1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поэтому осталось определить приращения пластических деформаций Денс и деформаций ползучести Де; . Пользуясь (2.94) и применяя сс-метод, получаем (О < сс < 1) Деву = Дс 7 сгв3в'в (6.45) где т в (1 )с в + с+взс в вй — Сз вси 11ля определения Дсяу всегда используется значение сс = 1: дг. = дЛ'+ с т' . ву Подставляя (6.45), (6.46) в (6.44), получаем с+ввсгвв (с+вЗссл (1 сс)Д8г7ссвв ] (6 47) ад+ сз~йе7+ ДЛ взв где 1+и аи = —. Е Выделяя девиаторную и шаровую части тензора напряжений, из определяющих соотношений (2.93), (2.94) получаем с+сзс г сс+лс г с+сзс р с+свс 8 в 1+ и' вУ (6.43) с+ссс ~с+сзс с+ос са~ 9.2. Матрицы оцрецеля|ошнх соотношений ...
209 Отметим, что по формуле (6.47) компоненты ' еа'а,' девиатора тензора напряжений определить нельзя, так как величины 'у и ЬЛ неизвестны. В [89] отмечается, что эти величины можно рассматривать как функции эффективного напряжения с+се- — с+а| ~ с+а~, ~ 3 ~11 2 Умножая правую и левую части в (6.47) на самих себя и проводя суммирование по всем индексам, получаем нелинейное уравнение ~(~+~|6) (6.48) Функция в его левой части называется функцией эЯЯективного напряжения.
Уравнение (6.48) можно решить методом бисекции (деления отрезка пополам) и найти значение +~'й. По известному значению эффективного напряжения вычисляются функции ' у и ЬЛ, далее цо формулам (6.45) и (6.46) находятся Ье; и Щ' . Компоненты девиатора тензора напряжений определяются из (6.44). Окончательно компоненты тензора напряжений определяются по формулам е+ж Ф+ж у +й+ж ~16 ош Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести ( у = О) длм идеального упругопластического материала (Е~ — — О) и для материала с линейным упрочнением (Ес — — сопз1 > О) уравнение (6.48) решается в явном виде без применения метода бисекции. При отсутствии деформаций ползучести приведенный выше алгоритм входит в класс алгоритмов интегрирования напряжений для упругопластического материала методом отображения напряжений на поверхность текучести. Рассмотренный выше ЕБР- алгоритм является обобщением этого метода (с учетом деформаций ползучести).
В [10, 89] проводитсм сопоставление метода интегрирования определяющих соотношений по явной схеме Эйлера (см. 2 6.2.4) с методом отображения напряжений на поверхность текучести (см. настояпшй параграф). Отмечается преимушество последнего над первым. Например, в случае пропорционального нагружения последний метод дает точное решение для напряжений [89]. В [89] предложены приближенные выраженим элементов матрицы С~~~, связывающей вектор приращений напряжений 210 Глава б.
Проделуры численных решений нелинейных задач с вектором приращений деформаций для этой модели материала: СеРс е где Сз 0 Сз 0 С1 0 симы. сз о о о о о о О б сз О сз С1 Сз с1 СЕРС Здесь с1 = -(2С'+С ), 1 3 где 1 сз = — С, з 2 1 ,=-(с -с'), 3 с'= 1 с = Е аЕ+ 1."1Л+ Ы'"~' 1 — 2и' Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести матрица Се1 с не совпадает с матрицей Сер с элементами, определенными в (6.32). Это происходит вследствие того, что при вычислении компонент матрицы СЕРС путем дифференцирования соотношений (6.47) по компонентам тензора деформаций параметр йЛ предполагается постоянным.
Так как матрица С~~ вычисляется точно, то при решении задач о деформировании тел из упругапластического материала (без уточнения решения с помощью некоторой итерационной процедуры) лучше пользоваться моделью упругопластического материала, описанной в 2 6.2.4. Обобщение алгоритма определения напряжений, представленного в настоящем параграфе, на геометрически нелинейные ТЬ- и Ш Л-формулировки уравнений проводится точно так же, как и в 2 6.2.4. Глава Т ПРОЦЕДУРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ И КОНТАКТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМ ТЕЛ В настоящей главе приводятся процедуры определения критических состояний квазистатического деформировання тел и численного решения контактных задач.
Постановки этих задач представлены в гл. 4. 7.1. Процедуры численных решений задач по потере устойчивости тел 7.1.1. Формулировка дискретизованной задачи по определению критических состояний тел После дискретизации неизвестных скоростей перемешенвй вариационные формулировки нелинейных уравнений, рассмотренные в разделе 3.2, приводят к дискретному аналогу вариационного уравнения вида ля = О, (7.1) где 14 — дискретный аяалог одного из функционалов е1н, 1н, 1л и т. д., описывающих нелинейное деформирование твердого тела. Эту функцию в некоторый момент времени З можно записать в виде 1,(11) = 'Цт~1С(7 7.7 й,, 2 (7.2) где Π— вектор узловых перемещений, ~К вЂ” касательная матрица жесткости, К вЂ” скорость вектора внешних нагрузок.
