные принпипы 121 Этому вариационному уравнению соответствуют уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.9).
При этом используются определяющие соотношения (2.98) с учетом кинематических связей, представленных четвертой формулой (3.9). Вариационное уравнение (3.29) можно использовать при условии малой деформации тел (но, возможно, больших перемещений и поворотов). При произвольной величине деформаций тел из термоупругопластического материала с учетом деформаций ползучести рассмотрим уравнения, сформулированные в текущей конфигурации. Вариацианное уравнение [117] ЮХ вЂ” 0 (3.30) получается из (3.25) и третьей формулы (3.26) с учетом (2.103). Здесь д '( )= ГИ1: ае': — - ':( '+ '")- ,/ ~2 2 ог Вариационному уравнению (3.30) соответствуют уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.16).
При этом предполагаются выполненными кинематические соотношения, представленные четвертой формулой (3.16). 3.2.4. Модификации вариационных формулировок при действии потенциальных внешних сил Выше рассматривались статические граничные условия, сформулированные относительно скоростей, в которых векторы Т* или е* предполагались заданными (заданные внешние силы). В этот класс не входят следящие внешние силы — силы, зависящие от текущей геометрии тела.
В общем случае при действии следящих внешних сил вариационные принципы не формулируются. Тем не менее существует подкласс следящих внешних сил, допускающий вариационную формулировку уравнений: консервативные внеишие силы. Этот подкласс вводится ниже. Рассмотрим статические граничные условия, сформулированные относительно скоростей в текущей конфигурации: к: — и вп = во. и = $*+ Ь(т) на Ят.
(3.31) 122 Глава 3. Слабые формы уравнений движении ... (3.33) при условии Л13м = -Лау', йб = И', где пч — компоненты вектора единичной внешней нормали к поверхности Вт. Тогда е/~(е,) = — Ьу(ст) о . 1 К классу внешних сил вида (3.31), (3.32) принадлежит гидро- статическое давление р. В этом случае на границе Бт компоненты скорости вехтора напряжений Коши имеют вид [8Ц Ф; = — ри; — р(и; 17ае — пь~7гп ).
(3.34) Вектор Ф с ковариантными компонентами (3.34) можно представить в виде (3.31), где в* = — рп, а контравариантные компоненты вектора Ь имеют вид (3.33), где йи = б, Лча' = -р(дед ' — д"д ). Напомним, что д'~ — контравариантные компоненты метрического тензора в пространственном базисе. Граничные условия для гидростатического давления допускают запись с потенпиалом 1 Ф(ст) = — — р(пЛьи — па~7;о~)е'.
2 Пля того, чтобы модифипировать рассмотренные выше функционалы для случая действия консервативных нагрузок вида (3.31), (3.32), надо во всех этих функдионалах, записанных Предполагается, что скорость вектора напряжений Коши Ф на границе Зт представлена в виде суммы заданного вектора Ф' и такого вектора Ь, что Ь(т) = — с~ Юер(ч) = Ь Юн.
пер(ч) (3.32) Й~ Здесь потенциальная функция Ф(ч) предполагается достаточно гладкой. Класс векторов скоростей внешних сил Ь, допускаюших запись (3.32) с однородной потенциальной функцией второй степени ер(н), выделен в [81]. Пусть вектор Ь имеет следующие представления контравариантных компонент: Ьу = йб сч + кч Лгбм ~7аеЛ 123 3.2. Вариационные принципы в текущей конфигурации, сделать замену зт Бт Таким образом, консервативные нагрузки ~вхлючаюгцие гидростатическое давление) позволяют рассмотреть вариационную формулировку уравнений и, как следствие, получить симметричную касательную матрицу жесткости при решении методом конечных элементов задач с произвольной величиной деформаций. Глава 4 ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ И КОНТАКТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ В гл. 1 — 3 представлены основные уравнения, описывающие нелинейное деформирование твердых тел.
В некоторых задачах нелинейность деформирования проявляется в наибольшей степени, так что при малых изменениях внешних сил или заданных перемещений происходит значительное изменение напряженно- деформированного состояния тел. Таковыми являются задачи о потере устойчивости и хонтактных взаимодействиях деформируемых тел. В настоящей главе дается постановка и рассматриваются общие уравнения этих задач. Подчеркнем, что уравнения, описывающие потерю устойчивости и контактные взаимодействия деформируемых тел, не вводятся как новые уравнения, дополняющие представленные в гл. 1 — 3, а логически вытекают из общих уравнений.
