1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 30
Текст из файла (страница 30)
197 6.2. Матроны онреденншщнх соотношений ... Матрица Со имеет вид 149, 122] С = Е х (1+ и)(1 — 2и) 1 — и и и О О О 1 — и и О О О 1 — и О О О х симм. (1 — 2и)/2 О О (1 — 2и)/2 О (1 — 2и)/2 (6.17) Точно так же записывается связь вектора приращений напряжений с вектором приращений деформаций: сг= С е. Геометрически нелинейное леформирование (Т(.-формулировка) Определяющие соотношения 1о оСЕ1ц с матрицей Со (см. (6.17)) представляют простейшую модель гиперупрутого материала. В таком же виде записывается связь вектора приращений напряжений с вектором линейной составляющей приращений деформаций: оБ=С ое, Е т. е, матрица ~С в (5.7) является матрицей С~, определенной в (6.17): 'С=С Геометрически нелинейное деформирование (0~-формулировка) Определяющие соотношения имеют следующий вид: 1в — Сн се Они входят в класс определяющих соотношений упругого матеРиала.
Соотношении (5.34) принимают вид 1Б = С 1е, Е 198 Глана б. Процедуры численных решений нелинейных задач так что сс = СЯ. Геометрически нелинеиное деформирование ((1Ь1-формулировка) В этой формулировке уравнений в общем случае компоненты тензора напряжений не связаны с компонентами тензора деформаций в конечном виде. Лля того, чтобы получить напряжения в момент времени 1+ Ы, требуется проинтегрировать определяющие соотношения вида ,в = С ~е, (6. 18) которые представляют собой инкрементальный аналог определяющих соотношений гипоупругого материала (2.24). Отметим, что эта гнпоупругая модель материала с Ш Л- формулировкой получается как частный случай из 11ЬЛ- формулировки для упругопластической модели материала, когда предел текучести материала берется достаточно большим (8 6.2.4).
Сопоставление различных формулировок нелинейных уравнений Геометрически нелинейное деформирование тела из линейного упругого материала можно представить одной из трех формулировок: ТЬ, УЬ, (1ЬЗ. Первые две формулировки имеют преимущество перед третьей, так как в них по известным деформациям нелряжения вычисляются точно. При интегрировании определяющих соотношений (6.18) вносится неустранимая погрешность, связанная с шагом интегрирования Ы, которая уменьшается с уменьшением этого шага.
Использование всех формулировок для упругих материалов эквивалентно в случае малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). Эти формулировки должны приводить к приблизительно одинаковым результатам при решении задач (см. 8 2.1.3). Отметим, что определяющие соотношения закона Гука для линейного упруюго изотропного материала можно использовать только для малых деформаций тела. Только при таком ограничении закон Гуда описывает поведение реальньгх материалов. Если формально использовать модель линейного изотропного упругою материала при больших деформациях тела, то ТЬ- и Ш формулировки описывают поведение разных материалов.
В [49] на примере решения задачи по растяжению куба отмечается большое расхождение значений компонент тензора напря- 6.2. Матрицы определяющих ссютношеннй ... жений Коши при больших деформациях для этих формулировок уравнений при использовании матриц оС и С с одинаковыми константами материала.
Зля ортотропного линейного упругою материала (соотношения для этой модели здесь не приводятся) выгоднее использовать ТЬ-формулировку по сравнению с 1Л формулировкой, так как направления осей материала в элементе по отношению к декартовой системе отсчета в начальной конфигурации остаются неизменными. Поэтому компоненты матрицы 'С не меняются при деформировании элемента.
