1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д юс (5.40) д тг Компоненты тензора скорости деформаций в соответствии с (1.29), (5.40) записываются в виде 1 с(су = -(ос с+ ойс). (5.41) С помощью обозначений (5.33), (5.39)-(5.41) первый функционал в (3.28) принимает вид 1сг = — с1~ СсЫ~У+ — зсз ~взсдсС У вЂ” сЛ, (5.42) ск ск 168 Глава 3, Дискретные уравнения движения 5.1.4. Текущая лагранжева формулировка с производной тензора напряжений Коши по Хиллу в определяющих соотношениях Отличие УЫ-формулировки от БЕ-формулировки состоит в том, что в определяющих соотношениях вида (5.44) вместо производной Трусделла используется производная Хилла от тензора напряжений Коши. Равенство (5.29) для линеаризованного уравнения принципа возможных перемещений получается при использовании определяющих соотношений (5.31). В силу (5.35) эквивалентны запись определяющих соотношений (5.31) имеет следующий вид: 2У ст сяо.
= '-сзьс сеы. Рассмотрим инкрементальный аналог определяющих соотношений (2.45): свсУ = есуссссеы, и (5,45) где сви — инкрементальный аналог компонент производной Хилла от тензора напряжений Коши. Пользуясь инкрементальным аналогом связи производных Трусделла и Хилла (1.96) и определяющими соотношениями (5.45), из (5.29) получаем линеаризованное уравнение принципа возможных перемещений для ПЕЛ-формулировки: с Есуьссеасдсессс( У+ ( всуе(стасу — сесьсеьа)с1 Ъ~= | с 11 с сц = с+~сЯ вЂ” 'вс 5сесу сс'К (5А6) сс Это равенство отличается от (5.29) наличием подчеркнутого члена. Введем вектор ся = 11311~ 13221 свзз~ 13121 1313~ 1323] и и и н н н нт (5.47) Определяющие соотношения (5.45) запишем в виде свн ='Ссе, (5.48) где элементы матрицм сС составлены из компонент тензора определяющих соотношений с~суас, 6.1.
Веаторио-матричиаа запись .... 169 Введем вектор се = (се11, сесг, сесз, сегс, сею, сегз, сезд, сезг, сезз]~ (5 49) Непосредственной проверкой можно убедиться, что подчеркнутый член в (5.46) преобразуется с помощью обозначений (5.33) и (5.49) к виду сзз'5(сесясеву) = 26се 'все. (5.50) Пользуясь обозначениями (5.33), (5.49) и равенствами (5.48), (5.50), уравнение (5.46) перепишем в виде 5се 'Ссесс'У+ [Бсп~~'йспя — 26се 'ясе сс'У = ссс ссс с+схсВ 5 отсяссс1, (5.51) с Сс Рассмотрим вариационное уравнение (3.25) со вторым функционалом в (3.28). В векторно-матричном виде определяющие соотношения (2.45) записываются следующим образом: ян с~1 где матрица 'С та же самы, что и в соотношениях (5.48), вектор с1 определяется первой формулой (5.39), а вектор вн имеет вид ан (зн и н и и н)т Введем вектор Сс = (О11з Сзсг) Сс13> Ог1~ С(ггз Ссгг~ Сс31~ ОЗг~ ОЗЗ) С помощью обозначений, введенных выше, второй функционал в (3.28) перепишем в виде 1н = — сГтсСс)с(сУ+ ~-зст вч — сГт'вс1» Ы'У вЂ” сВ.
(5.52) ст си Здесь,В имеет вид (5.43). 5.1.5. Геометрически линейная срормулировка В некоторых задачах можно пренебречь изменением геометрии тела в процессе деформирования, т. е. геометрическую нелинейность можно не учитывать (МсчО-подход, см. 91.5.5). Однако при использовании нелинейных моделей, материала приходится, Глава 5.
Дискретные уравнения движения 170 тем не менее, решать нелинейные уравнения пошаговым интегрированием. Формулировку уравнений для задач, в которых учитывается только физическая нелинейность, назовем, следуя [49], ееоясетричесии линейной или МХО |тла1етса1 вов1теат ов1у) форясулировкот1. Выражения для компонент линейного тензора деформаций приведены в (1.57), а уравнения движения заданы формулами (1.128). ММО-формулировка уравнений получается при отбрасывании нелинейных членов в уравнениях Т1-формулировки, Лля сокращения записи левый нижний индекс опускается.
Принцип возможных перемещений для МХО-формулировки уравнений записывается в виде равенства с+ассу ет с+~.'ссе,101т с+.!~сД ~су ец Ос Линеаризуя его, имеем | ~обсуссс еы йб И~Ъ' = '+~' — 'осу йб И~1т. (5.53) ос ос Компоненты тензора деформаций Коши сес и их приращения ес выражаются через компоненты тензора градиента перемещения и их прирашенитп осу 2 ( тссб + ~Яа)~ еб 2(~ссу + ~Яс). Компоненты тензора напряжений Коши обозначаются через сстс . Приращения компонент тензора напряжений ос связаны с приращениями компонент тензора деформаций ес определяющими соотношениями с об = обсзясеы.
