1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вг а Вг Рг Граница Вг Рг Вг Рг Ряс. 4.4. Схема контакта двух тел: а — тела ло контакта; б — вхожлеиие тел в контакт; в — действие контактных сил 152 Глава 4. Потеря устойчивости ... На границе контакта возникают сжимающие распределенные контактные нормальные силы Ф„: †о п, (4.46) где $ — вектор распределенных контактных сил, и — внешняя нормаль к границе тела.
Равенство в (4.46) выполняется в случае выхода тел из контакта, а неравенство — при нахождении в контакте. Таким образом, контактные нормальные силы могут быть только сжимающими. В то же время распределенные контактные касательные силы 1~ эв С ° т (т — - вектор, касательный к контактной границе) могут быть как положительными, так и отрицательными. Эти силы должны подчиняться некоторому закону трения.
Используем закон трения Кулона. Пусть пз ) )0 обозначает статический коэффициент трения, а аа ~ 0 — динамический коэффициент трения (р, > рл). Пусть в решении некоторой задачи получено значение касательной контактной силы 4ь В соответствии с законом трения Кулона предполагаем, что между контактирующими частицами тел нет относительного движения до тех пор, пока выполняется неравенство М <р.М (4. 47) Относительное движение контактирующих частиц начинается только в том случае, если нарушается неравенство (4.47), т.
е. касательные контактные силы должны достигнуть некоторой величины. В процессе же относительного движения касательные контактные силы подчиняются равенству М =Р4М. (4.48) Относительное движение контактирующих частиц продолжается до тех пор, пока не будет выполнено неравенство Ц < Длио1 Относительного движения контактирующих частиц не будет до тех пор, пока вновь не перестанет выполняться неравенство (4.47). Таким образом, контактная задача представляет собой формулировку уравнений для движения двух тел с наложенными кинематическими (4.45) и статическими (4.46) ограничениями на их движения друг относительно друга. Существует два наиболее известных метода решения задач с ограничениями: метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций.
Суть решения 1зз 4.5. Формулировки ковтактвмк калач контактных задач заключается в том, что к стандартному уравнению принципа возможных перемещений добавляются ограничения в виде потенциалов контактных сил 1У„которые формулируются либо на основе метода множителей Лагранжа, либо на основе метода штрафных функций. 4.5.2. Формулировка контактной задачи с помощью метода множителей Лагранжа Основная идея решения контактных задач методом множителей Лагранжа состоит в том, чтобы к стандартному уравнению принципа возможных перемещений, примененному к двум независимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал контактных сил вида «69, 82, 92) Ь'с = — С ° (х — х ) 0с, (4.49) с где с — поверхность контакта между телами В и В, С вЂ” век- 1 я тор поверхностных контактных сил, действующих на с.
Лля того, чтобы достигнуть совместности на поверхности контакта с, надо полагать С независимой величиной, т. е. вектор контактных сил играет роль множителя Лагранжа. Метод множителей Лагранжа приводит к введению в формулировку задачи новых неизвестных величин — множителей Лагранжа. 4.5.3. Формулировка контактной задачи с помощью метода штрафных функций Основная идея решения контактных задач методом штрафных функций состоит в том, чтобы к стандартному уравнению принципа возможных перемещений, примененному к двум независимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал контактных сил вида ~69, 85, 86, 92, 102, 114) (4.50) Здесь д„: — п.1х — х ) > 0 — нормальный перехлест (взаимное проникновение по нормали и к границе с) контактирующих частиц, д~=т ° (х — х) 154 Глава 4.
Потери устойчивости ... — касательный перехлест, т — единичный касательный вектор к границе с, м„> О и ов > Π— нормальный и касательный параметры штрафа, так что и„-+ оо =~ д„-+ О; ол -+ оо =~ д~ -+ О. Отметим, что второй член в падынтегральном выражении в (4.50) учитывается только в случае прилипания контактирующих тел, т. е. в случае выполнения неравенства (4.47).
