1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нагрузка Л, называется касаглельно-модульной нагрузкой или нагрузкой Шелли. Таким образом, для определения критической нагрузки потери устойчивости квазистатических движений упругопластического тела достаточно определить касательно-модульную нагрузку Л„которая является нагрузкой собственного состояния для линейного тела сравнения. Нагрузка собственного состояния Л„ю отвечаюшвд за смену устойчивых и неустойчивых равновесных конфигураций для нелинейных тел из упругопластических материалов, называется нриведгнно-модульной нагрузкой или нагрузкой Энгессера— Кармана, Принимая критерий равноактивной бифуркации, неравенство в условии теоремы 5 можно заменить более простым; Л, ( Л„.
4.3.3. Сравнение критических нагрузок для различных теорий упругопластичности Из решения ряда задач по выпучиванию конструкций из упругопластического материала с однородным докритическим состоянием известно (6, 12, 24, 84), что касательно-модульные нагрузки, полученные по деформадионной теории пластичности, оказываются меньше соответствуюших нагрузок, полученных по теории пластического течения. Покажем, что такое соотношение имеет место для достаточно широкого класса задач.
Такое игнорирование предполвгвется только для определения возможности нврушения условий (4.9) или (4.10). При решении звдвчи (4.12), (4.2), (4.7) замена (2.81) нв (4.32) не проводится. зо Твквя связь критических нагрузок получвется, в частности, в решении звлвчи о потере устойчивости стойки [84]. 14б Глава 4. Потеря устойчивости ... Рассмотрим две теории пластического течения, описывающие деформирование тела из упругопластического материала: с гладкой поверхностью текучести и с поверхностью текучести, имеющей угловую точку (см. б 2.2.1).
Для каждого из нелинейных тел с приведенными вьппе определяющими соотношениями обра- -Н зуем два линейных тела сравнения с тензорами оСь и о<гь. Эти тензоры получаются с помощью тензоров определяющих соотношений теории пластического течения (с гладкой поверхностью текучести) и деформационной теории пластичности при игнорировании условий разгрузки окрестностей материальных точек, в которых выполнено равенство .7з = .7з~~. В силу такого соответствия далее в этом параграфе, для краткости, теорию пластического течения с гладкой поверхностью текучести будем называть теорией пластического течения, а теорию пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести — - деформационной теорией пластичности.
Определим явные выражения потенциальных функций оЕ~ ~и оЕ~ ~для обеих теорий. Из (2.40) в декартовой системе отсчета получаем ,Е, =,И', + -ЕП й„~; й„~, (4.33) где ай'. = — ЕдоС1 ь Ец ой'ь =-Е1уоС1 ц Ец (4 34) 2 Приведем выражения для компонент тензоров б~с и о~с, которые зависят от состояния материальной частицы: ° прн .7з < .7з~~ (упругое деформирование) оС1-ц = оСцы = — ~ — (беь б71 + бп бзь) + бц бц~, (4 35) ° при,7з = .7злв* (пластическое деформирование) ~С1 ц = — ~-(боь б71 + бп бб~) + б1. бц— 1+и 2 ' ' 1 — 2и ~ 1+и+2с77з~' 36) Е ~1 Зи+д (4 ос17ц = 1 ~2(бц,бу1 + бпбуь) + б;б бц— 1+ р+дс2 3(1 — 2р) д'Я Ец 1+ р+ д+ 2д',7г1 4.3.
Связь критических нагрузок 147 Пусть известна некоторая последовательность равновесных конфигураций, соответствующая монотонно возрастающему значению параметра Л и характеризуемая полем вектора перемещений п(Л) и полем второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Я(Л). Эта последовательность конфигураций может быть получена, например, решением задачи (4.12), (4.2), (4.7) с использованием теории пластического течения с изотропным упрочнением материала с гладкой поверхностью текучести. Кроме того, для некоторых задач с однородным докритическим состоянием (основное решение) можно пренебречь изменением геометрии тела в основном решении (п(Л) = 0), а компоненты тензора напряжений Я(Л) получать непосредственно из условий равновесия тель через известные внешние силы. Кроме того, в условиях пропорционального нагружения окрестностей материальных точек тела получаются совпадающие решения задач по теории пластического течения и по деформационной теории пластичности, приводящие к некоторой известной последовательности равновесных конфигураций.
Обозначим через Л, и Л, касательно-модульные нагрузки, полу- / в чснные по теории пластического течения и деформационной теории пластичности соответственно. Тогда справедлива следующая теорема (32]. Теорема 7. Дая заданной последовательности равнов есных конфигураций тела иэ упругоплас1пического материала, соответствующей монотонно возрастающему параметру А, справедливо соотношение касагпельно-модульных нагрузок: Л~~ ( Л~7. ДокА3АтельстВО.
При достижении собственного состояния для собственного поля чк выполняется равенство (4.11). Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что при наличии пластических деформаций хотя бы в некоторых участках тела (4.37) для всех кинематически возможных полей скоростей вектора перемещений и, отличных от тождественного нуля. Здесь о7егя(п) = оЕЬ(хрц) а У о1е1о(п) ив г оЕь(Фп) Н У'.
