1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Элементы симметричной матрицы Сер размерностью 6 х 6 получаются из компонент тензора определяющих соотношений к. (см. (2.83)). Приведем явные выражения этих элементов: ЕР ~ / С С с С с Ссг = — 11 — ссс ссгг опсс 1+ и ~1 — 2ц ЕР ~ / " -С С 1 ЕС ~ -С С Ссз = ~ сСс сгзз стп), С14 = — — ссз стсг сгп, 1+с 11 — 2в 1+Р ЕР '~ С С с ЕР ~ С С с Ссз = — — оса ст13 сс11, Ссе = — с~В ссгз оп > 1+и ' 1+и еР ~ / с' — сс сю'1 Сгз = — ( осу с'зз ссгг/ 1+ о 1.1 — 2и Сг4 = — сс сс1г сг2г Сгз сс сс13 сс2г ЕР С С с ЕР С С ! 1+и 1+и (6.32) 204 Глава 6.
Процедуры численных решений нелинейных задач еР Е с с с еР Е с 1 с с с21 Сгб = — сд стгз огг Сзз = ~ 4 стзз/ 1+и 1+ и ~1 — 2и е Е с с с ер Е с с с С34 = — сд стсг стзз, Сзз = — сд стсз стзз, 1+ и 1+и ЕР Е С С с ЕР Е С1 С 21 Сзз = — с/с пгз озз, С44 — — — (- — ссЗ есгс, 1+и 1+и~2 ер Е -с с ЕР Е С С С4з = — ест стсз стсг> С46 = — ссэ стгз стсг, 1+и 1+и еР Е у1 с 2 ~с еР Е с Сзз = ~ — — си стсз! Сзб = — — сс3 стгз стсз, 1+и~2 !' 1+и ЕР .Е (1 С 21 Сбб = — '1 — — ссэ стгз/. 1+и 2 Здесь 2 ЕЕС У где сстр — текущее значение предела текучести материала при одноосном растяжении, стсу = стсз стспбсу стсп аз ( сти+'стяг+ озз)/3.
(6.34) Пусть сто — начальное значение предела текучести. Если матери- У зл идеальный упругопластический (касательный модуль Ес = 0), то длк любого момента вРемени имеем сств — — оо. ЛлЯ УпРУгоплав' стического матеРиала с УпРочнением (Ес ) 0) сств опРеделЯетсЯ следующим образом4: астр — — таХ(ст„, /3,~ ез1. (6.35) Здесь /г — максимальное значение второго инварианта девиа- торов напряжений (6.36) полученное за время всей истории деформирования.
Коэффициент с в формулах (6.32) вычисляется следующим образом: О, если с.12 < 'ог/3 или с.12 = 'ог/3 и сст,'. ес < О, 1, если (6.37) В каждой материальной точке тела определкетск свое собственное текущее значение предела текучести 'оз.
6.2. Митриям онренепшопшх соотношений ... 205 Значение с = 0 соответствует тому, что вектор напряжений либо находится внутри области, ограниченной поверхностью текучести (упругое деформирование), либо направлен внутрь этой области,что соответствует разгрузке. Интегрирование определяющих соотношений с момента времени с до Ф+ Ь$ для отыскания компонент напряжений "~~'с~, можно проводить по алгоритму, приведенному в (49). Лля более точного интегрирования используется подынкрементальный метод, т.
е. шаг по времени разбивается на подынтервалы и интегрирование проводится по явной схеме Эйлера в каждом подынтерв еле. Геометрически нелинейное деформирование (ТЬ-формулировка) Следуя аргументам, приведенным в 2 2.2.2, прямой перенос формул, используемых в М1зО-формулировке для определяющих соотношений упругопластического деформирования, в ТЬ-формулировку можно проводить только для малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). Вектор приращений напряжений связан с вектором приращений деформаций формулой Б сСвЮ оЕ Элементы матрипы оС~Р определяются формулами вида (6.32) с заменой компонент тензора напряжений Коши 'с~; компонентами второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа ~Я; .
Кроме того, в формулах (6.37) приращения компонент тензора деформаций Коши е; заменяются приращениями компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа оЕЗ. Геометрически нелинейное деформирование (0Ь3-формулировка) Определяющие соотношения УЫ-формулировки можно использовать для описания больших упругопластических деформаций тела. Эти соотношения в приращениях имеют следующий вид: вн = 'Ск' се (6.38) При образовании элементов матрицы 'С~~ из элементов матрицы С~ в формулах (6.32) — (6.37) надо заменить 'сг; на 'зо и е, на сец. После интегрирования определяющих соотношений (6.38) с момента времени с до момента 2+ сзс получаются компоненты тензора напряжений Кирхгофа в системе координат, совершающей чистый поворот с переносом.