Применение метода штрафных функций к решению контактных задач равносильно введению фиктивных пружин на границе контакта, которые предохраняют контактирующие тела от взаимного проникновения. Глава б ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 5.1. Векторно-матричная запись слабых форм уравнений и функционалов вариационных принципов 5.1.1. Основные обозначения Основой применения МКЭ являются слабые формы уравнений и вариационные принципы, рассмотренные в гл.
3. Слабые и вариационные формулировки, приведенные в этой главе, прямо использовать для формирования системы алгебраических уравнений нельзя. Требуется сделать ряд преобразований исходных уравнений. Рассмотрим тело, которое деформируется под действием некоторой системы заданных нагрузок. В начальный момент времени 1 = О тело занимает область оЪ', в некоторый фиксированный момент времени 1 — область ~Ъ', а в некоторый следуюший момент времени г+ сзг — область '+а1$' (рис. 5.1).
Обычно шаг по времени Ь1 выбирается небольшим. Примем правило расположения левых индексов, следуя [491: нижний индекс обозначает отсчетную конфигурацию для некоторой величины, а верхний индекс — тот момент времени, в который она рассматривается1. Например, +~~Я; суть компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в момент ~для компонент вектора перемешений, который определяется формулой (1.9), левый нижний индекс используем только при неоднозначной трактовке отсчетной конфигурапии.
5.1. Векторно-матричнап завись ... / / / г ех Рис. 5.1. Начальная и деформированные конфигурации тела 188 Глава 8. Йискретные уравнения движения времени 4 + ь1г, когда отсчетной конфигурацией предполагается начальная конфигурация в момент времени 4 = 0 (Т1.-подход к формулировке уравнений, см. 8 1.2.2), а '+~,'о; обозначают компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в момент времени $+ ь1к, но в качестве отсчетной предполагается конфигурадия в момент времени 4 (1Л подход к формулировке уравнений, см.
8 1.2.2). В том случае, если верхний и нижний левые индексы совпадают, нижний индекс опускается. Например, 'в; обозначают компоненты тензора напряжений Коши в момент времени Ь для которого отсчетной является конфигурация в тот же момент времени 1 (т. е. 'в;: — ,'в; ). Отсутствие левого верхнего индекса у некоторой величины обозначает ее приращение с момента времени 1 до момента времени 4+ Ы, например, и = '+~'и — 'и обозначает приращение вектора перемещений. В 8 1.2.2 введены понятия Т1 - и БЬ-подходов к описанию процесса деформирования. Формулировки уравнений, соответствующие этим подходам, назовем общей,яагранжевой формулировкой ('П/формулировкой) и текущей лагранжевой формулировкой (1Л формулировкой). Если для Ш формулировки используются определяющие соотношения вида (2.45), (2.90) или (2.101) с производной Хилла от тензора напряжений Коши (производной Яуманна от тензора напряжений Кирхгофа, когда в качестве отсчетной используется текущая конфигурация), то формулировку уравнений для этого специального случая назовем ПЬд (пров~ос] Ьаятапя[ап дашпапп) формулировкойз.
В качестве системы отсчета используем декартову систему координат, в этом случае коваривлтные и контравариантные компоненты тензоров совпадают. Поэтому для обозначения компонент тензоров оставляем только нижние индексы. 5.1.2. Общая лагранжева формулировка Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений движения) для Т1 формулировки выражается равенством (3.3).
Компонентная запись этого уравнения, рассматриваемого в мо- Используемая здесь ОЫ-формулировка отличается от формулировки с тем же названием в [49]. В питируемой райоте для БЬЗ-формулировки в определяюшик соотношениях используется производная Яуманна от тенюря напряжений Коши. 5.1. Векторно-матричная запись ... (5.2) (5.5) з Эти обозначения частных производных совпадают с обозначениями, принятыми в (1.16), но здесь в цепях унификации принимается х, и Хо мент времени С+ сзс, имеет следующий вид; | с+сзс~ 5с+асВ,161, с-с.асд (5.1) осг Здесь и далее правые нижние индексы пробегают значения 1, 2, 3. Выражение для виртуальной работы внешних сил с+~ссз приводится ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
