1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ниже предлагается способ сведения задачи (7.3) об определении критического времени т и соответствующего собственного вектора ЪЧ к классической обобщенной задаче линейной алгебры по определению собственных чисел и соответствуюзцих им собственных векторов. Рассмотрим сначала ТХ-формулировку уравнений. При этом под матрицей К понимаем касательную матрицу жесткости еК вида (см. 2 5.2.2) 7.1. Проподуры численных решений задач по потере ... 221 где К о / ВоттС Во,ео1; Кез = 1 тВяттСтВе,1о|т аь=~оьооь~аь=~оьооь Оуе (7.21) о ь=~(о ьа а ь а ьо о ь 'к" = ~('в"'с в'+ в"'с'в')ась; оуе Сделаем следующие предположения: в интервале времени (~,1+ Ж) ° элементы матрицы определяющих соотношений мало изменяются, т.
е. ;с =-',с, (7.22) ° компоненты вектора перемещения и тензора напряжений изменяются по линейному закону: т — 2 т~ Фц, + (етеееп 1ц ) Ы (7.23) 1 т е 1+а1 1 О~ез=а~ей+ ~, ( ФУ вЂ” О~ей) Ы Отметим, что первое предположение выполняется точно для линейного упругого изотропною материала, при этом матрица аС постоянны: тС се о Введем обозначение и =— (т — 2)/М (7.24) и с его помощью перепишем формулы (7.23) в виде ти;='и;+дип О~еу=ОАЗ+ра~ет (7.25) Так как элементы матрицы атвоь зависят линейно от градиентов перемещений, с помощью первой формулы (7.25) получаем овь = оВь+И оВь. (7.26) Здесь элементы матрицы а~~воь находятся из элементов матрицы отврь заменой компонент тензора градиента перемещения "и;у приращениями компонент нй этого тензора. Точно так же получаем выражение для матрицы напряжений: тао ФВ + геев (7.27) Глава 7.
Процедуры численных решений задач ... 222 Подставляя (7.26), (7.27) в (7.21), (7.19), пользуясь (7.22) и собирая по1юбные члены, из (7.18) получаем О~ ОК+ 1з~1 + е' К2т ч з Аут 11Вт ФСЬ1ВУ з Ь1ВУ 1г11В 1 „/~ ~ / (О ЪО 0 Ь 0 Ь 0 0 1=1 011 +,В„, ~ з,е„,)Ы 'У~ А', К =~~АУт ~'Вя 'С~'Вз ИОЪ' А'. 1=1 011 (7.28) Таким образом, исходная задача (7.3) с Т1 формулировкой уравнений при сделанных выше предположениях сводится к обобщенной квадратичной задаче по определению собственных значений и соответствующих им собственных векторов: (01 К + 11 К + п2 К )'9т' = 0.
(7.29) После определения нижнего собственною значения 11 и соответствующего собственного вектора Ж-(для кратного собственного значения может. быть несколько линейно независимых собственных векторов) задача по определению собственного состояния решена. Критическое значение времени (нагрузки) определяется из (7.24): т = $ + 11~ Ьй Отметим, что задача (7.29) дает достаточно точные значения и и Ж для тел из линейного упругого материала при условии линейности поведения перемещений и напряжений в интервале времени (с, Ф+ 1'.11), что является приемлемым допущением для малого значения шага Ьй Рассмотрим частный случай задачи (7.29).
Предположим, что докритическое напряженно-деформированное состояние тела из линейного упругого материала определяется при решении (геометрически и физически) линейной задачи. Обозначим Кс = ОК. о 7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... При решении линейной задачи вторая матрица в правой части (7.20) не учитывается, т. е. полагается в =о. т У В этих предположениях задача (7.29) при М = 1 сводится к следующей обобщенной задаче на собственные значения [49, 122]: (Кь+ ркоуИ7 = О, (7.30) где м к -1 А'( 1 В' 'е н~ ы У)А~. е1 у Здесь 1ет — матрица вида озБ (см. (5.7)), составленная из компонент тензора напряжений Коши, полученных при решении линейной задачи Кс'Ю = Во.
Критическое значение вектора нагрузки В. получается после решения задачи (7.30) по формуле в = р во. Задача (7.30) называется линейной задачей о потпере устпойчивоспзи. Связь критических нагрузок, полученных из решения задач (7.30) и (7.3), схематично показана на рис. 7.2.
Как правило, критические нагрузки, определенные при решении нелинейной задачи о потере устойчивости, меньше соответствующих нагрузок, полученных при решении линейной задачи. Определение критических нагрузок из решения задачи (7.30) гораздо проще, чем из задачи (7.29), так как в первом случае не требуется пошаговой процедуры интегрирования нелинейных уравнений равновесия. Для тел из упругопластического материала предположение (7.22) и второе предположение (7.23) довольно грубые и решение задачи (7.29) уже не помогает уточнить критическое значение времени в интервале (1,1+ Ы). Тем не менее собственные векторы вычисляются достаточно точно (такое заключение можно сделать, решал тестовые задачи).
Отметим, что сведение задачи (7.3) к задаче (7.29) можно сделать только при использовании Т1 формулировки уравнений. При этом главная трудность заключается в том, что требуется формировать матрицы К| и Кз. Кроме того, решать квадратич- Глава 7. Пропглуры численных решений залач ...