В то же время для 1Л-формулировки надо постоянно пересчитывать компоненты матрицы сС (см. з 2.1.3). 6.2.3. Модель Муни — Ривлина несжимаемого материала резины Эта модель гиперупругого материала используется только с ТЬ-формулировкой уравнений. Рассмотрим три независимых инварианта правого тензора деформаций Коши — Грина оС (см. (1.44) (1 45))2: ' 1с = оСп + оСгг + оСзз, 1г — = оСссоС22+оСпоСзз+оСггоСзз— с в с в с в с- с в с— с -г с -г с -г оСсг оСсз оСгз (6.19) 12 = оСп оСггоСзз + 2оСсгоСсз оСгз— — оСп оСгз оС22 оСсз оСзз оСсг С С 2 С С 2 С С 2 Потенциал Муни — Ривлина Я(1с, 1г) имеет вид (2.29), куда не входит инвариант 1з в силу условия несжимаемости (2.28).
Лля материала Муни — Ривлина используется ограничение (условие нес жимаемости) Со(1з) =0 где (6.20) Со(12) =- 1з — 1. Лля того, чтобас избежать путанипы в обозначениях правого тенэора деформаций Коши — Грина и матрицы опредешпощих соотношений, в настоящем параграфе этот тенэор деформаций отмечаем чертой сверху. 200 Глава б. Пролелуры численных решений нелинейных залач Рассмотрим модифицированный потенциал [108] Й'(А,Ь,.Сз) = И'%,12) + — [С(Хз) — ей] . (6.21) 2е Здесь С вЂ” некоторая функция типа (6.20); е > 0 — заданная достаточно малая величина (параметр штрафа); Й вЂ” некоторая константа, которая определяется ниже.
Предполагал, что второй член в правой части (6.21) имеет конечную величину, получаем, что С(1з) -а 0 при е -+ О. Потенциал (6.21) соответствует решению задачи с условием несжимаемости методом штрафньпс функций. Чем меньше параметр е, тем лучше удовлетворяется условие нес жимаемости. Рассмотрим потенциал (6.21) как функцию инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа, т. е. (6.22) 1~(оЕО) = 14'(оСЗ) Так как при использовании потенциала (6.22) вместо несжимаемого рассматривается сжимаемый материал, то компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа определяются по формулам (2.14) с помощью потенциальной функции (6.22). Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина оСО выражаются через компоненты тензора деформаций Грина —— Лагранжа оЕО с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем соС1у = 2осЕсз+ Аз.
(6.23) Введем следующие инварианты тензора деформаций Грина — Лагранжа: Ас =- оЕП+оЕгг+оЕзз, с с с сг =- оЕП оЕгг + оЕсс оЕзз + оЕгг о Езз — оЕсг аЕгс— — с с с с с с оЕсз оЕзс овгз оЕзг, (6.24) Уз — = оЕп оЕгг оЕзз + оЕсз оЕгс о Езг + оЕсг оЕгз оЕзс— с с с с с с с с с — оЕзз оЕсг оЕгс — оЕгг оЕсз оЕзс — оЕП оЕгз оЕзг с с с с с с с с с Отметим, что в (6.24) не используется симметрия компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа; так как в (2.14) эти компоненты предполагаются независимыми.
6.2. Матрицы оцрецециющих соотношений 201 Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правою тензора деформаций Коши— Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа: Х1 = 3 + 2У1, Уг = 3 + 4 У1 + 4,Уг, Уз = 1 + 2 У1 + 4Уг + 8,Уз. (6.25) Пользуясь (6.25), преобразуем потенциал (6.21) в соответствии с (6.22): В' = С1 У1 + Сг Уг + — [С(Уз) — еУс], (6.26) 2е где С1 из2С1+4Сг, Сг — = 4Сг. В (6.26) предполагается, что Уз определяется третьей формулой (6.25). Компоненты второю тензора напряжений Пиола — Кирхгофа получим в соответствии с (2.14).
В обозначениях настоящей части зти формулы записываются в виде дЙ' (6.27) до% Пользуясь потенциалом (6.26), из (6.27) получаем 1 — д У1 — д Уг одб С1 1 + Сг 1 + д ~0Ь1 д ~0ЕВ + [С(Уз) — ек) ~ 2 — + 4 —, + 8 — 1 — ) (6.28) 1 дб(Уз) / д,У1 д Уг д Уз е дУз 1, д10В;, дсоя;, доК;,) ' Выбираем функцию С в виде [108) С(Уз) = — — 1п(Уз) 1 2 (6.29) и подставляем ее в (6.28).