оь о~ Для заданной последовательности равновесных конфигураций последние слагаемые в правых частях потенциалов оЕ и о.Р~~ Глава 4. Потеря устайчивости .. 148 2(1 + и) 1 1 2и 1+ и+ Ы,Уг~ (4.40) Е 3 + дР(Я! с )г 2(1+ю +д)1 и ~ 3(1 — 2и) 1+и+9+2д'.Уг1' Из (4.39), (4.40) получаем: эпри УгС Уг ойь ойь 0> 4 (4.41) ° при Уг = Уг ой в — 0%, = (ой 1 + ой'г); 2(1 + и)(1 + и + д) (4.42) ой'1 — = Еп+Е„+Ез,— -(Ен) 'г 'г 'г 1 ' г (%Е11) 2Уг ойг вз 2(Е1г + Е1з + Егз) Пусть г; = Еп (не суммировать по 4). В этих обозначениях квадратичная форма ой~1 переписывается в виде ой'1 = А;уг;яу, (4.43) в (4.33) совпадают, поэтому оУе1я — оУе";я —— [ойь(Е) — ойг,(Е)) с(~К (4.38) ор Для упропгения доказательства в каждой точке области о1' вместо базисных векторов декартовой системы отсчета используем тройку ортонормапьных базисных векторов, направленных вдоль главных осей второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Я.
Долее предполагаем, что компоненты всех тензоров определяются в этом базисе, так что Я1г = 81з = Ягз = О. Подставляя (4.35), (4.36) в (4.34), получаем: ° при Уг < У~ее Е 1 ° и ойу, = ой'ь = ) ~ЕП Ец+ (Еп) ~~ (4 39) ° при,Уг =,Уг"ае ,11сч Е, 1г 149 4.4. Потеря устойчивости тел в условиях ползучести где 2 (©2 1 ЯЯ, — и А А — и м 3 212 ' ~ л 3 212 (4 14 2; не суммировать по 4 и 2). Можно показать, что А11 > О, А22 > О, Азз > О, АиА22 — А,2 — — АПАзз — Агз — — А22Азз — Азз — — с1е1[А;;) = О.
2 2 2 Таким образом, все главные миноры матрицы [А; ) неотрицатель- ны, откуда следует, что квадратичная форма (4.43) неотрица- тельна. Так как квадратичная форма ой'2 положительно определена, квадратичная форма оИ'1 нЕотРицательна и Е > О, д > О, о > — 1, из (4.41), (4.42) следует, что во всех точках области вГ для всех кинематически возможных полей скоростей вектора перемещений выполнено неравенство ей~~ — вИ'ь > О. (4.44) В тех участках тела, где происходит пластическое деформирование (д2 = 12 Я*), неравенство (4.44) превращается в строгое для всех кинематически возможных полей скоростей перемещений, отличных от тождественного нуля.
Тогда из (4.38) следует неравенство (4.37). Рассмотрим такие квазистатические движения, потеря устойчивости которых происходит при достижении касательно- модульной нагрузкиз' Ле < Л„я. В таких предположениях, соблюдаемых, по-видимому, во всех известных решенных задачах по выпучиванию тел из упругопластических материалов, и при выполнении условий теоремы 7 следует, что критическая нагрузка потери устойчивости кваэистатического движения, предсказанная теорией пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести, меньше соответствуюи1ей критической нагрузки„полученной с польои4ью теории пластического течения с гладкой поверхностью текучести. 21 То есть предполагается, что бифуркация решений является не только достаточным (см.
теорему 1 в 44.2.2), но и необходимым критерием потери устойчивости квазистатических движений. Глава 4. Потеря устойчивости ... 150 4.4. Потеря устойчивости тел в условиях ползучести Подхоцы к исследованию единственности и устойчивости тел из термоупругопластических материалов с учетом деформаций ползучести аналогичны тем, которые использовались для материалов с определяющими соотношениями вида (4.2); следует лишь потенциальную функцию 0Я, образуемую с помощью (2.33), (2.38), заменить потенциальной функцией (2.100). При такой замене все представленные в разделах 4.2, 4.3 критерии потери устойчивости равновесных состояний и квазистатических движений остаются справедливыми и для рассматриваемой модели материала.
Требуется сделать замечание в связи с устойчивостью квази- статических движений тел при постоянных внешних силах": параметр Л остается неизменным (Л = О). При развитии начальных несовершенств формально устойчивые квазистатические движения на практике могут приводить к быстрому (экспоненциальному) росту несовершенств при достижении некоторого критического значения времени 1ст, и этот рост зависит от амплитуды несовершенства. Поэтому при исследовании движений идеальных тел при постоянных внешних силах необходимо также проанализировать развитие некоторых типов начальных неправильностей, с тем чтобы установить исчерпание несущей способности тела в практическом смысле. Такой подход к определению устойчивости деформируемых тел, находящихся в состоянии ползучести при действии постоянных внешних сил, предложен в [15, 34, 41].
В этом случае можно выделить критические значения времени дополнительно к тем, которые получаются при стандартных исследованиях единственности и устойчивости, аналогичных проведенным в разделах 4.2 и 4.3. Определение 1езч соответствующего моменту времени исчерпания несущей способности в практическом смысле, использовалось в [48) для определения влияния температуры на критическое время потери устойчивости сжатого стержня. з'Если при этом компоненты тензоров напрюкений и скоростей пеформапий ползучести постоянны во всех точках тела, то такое леформирование называется установившейся ползучестью тела.
4.5. Формулировки контактных задач 4.5. Формулировки контактных задач 4.5.1. Постановка контактной задачи Пусть имеется два тела — В' и Вг (рис. 4.4,а ). Пусть в результате приложения заданных нагрузок или перемещений зти тела входят в контакт друг с другом. Это означает, что они имеют общую границу дВ„на которой выполнены условия непроникания одного тела в другое (рис.
4.4,б), т. е. д=(х — х') п>0, (4.45) где х' и хг — радиусы-векторы материальных точек тел В' и Вг в текущей конфигурации; и — единичный вектор нормали к контактной поверхности. Величина д называется норгнальныги зазором между телами. При контакте тел на границе контакта в (4.45) выполняется равенство, а при расхождении тел — неравенство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