Введем следующие векторы: и = — [еи> егг езз 2есг 2есз 2егз! с с с с с с с т (5.54) о = [ ст11, стгг, стзз стсг, стсз пгз] . С помощью этих обозначений линеаризованное уравнение принципа возможных перемещений (5.53) записывается в виде ос ест 5.2. Лпскретпзаппя уравпеппй по престрапствеппым ... 171 Функционал о1 для вариационного уравнения бо1= 0 (5.55) получается из функционала о11т (5.24) при отбрасывании нелинейных членов: о1(п) = ~ — е ~оСен~т' — оВ.
/ 2 ог 5.2. Дискретизация уравнений по пространственным переменным ч 'хе(т,в,1) = ~~~ Ь|(т,в,1)'хь, (5.56) 1Ч с+асх1(т в 1) Я Ь„(т в 2) 1+д1 ь к=1 Здесь индексом Й обозначен номер узла (Й = 1, Ь7); М вЂ” число узлов в элементе; Ьь(т, в,1) — интерполяционные полиномы (функции формы). Функции формы Ь|(т, в, 1) можно строить различным образом, но они должны удовлетворять следующим основным требованиям [49, 122): 1Ч Ья(1лз1втп~1т) батл (Ь~тл 11111)~ ~~~ Ья(т~в~~) в=1 В соответствии с понятием изолараметрического конечного элемента [49, 122] смещения материальных точек элемента можно 5.2.1.
Геометрия элемента и его перемещения Рассмотрим восьмиугольный элемент, имеющий Х узлов (на рис. 5,2 представлен элемент с 20 узлами). Пусть т, в, 1— естественные (локальные) координаты элемента (см. рис. 5.2) [49, 122), так что — 1 ( т ( 1, — 1 (~ в ( 1, — 1 ~( 1 ~ ~1. Координаты некоторой материальной частицы элемента в (глобальной) декартовой системе координат можно представить в различные моменты времени выражениями Ж х1(т,в,1) = ~~1 Ьь(т,в,1) х,", в=1 Глана 5.
Лиекретные уравнения движения Рнс. 5.2. Леформнрованне 20-узлового элемента (приведены обозначения ллн узловой точки /с) 5.2. Лиснретизапин ураанений по пространственным ., представить через смещения узловых точек с помощью тех же са- мых интерполяционных полиномов,что и координаты этих точек элемента. Из (5.56) получаем ас с с о ч ссс = хс — х; = у Ь|(г,а,С) ссс, с а а=1 Ж ис ='+ 'хс — 'хс = ~~с Ьь(г,а,с)сс,", Ь=1 (5.57) (5.58) где ссс~ — с-я компонента вектора перемещений узла Й, а сс~ — с'-я компонента вектора приращений перемещений этого же узла.
5.2.2. Общая лаграижева формулировка Введем векторы узловых смещений и приращений узловых смещенвй элемента С~ус СС 1 С 1 С 1 С Се С Ф С ас1т — ~» "з ~1 ~2 "з1 (5.59) = [И1 И2)ССЗ ' ' ' ~ СС1 > СС2 1СС3 ~ Верхний правый индекс е здесь и далее обозначает принадлежность вектора или матрипы рассматриваемому элементу. Найдем компоненты матрицы осВь такой, что ое = оВь |Л'. (5.60) бее = оВъ ЛЛ' (5.61) Введем матрицу оВасс татсую, что опя = еВснь |У'. (5.62) Подставляя второе выражение (5.57) в первое выражение (5.5) и пользуясь обозначениями (5.7), (5.59), можно получить выражения для элементов матрипы есВас1, (приведены в (49)).
Введем матрицу Н такую, что и = Н~Уе. (5.63) Подставляя (5.57) в (5.3) и пользуясь обозначениями (5.7), (5.59), можно получить выражения для элементов матрицы осВг, (приве- дены в [49)). Варьируя выражения в левой и правой частях (5.60), получаем Глава О. Писнретные уравнения движения Из (5.14), (5.59) и (5.57) получаем Усс 0 0 ... 6 ос 0 0 о ь о ... о й о о о й ... о о ь Из (5.63) следует армс у1е дует с+~1с Ве о с = о ъ (5.
65) где ~~~'К~~ = у(1+ ~М) Н Г~ре с(~Ъ' (5.66) ОСсе — вектор объемных сил эле.кента. Из (5.17), (5.63), (5.64) имеем с+~и У ДУ Ме с+~с1У (5 67) где введена симметричная матрица масс элемента Ме Н'Но,,,Уо1, (5.68) 01 е Из (5.20) и (5.64) получаем с+ьс йе дует с+весте о"т = (5.69) где И-Ссс Нег = ) Нт с+Ссс Т* Ы О~ (5.70) о =эс о ат — еекпсор поверхностных сце элемента. Виртуальная работа внешних сил элемента (включая инерционные) с помощью (5.9), (5.65), (5.67), (5.69) записывается в виде с+осре дует(с+сзсНе Ме уе) (5.71) бп = НДУ'. (5.64) Выделим из области ~Ъ' подобласть рассматриваемого элемента о1те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
