1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 29
Текст из файла (страница 29)
190 Глава 6. Процедуры численных решений нллннейных задач Определим приращение вектора неизвестных на итерациях: х(в) с+дс11( ) с+дс1в(с- ц — и приращение вектора несбалансированной нагрузки: (с) сс.дсК(в-1) и-дсК(в) Квазиньютоновы уравнения записываются в виде с+дскб) 6(в) 7(в) ( ) На (с — 1)-й итерации нахснсится приращение вектора перемеще- ний: сват)(с) (с+дсК-1)(1-1) с+два(с — 1) Для ВРСБ квазиньютонова метода матрица (с+дсК ')(с), удовле- творяющая уравнению (6.11), находится по формуле (49, 95] (с+дсК-1)(в) А(в)т сс+дсК-11(1-1) А(в) где матрица А(с) размерностью ЖЕЯ х ИЕЯ (Ф٠— общее число уравнений) имеет следующий вид: А(с) = 1 + зс(с) чя(в) т Здесь 1 — единичная матрица, а векторы зв(') и ис(с) вычисляются через известные величины по формулам (с) ~.
7 ' с+дсК(в-1) х(с) (с) Л(С) т (В), 1СЗ 6(в) т с+дсК(в-ц д(с) (с) = х(с) = х(с).769 6.1. Интегрирование уравнений даюкенна (ранноаеона) 191 с ьс с11 с м11ю сььс1)сгс с+ьс11 Рнс. 6.4. Иллюстрация применения ВРСЯ квазиньютонова метода в одномерной задаче В практических расчетах матрица (с+~сК ')(') в явном виде не вычисляется, а вычисляется вектор ьЛу(с): МХ(с) =]1+ю('-1) и(*'-')т)" ]1+%(') т(1) ]сК-' р + (1) (1) т] р + Ч(с-1) (с-1) т] С+сЗСВ(с-1) Графическая иллюстрация применения Вг'СЯ квазиньютонова метода при решении уравнении с одной степенью свободы приведена на рис.
6.4. В заключение отметим, что для всех итерационных процедур можно использовать линейный поиск 149] для ускорения сходимости. 6.1.4. Критерии сходимости Рассмотрим несколько критериев окончания итерационного процесса [49]. Контролировать сходимость можно одновременно всеми критериями или выборочно некоторыми из них. 192 Глава б. Процедуры численных решений нелинейных задач ° Критерий схсаппсости по перемещениям. Считается, что сходимость достигнута, если выполнено неравенство ~~с+ссс11(с) с+астс(с-1))) 2 ( (6.12 „лс+сссг 1(а) а (6.
2) 0(ь(с где есз > 0 — заранее заданное небольшое число, 9 ))2 — евклидова норма вектора, принадлежасцшо пространству Мв: 92 = Выполнение этого критерия означает, что перемещения на двух последовательных итерациях мало меняются. ° Критерий сходимости по силам. Предполагается, что сходимость итерационного процесса наступила, если )~с+дсВ с+дскб~( -П Мс+сзс11О 1))) < ее.
(6.13) шах Ц В.— асг — М' аЧУЦ2 т=ссС...,с,с+сзс Выполнение этого критерия соответствует тому, что вектор несбалансированных сил становится малым, т, е. внутренние силы почти уравновешивают внешние. ° Критерий сходиаости по энергии. В этом случае критерием сходимости является выполнение следующего неравенства: (с+ссс11(с) с+ссс11(с-1))т (с+ьсВ с+ьср(с-1) М 1+ась(с-1)) »» ее. (с+асгу(1) с+лсгг(а))т(с - ксВ св (6. 14) Выполнение этого критерия означает, что приращение внутренней энергии на итерациях мало по сравнению с начальным приращением энергии (с момента времени 8 до момента времени 1+ с."'сс).
Эффективной проверкой сходимости служит удовлетворение решения одновременно всем критериям. Недостаток критериев (6.12) и (6.13) заключается в том, что в некоторых задачах при вычислении норм векторов ))с+~ссХ(а192 и )(с+сссй(а~))2 могут появиться несовместные размерности (например, при использовании конечного элемента оболочки часть степеней свободы выражается в линейных размерах, а часть — в радианах).
Кроме того, в некоторых задачах выполнение одного из критериев, (6.12) или (6.13), не означает автоматического выполнения другого критерия. Это может случиться, например, при решении задачи о деформировании тела из упругопластического материала с малым 6.2. Матрицы опрелеяяшвшх соотношений 193 параметром упрочнения, когда на итерациях силы почти не меняются, а изменение смещений остается значительным.
То есть неравенство (6.13) может быть выполнено, а сходимость решения еще не достигнута. Этих недостатков лишен критерий (6.14), так как в него одновременно входят и силы, и перемещения. В практических расчетах через несколько итераций после начала процесса надо проверить вычисления на расходимость решения. Проверкой служит выполнение критерия (6.13) или (6.14) с ср = 1 или ек = 1 соответственно. Если этого не происходит (итерационный процесс расходится), надо или уменьшить шаг по времени (параметру деформирования) или воспользоваться другой итерационной процедурой.
6.2. Матрицы определяющих соотношений и опредемние напряжений При определении касательных матриц жесткости элементов в разделе 5.2 не приводился явный вид матриц определяющих соотношений 6С и 'С. Кроме того, остался открытым вопрос вычисления компонент тензора напряжений, с помощью которых определяются элементы матриц и векторов, входящих в уравнения. В настоящем разделе приводятся формулы для определения компонент тензора напряжений и элементов матриц, связывающих приращения вектора напряжений с приращениями вектора деформаций, для различных моделей материала. 6.2.1.