Здесь 212 Глава 7. Процедуры численных решений задач под касательной матрипей жесткости понимается матрица, полученная на основе одного из функпионалов о1пг, 1ьп, 1п для соответствующей формулировки (ТЬ, ЬЬ или 11Ьп) уравнений. Подставляя (7.2) в (7.1) и проводя варьирование, получаем уравнения (6.2) относительно скоростей компонент вектора перемещений узловых точек. Эти уравнения являются нелинейными в случае упругопластического деформирования и линейными (квази- линейными) в других случаях.
Собственному состоянию системы (6.2) соответствует такое значение параметра деформирования т, при котором существуют нетривиальные решения однородной системы уравнений "КЮ = О. (7.3) Нетривиальные решения Ю системы (7.3) назовем собственными веиторалги~. Задачу определения критических значений т и соответствующих им собственных векторов системы (7.3) назовем нелинейной задачей о потере устойчивости. Зля собственных векторов функция (7.2) обращается в нуль (см.
раздел 4.2): 14(Ж) = О. Предположим, что направление действия внешних сил не изменяется в процессе деформирования. Собственные состояния тела, соответствующие критическим значениям параметра деформирования, характеризуются нетривиальным решением системы (7.3), что возможно только тогда, когда с1е~'К = О. (7.4) При упругом деформировании тела нагрузки, соответствующие собственным состояниям, обычно бывают максимальными или бифуркационными.
При достижении этих нагрузок тела могут стать неустойчивыми по отношению к динамическим возмущениям. При упругопластическом деформировании бифуркационные нагрузки, соответствующие неединственному решению уравнений (6.2) при выполнении равенства (7.4), могут предшествовать нагрузкам собственного состояния, которые характеризуются нетривиальными решениями системы (7.3). Нагрузки собственного состояния тела отвечают границе устойчивых и неустойчи- Собственные векторы зз' принадлеиат нуль-пространству матрицы 'К, а полный набор линейно независимых собственных векторов представлнет собой базис этого пространства.
7.1. Процедуры численных решений залач по потере 213 вых равновесных конфигураций. Игнорируя условие разгрузки, для получения точной нижней грани нагрузок, при которых происходит бифуркация решений задачи, опять приходим к решению задачи (7.3) с условием (7.4) (см. раздел 4.3).
Отсюда определяется критическая нагрузка потери устойчивости квазистатических движений тела. При решении задач ползучести с постоянными внешними силами можно получить критические значения времени, при которых достигаются собственные состояния тела. Лля таких задач критическое время также можно получить при быстром нарастании несовершенств вследствие экспоненциальных условий их развития во времени. Таким образом, при решении задач по упругому и неупругому деформированию тел критические нагрузки, как бифуркационные, так и собственного состояния, можно определить по выполнению условия (7.4).
Соответствующие собственные векторы находятся из решения задачи (7.3). При решении задач ползучести тел надо, кроме того, исследовать развитие начальных несовершенств во времени. В разделе 5.2 получены алгебраические уравнения в приращениях для решения нелинейных задач вида (6.4) о квазистатическом деформировании тел.
При использовании схемы Эйлера для решения уравнений (6.2) в разделе 6.1 установлена эквивалентность уравнений (6.2) и (6.4). Выполнение равенства (7.4) означает, что при решении уравнений (6.4) достигнуто критическое значение параметра деформирования. Таким образом, при пошаговом интегрировании уравнений (6.2) или (6.4) по достижении некоторых нагрузок (собственного состояния или бифуркационных) может наступить момент времени, когда касательная матрица жесткости вырождается, т. е.
выполняется равенство (7.4), при этом появляются нулевые элементы на главной диагонали матрицы О в разложении (6.8). Число этих элементов соответствует числу линейно независимых собственных векторов задачи (7.3)2. Выполнение достаточного критерия единственности (устойчивости) означает положительную определенность квадратичной формы Пт'яь ь7 > 0 (7.5) Число нулевых элементов главной диагонали матрицы Р равно размерности нуль-пространства матрицы К.
214 Глава 7. Продедуры численных решений задач ... для всех кинематически возможных векторов скоростей перемещений, отличных от нулевых, что соответствует положительности всех элементов главной диаюнали матрицы Р в разложении (6.8). Пусть при 1 = 0 тело находится в недеформированнам состоянии. При небольших значениях параметра деформирования Ф неравенство (7.5) выполняется для принятых в настоящей работе определяющих соотношений (см.
раздел 4.3). В силу дискретности изменения параметра $ при пошаговом интегрировании уравнений (6.2), признаком вьшолнения равенства (7.4) в численных расчетах служит смена знака одного или нескольких элементов диаюнальной матрицы 13 на двух соседних шагах во времени при решении системы (6.4). В окрестностях критических нагрузок вследствие выполнения равенства (7.4) возникают две проблемы: ° решение системы уравнений (6.4) с почти вырожденной матрицей зК в докритическом и закритическом режимах деформирования; ° определение собственных нагрузок и собственных векторов задачи (7.3) при достижении критических состояний с выполнением равенства (7.4). Предполагаем, что внешние силы имеют вид (4.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