Выбираем константу Ус из условия равенства компонент тензора напряжений нулю при нулевых компонентах тензора деформаций. Имеем и = С1. (6.30) После выполнения дифференцирования в (6.28) с учетом (6.29), (6 30) получаем следующие функциональные зависимости: ооб = аоб(опб). (6.31) 202 Глава б. Пропедуры численных решений нелинейных зелач Эти формулы можно записать в более компактной форме, если вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа использовать компоненты правого тензора деформаций Коши-- Грина. Пользуясь (6.23), из (6.31) получаемз: о Яп = 2С1 + 2Сг(о Сгг + о Сзз) + окс1, оосг= -2Сг о Сгг + сссс4, оогг = 2С1 + 2Сг(ОСп + ОСзз) + гсвг, оЯ1зпх — 2Сг аС1з+ ссср о~зз = 2С1 + 2Сг(аСп + оСгг) + ссс13, овгз = — 2Сг аСгз+ сей Здесь 411 = — оСгг оСзз — ОСгз А = — оСп оСзз — ОС13 с- с- с-г с- с- с-г 413 = ОСп ОС22 ОС12~ 114 = ОС13 ОСЗЗ ОСЗЗ ОС12, с- с- с-г с- с— 11ь = оСсг ОСгз — оСгг оСсз, с1ь — = ОСсг оС1з — аСп аСгз, с с с- с в с- Получим компоненты матрицы 01С с помощью компонент тензора ОК, определенного в (2.31).
дифференцируя соотношения (6.31), находим элементы матрицы асС (асСЗЗ вЂ” — саСс ): оСп = С34> соСсг = Уз+19с11 412> оСсз = /2+ сзс11 с13, 111СМ = Рссссс4, саСгь = Рссс ссь, саСьь = вессс ссь — 2сс~оСгз, ОС22 = сссс2) ОС23 /1 +Рогоз~ ОС24 = Рс12 114~ ОСгь =13ссгссь 2ссоС13, ОСгь =Рссг "ь, оСзз =Р "з ОС34 = Сзссзсс4 2с" ОС12~ ОСзь = Сзссзс(ь~ ОСзб = Рссзссь~ ОС44 = -Уз/2+ В414, ОС4ь = с" сс4дь+ ссаСгз, оС4ь = о "4 "о+ ссоС13, оСЗЗ = -Уг/2+ Рссь оСЗО = Р ссь ссь + сс ОС12, ОСОО = -/1/2 + 19 ссь.
Здесь /1 — = Сг + 2ссоСп Уг га Сг + 2скоСгг, Уз — = Сг + 2ссоСзз, 13 =- — [ — — + С1~. 2 1 С(ТЗ) 132 2~ Эти же соотношевик можно получить более коротким путем, воспользовавпшсь вторым вариантом вывода опрелелвюпсвх соотношений длк мопели материала Муви — Рванина (см. $2.1.4). б.г. Матрицы оцренелюоцшх соотношений ... гоз При выборе параметра штрафа е требуется проявлять осторожность (122]: при малых значениях е улучшается удовлетворение условию несжимаемости, но появляются большие числа в матрице жесткости и ухудшается ее обусловленность. Вместо того, чтобы задавать параметр и, удобнее вычислять его по формуле (108] 1 1 — и — = 6(С1 + Сг) — 2С1.
Здесь играет роль коэффициента Пуассона и 4 -+ 0 при о -+ 0,5. Отметим, что условие и = 0,5 является условием несжимаемости для линейного упругого материала. 6.2.4. Упругопластическаи модель материала Геометрически линейное деформирование (МйсО-формулировка) Рассмотрим определяющие соотношения теории пластического течения с изотропным упрочнением материала. Связь между векторами приращений напряжений и приращений деформаций записывается в виде о = СеРе (еС = Се' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