224 % О Рис. 7.2. Сопоставление критических нагрузок, полученных из решений линейных и нелинейных задач о потере устойчивости упругих конструкций: Р— характерназ нагрузка, И' — характерное перемещение; а — макоимальнак нагрузка, б — бифуркапионнакнагрузка; х — точкабифуркации решений, полученнак в линейном анализе, 0 — в нелинейном; Р— точка максимума ную проблему на собственные значения сложнее, чем соответствующую стандартную обобщенную задачу. Другой способ сведения задачи (7.3) к классической задаче на собственные значения предложен в (5Ц. Предполагая, что касательная матрица жесткости изменяется линейным образом в интервале времени (3, 8+ Ьт) и пользуясь обозначением (7.24) для некоторого момента времени т Е (2, Ф+ ~И), можно записать к = 'к+ р('+"'к — 'к).
(7.31) Вводя обозначение ЬК = 'К вЂ” '+'"К 3 из (7.31) и (7.3) получаем обобщенную задачу для определения собственных чисел и собственных векторов системы [5Ц: ('к — рьк) ж = о. (7.32) Эта задача называется линеаризоеанной задачей о потпере устойчивостпи. 7.1. Процедуры численных решенпй задач по потере ... ззз Для ТБ-формулировки уравнений прямыми вычислениями можно показать, что выполняется равенство +~'к — 'к=к +к. о В этом случае формула (7.32) приводится к виду (оК+дК1+дК,)1й7=О. (7лз) Сравнивая задачу (7.33) с задачей (7.29), видим, что их отличие заключается в том, что при матрице Кз в уравнении (7.29) стоит множитель рз, а в (7.33) — множитель д. Из сопоставления выражений (7.28) для элементов матриц Кз и Кз видно, что для достаточно малого шага во времени элементы матрицы Кз пренебрежимо мелы по сравнению с элементами матрицы К1 в силу того, что пйу « 'ий и О < 1з < 1.
Отсюда следует, что при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к обобщенной задаче на собственные значения: (',к+лк,)%г = О. Таким образом, решения задач (7.32) и (7.29) должны давать близкие результаты. С точки зрения практических расчетов формулировка задачи (7.32) проще, так как не требуется вычислять новые матрицы Хз и Хз, а используются только касательные матрицы жесткости 'К и ~+'~~к, которые определяются при пошаговой процедуре решения задачи до решения задачи (7.32) на собственные значения. Кроме того, формулировать задачу (7.32) можно как с Т? -, так и с 11? -, ???.,?-формулировками уравнений. В некоторых случаях при решении задачи (7.32) матрица Ьк может оказаться не положительно определенной. Большинство алгоритмов решения задач на собственные значения работает с положительно определенными матрицами.
К этому классу относятся алгоритмы вычисления определителя и итераций в подпространстве [49], которые можно использовать для решения задачи (7.32). В [51] предложена альтернативная (7.32) формулировка задачи на собственные значения, которая помогает избежать этой ситуации. Перепишем задачу (7.32) в виде (лк — ~'к)ж = о, (7.34) где х: — 1/?з. Здесь произошел переход от поиска наименьшего к поиску наибольшего собственного значения. Применяя операцию Глава 7. Пронедуры численных решений задач ... 22б сдвига (сдвиг к = 1) к задаче (7.34), получаем следующую задачу на собственные значения: ('+ ск-йск)(Ср=О, (7.35) где А = 1 — т.
Так как матрица с+~сК не является положительно определенной, вместо матриц 'К и с+~'К можно использовать положительно определенные матрицы ' ~'К и 'К. Проведя эту замену в (7.35), приходим к альтернативной формулировке задачи на собственные значения: (ск — Ас аск)'9Ч = 0 (7.36) Здесь ищется наименьшее положительное собственное значе- ние с1„., так что (7.37) При выводе формулы (7.36) предполагается, что матрица хК определяется с помощью экстраполяционной формулы тК с-ЬсК + (сК С-ЬсК) 7.1.4.
Алгоритм решения задач по потере устойчивости тел В общем случае произвольных следящих нагрузок определение их критических значений при потере устойчивости тел представляет собой трудную задачу. Здесь исследование по определению бифуркационных нагрузок не' дает информации о потере устойчивости тел. В то же время при действии консервативных нагрузок вида (7.6) можно использовать следующий алгоритм решения нелинейных квазистатических задач по определению напряженно-деформированною состояния и потере устойчивости конструкций.
так что Сс > 1. Так как в (7.31) матрица К определяется интерполяцией, точность определения собственных векторов и собственных чисел из решения задачи (7.32) выше, чем из решения задачи (7.36). Кроме того, при достаточно больших значениях сс,„ из (7.37) следует, что собственные значения Ас (с = 1, 2,... ) представляют собой плотный спектр, близкий к 1. Это вносит некоторую трудность в решение задачи (7.36) на собственные значения. Поэтому переходить к ее решению надо в том случае, если матрица сзК не является положительно определенной. 73, Процедуры численных ре«пений задач по потере ... 227 1. Решаем задачу в Щ Л)-пространстве. 2.
На каждом шаге во времени проверяем, имеются ли отрицательные элементы на главной диагонали матрицы О, запоминая матрицы «а«К и «К. 3. При появлении отрицательных элементов включается алгоритм решения задач на собственные значения (7.32) или (7.36). Последняя задача решается в том случае, если матрица «зК не является положительно определенной.
Находится столько пар собственных чисел и собственных векторов, сколько появляется новых отрицательных диагональных элементов. 4. По окончании решения задачи для заданного числа шагов во времени анализируем полученное решение и определяем, насколько полно выявлена картина деформирования. Если решение недостаточно полно, продолжаем численное решение задачи с последнего определенного равновесного состояния, используя опцию «рестарт». 5. По окончании описанного выше численного решения анализируем критические точки. Точки максимума соответствуют ниспадающей нагрузке в послекритическом режиме деформирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