Векторы деформаций, напряжений и их приращения Геометрически линейное леформирование (МНО-форсяулировка) Лля МХО-формулировки в качестве мер деформаций и напряжений используются тензоры деформысий и напряжений Коши. Прирзлсения компонент этих тензоров определяются следующим образом: с+ас с с+ас с осу = се — ео, псу = сгсу — свисс. В дополнение к определенным в (5.54) введем векторы с с с с ~ 611> егг~ 633~ 2 е121 2 6131 2 сгз] (6.15) сг = (сси, сггг, пзз, сгсг, сгсз, пгз! 194 Глава 6.
Процедуры численных решений нелинейных задач Геометрически нелинейное леформирование (Т1.-формулировка) Выражения компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). В обозначениях (5.5) имеем с с, с с 1 ОЕсу = — ( псу+ и р+ ц,~с иед). 2 В Т1 -формулировке в качестве меры напряженного состояния используются компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа осЯс . Приращения компонент тензора деформапий Грина — Лагранжа и второго тензора напряжений Пиола— Кирхгофа записываются в виде С4ПС С С+ЛС С ОЕм = — ОЕсс -ОЕсу ОДсу = одзу — Обхсс. Введем векторы приращений деформаций и напряжений: ОВ = [оЕП, ОЕ22, оЕзз, 20Е12, 2оЬы 20Егз[' ОВ = [ОЕ11) Ооггз 0'ззз~ Оз12~ Оз1зз Озгз) Компоненты тензора (истинных) напряжений Коши сзс можно выразить через компоненты второго тензора напряжений Пио- ла — Кирхгофа осЯсу с помощью компонент тензора градиента деформации по формулам (1.82) с учетом (1.19).
Имеем [49] 'й = (бесоХГ'оХоВ оХ > где матрицы 'й и ~ОБ определены в (5.33) и (5.7), д'*, дх, оХ= с Компоненты матрицы ~ОХ можно определить с помощью компо- нент тензора градиента перемещений Дс,с Д(0 с+с с) — = осу+ ис~ . дох, дох. с д'х, до т2 до., д'тз до., дохг д 'хг дохг д 'хз дох2 дохз д хг дохз д'х, дохз 195 6.2. Матрицы опредепясощих соотношение,. Геометрически нелинейное леформирование (01-формулировка) При формулировке уравнений в текущей конфигурации (в момент времени с) в качестве меры деформации удобно использовать тензор деформаций Альманси. Выражения компонент этого тензора деформаций через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). Запишем эти выражения в обозначениях настоящей части: с 1 с с с с ес = -( ис„с+ ийс — исс с оя ), 2 дсис "со — л с Ху В качестве меры напряжений для 1Л-формулировки удобно использовать тензор (истинных) напряжений Коши с компонентами сзсу.
В дополнение к вектору напряжений сз, определенному в (5.33), введем вектор деформаций с с с с с с с т е — : [ есс, егг, езз, 2 есг, 2 есз 2 егз] . Более сложным является выбор меры приращений деформаций и напряжений. Лево в том, что когда рассматриваются приращения компонент тензоров, они, как в момент времени с, так и в момент времени $ + Ьс, должны относиться к одной и той же конфигурации (88].
Поэтому корректная Ш формулировка уравнений заключается в использовании приращений компонент тензоров сЯсс и сЕеь Нельзя применять в качестве приращений компонент тензора деформаций величины с+~'ес — 'ес, так как они относятся к различным конфигурациям. То же самое касается приращений компонент тензора напряжений Коши с+д'зс — сзс .. Отметим, что компоненты линеаризованной части приращений сЕ0 суть компоненты се;, определяемые первой формулой (5.30). Так как компоненты се; являются инкрементальным аналогом компонент тензора скоростей деформаций 4с, в силу первого равенства в (1.63) имеем се;, = е; ЬФ = с1 у ЬС.
сд 196 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач Из (1.92) и (1.94) получаем' (6.16) Таким образом, се11 — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа |Еб, отнесенною к текущей конфигурации, является инкрементвльным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альманси или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. В дополнение к вектору прирыцений деформаций 1е, определенному в (5.33), введем вектор приращений напряжений Зв = (1Я1, Сотя, СоЗЗ, Зо19, Ф1З~ ФЗЗ] . Геометрически нелинейное деформирование (ЫЗ-формулировка) Для 1Л 3-формулировки используются те же самые меры напряжений и деформаций, что и для Н -формулировки.
Мерой приращений деформаций в определяющих соотношениях (5.48) служит инкрементальный аналог тензора скоростей деформаций с вектором приращения деформаций,е, а вектор приращений напряжений св~, определенный в (5.47), образуется из инкрементальных аналогов се~у компонент производной Хилла от тензора напряжений Коши вну (производной Яуманна от тензора напряжений Кирхгофа): н и 1в, лз вз азу. 6.2.2.
Линейный упругий иэотропный материал Геометрически линейное деформирование (МЙО-формулировка) Определяющие соотношения закона Гука имеют вид (2.9). С помощью обозначений (5.54), (6.15) зти соотношения записываются следующим образом: сг= С е. 'С учетом оцределенив свт" и вт" Ьс формулы (6.16) лредставлкют собой компонентную зались равенства (5.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