Обозначим полученные значе- 206 Глава 6. Процедуры чнеленных решений нелинейных задач ния компонент напряжений через с+~с«с . Используя инкрементальный аналог связи производной Хилла с материальной производной тензора Коши, приведенной в первой формуле (1.101), получим ( всу «0) = ( вц — всу) + вьу ссвьс+ вся сс«ьу + «нас, а+сзс- с, с+да, с с с с (6.39) где компоненты инкрементального аналога тензора вихря (см.
четвертую формулу (1.29)) имеют следующий вид: 1 сиаау = -(сисл сиггс). 2 (6.40) Из (6.40) получаем сс«11 = ас«22 = сс«зз = О, сч«21 = — сс«12, (6.41) ссвз1 = сс«12 сслзг = аиагз. Инкрементальный аналог свертки 4,ь записывается в виде ае = сеп + с«22 + сезз .
(6.42) Пользуясь (6.41), (6.42), из (6.39) получим новые значения компонент тензора напряжений Коши: с+да с+да- а вп = вы+2 «1гсиа12+2 «гзсиа1з — впсе, с с+саа а+азс- с вгг = + вгг — 2 «ггашп+ 2 вгзсшгз — вггсе, с с 'взз = '+ 'взз — 2'ваз сиааз — 2'вгз сслгз — 'взз ае, с+да а+ос- с а «1г = + йгг — (вп — вгг)сиа12+ вгзсшаз+ «1зсиагз — вггсе, с с с+аза с+да- с «1з = + «1з+ вгзсиа12 — (вп — взз)сиааз — «12сиагз — «1зсе, с с с с+азс с+азс- с вгз = + вгз — «1з сиа12 — вгг сиааз — ( «22 — взз)сиагз — вгз се с с Для 11Ы-формулировки касательный модуль Ес берется с хривой одноосного деформирования, построенной в осях «лога- рифмическая деформация — истинное напряжение».
6.2.5. Термоупругесластическая модель материала, учитывающая деформации ползучести При определении напряжений с момента времени З до мо- мента $ + Ы для упругопластической модели материала мож- но использовать явную схему Эйлера с разбиением шага Ьа на подынкременты [49]. Применение схемы Эйлера для определения напрюкений с учетом деформаций ползучести встречает некото- рые трудности. Рассматривая процесс определения напряжений 6.2. Матрвиы опреяеояюших соотношений ... 207 как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (2.95) с начальными условиями 'о;", приходим к решению задачи Коши.
При наличии скоростей деформаций ползучести в правой части (2.95) отмечаем появление напряжений с высокими показателями степени (типично а1 10), обычно используемыми в законе ползучести (2.98). С точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, системы уравнений вида (2.95) относятся к жестким. Явная схема Эйлера для интегрирования системы жестких дифференциальных уравнений плохо пригодна, так как устойчивое интегрирование по явной схеме требует малого шага ~0. В расчетах по деформированию реальных конструкций невозможно оценить величину шага Ы, гарантирующую устойчивость вычислений при определении напряжений по схеме Эйлера. В [115] установлено, что использование о-метода [49] для интегрирования уравнений (2.95) со значением о = 1 приводит к устойчивым вычислениям компонент тензора напряжений даже для очень больших значений шага Ь|.
Отметим, что при о = О о-метод сводится к обычной явной условно-устойчивой схеме Эйлера первого порядка точности, при а = 1/2 получается условно-устойчивая схема второго порядка точности Кранка-- Николсона, а при а = 1 — безусловно-устойчивая неявная схема интегрирования первого порядка точности. Формулы интегрирования уравнений (2.95) с помощью а- метода приведены в [49, 115]. В [115] для значения параметра о ф 0 (неявнвя схема) при интегрировании уравнений (2.95) используется метод Ньютона — Рафсона для решения нелинейных уравнений, так как правая часть в (2.95) зависит от искомых напряжений (и от их скоростей при учете пластических деформаций).
Более эффективная схема интегрирования соотношений (2,95) предложена в [52, 89]. Алгоритм определения напряжений, предложенный в этих работах, назван алгорипьном вычисления функции эффективного напряжении, или Еог (еуес11ое вЬ евв /ипс11оп/ алгоритмом, Основные положения ЕБР-алгоритма заключаются в следующем. Пусть в момент времени 1+ Ь1 известны напряжения г;7, деформации '+ 'е;, деформации пластичности 'с7 и деформации ползучести 'осу. Требуется определить напряжения '~~'а;.~. 208 Глава 6.
Пролелуры численных решеннй нелннейных задач с+ьс ! с+си с+ьс оз, с+ос с+сзс 1 еву — еш евл = ЕЬ/в. 3 Температурная деформация определяется из (2.94): с+И сИ (с+осло ол ) где дн — отсчетная температура. Представим первую формулу (6.43) в виде ву 1+ вв' 3в' ву в (6.44) где с+сзс и с+сзс в сер с о еП = ву вУ ЕвУ Дся с+Гвс Р с Р Д е — с+сМ о с е св вй вй в св в1 в1' Отметим, что по условию величйны с+~се',в и с+~со;„(среднее напряжение) известны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