Так, например, потеря устойчивости тел связывается с особыми точхами решения общих нелинейных уравнений, а уравнения для решения контактных задач получаются добавлением некоторых ограничений на неизвестные в общих нелинейных уравнениях. Уравнения, описывающие нелинейное деформирование тел, можно формулировать в отсчетной или текущей конфигурациях.
В настоящей главе в формулировках задач о потере устойчивости тел для определенности используется отсчетная конфигурация. Но все сделанные выводы и заключения остаются справедливыми и для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. 4.1. Критические состояния тел 125 4.1. Критические состояния тел в Ор' на ~Е„, на Вт, Ьп=О ЬР И=О (4.1) где (см. (2.34)) Р=оч.:Фп. (4.2) Тензор ок. обладает главной симметрией, и определяющие соотношения (4.2) допускают потенциальную запись вида (3.20).
Следуя [47[, вводим лцнейиые 1лела такие, что тензор оч. представляется в виде о~ = оС~.(Р,Р), и нелинейные 1лела такие, что тензор сч. имеет вид о~ = о~(Р, Р, Р, Р) (4.3) Лля линейных тел с тензором определяющих соотношений о~с потенциальны функция оЕ, определяемая по формуле (2.37),— Рассмотрим общие положения теории единственности и устойчивости решений задач по деформированию твердых тел, развитые в [5, 20-22, 24, 37, 47, 56, 65, 73, 75, 78, 79, 81, 84, 110). 4.1.1.
Бифуркации решений краевой задачи и собственные состояния Рассмотрим квазистатическое деформирование упругих и упругопластичесхих тел. Критическим значением параметра деформирования, соответствующим бифуркации (веглеленик1) ре1лений, называется такое значение, когда для соответствующей этому параметру равновесной конфигурации существует два (или более) решения задачи (3.6). Пусть для некоторого момента времени существует два решения задачи (3.6): и', п2; Р1, Р2 и т.
д. Разность этих решений, представленных относительно скоростей, обозначим через Ь, например: Ли= и — и — 1 2 где индекс соответствует номеру продолжения решения. Лля разности решений задачи (3.6) можно записать следующие уравнения и граничные условия: Ф.ЬР =0 12б Глава 4. Потеря устойчивости ... квадратичная форма компонент материальной производной тензора градиента деформапии (далее обозначается как оЕй), а для нелинейных тел оŠ— однородная функция второй степени. К линейным телам принадлежат тела из упругих материалов, а к нелинейным телам — тела из упругопластических материалов (вследствие учета условий нагрузки нли разгрузки материальных частиц).
Сформулируем следующую задачу. Задача по определению бифуркации. Требуется определить такие критические значения парамегпра деформирования Ф, при которых задача (4.1), (4.2) имеет нетривиальные решения. Рассмотрим также задачу по определению собственных состояний (полей) — нетривиальных решений системы однородных уравнений, образованных из уравнений (З.б): зу.р =О в )г, 6=0 на Я„, (4.4) Р И=О на~Ят. Привлекал определяющие соотношения (4.2), сформулируем ее следующим образом. Задача по определению собственных состояний. Требуется определить такие критические значения параметра де; формирования Ф, при которых задача (4.4), (4.2) имеет нетривиальные решения. Примеры критических нагрузок собственных состояний приведены на рисунке: бифуркационная нагрузка Рьй при упругом деформировании (см.
раздел 4.2) — на рис. 4.1,а; максимальная нагрузка Ры„— на рис. 4.1,б; минимальнвл нагрузка Р1, — на рис. 4.1,а,б1. 4.1.2. Потеря устойчивости Выделим критические состояния тел, исследуя решении систем уравнений на устойчивость. Под рстобчивосгпыо решений уравнений понимается способность сохранять возмущенные гМаксимальнал и минимальнал нагрузки при изображении равновесных конфигураций кривыми в пространстве «характерное перемещение — нагрузка» соответствуют точкам поворота. 127 4.1. Критические состокник тел Р Р„ писаная) р иа йио Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
