1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Интегрирование уравнений движения (равновесия) В разделе 5.2 получены системы уравнений относительно приращений узловых перемещений или их скоростей. Глобальные матрицы и векторы этих систем могут составляться из локальных матриц и векторов трехмерных элементов, элементов оболочек, стержней и т. д.
Кроме того, при формировании матриц и векторов можно для каждого элемента использовать свою степень нелинейности. То есть эти матрицы и векторы можно получать с помощью МНО, ТЬ, 1)Ь, 1)ЬЗ-формулировок. В сочетании с гибкостью моделирования тела произвольной геометрии, МКЭ занял лидирующее положение при решении нелинейных задач МДТТ. На основе линеаризованного уравнения принципа возможных перемещений для вектора приращений узловых перемещений 0 получены системы уравнений вида Мс+асСт+ сКтт = с+дсВ.- ср. (6.1) Из вариационного принципа получены уравнения относительно вектора скоростей перемещений Ю: сКО = В.. (6.2) Определим, какую из формулировслс (6.1), (6.2) предпочесть при решении задач.
184 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач Рассмотрим динамические задачи. Пользуясь методом Бубнова — Галеркина, из уравнений движения относительно скоростей переме1цений можно записать следующую систему уравнений: МО+ '1О1 = Н. (6.3) Недостаток формулировки уравнений (6.3) по сравнению с (6.1) заключается в том, что высшие производные по времени в (6.3) имеют третий порядок, а в (6.1) — второй порядок. При квазистатическом деформировании система (6.1) сводится к следующей: 'Ктз ='+ 'К-'Р.
(6.4) Дискретные уравнения равновесия выражают равенство векторов внутренних и внешних сил: 1Р (6.5) Из (6.5) следует, что уравнения (6.4) представляют собой дискретные по времени уравнения пошаговой процедуры явной схемы Эйлера (первого порядка точности) интегрирования системы (6.2). Для интегрирования по времени уравнений (6.2) можно использовать другие схемы, более высокого порядка точности, чем схема Эйлера. Однако такие схемы требуют более высокой гладкости решения, не всегда достижимой при решении прикладных задач. В качестве примеров задач, в которых вектор перемещений не обладает непрерывной дифференцируемостью по времени можно привести задачи упругопластического деформирования, задачи с бифуркацией решений и т.
д. Поэтому лучше использовать схему Эйлера с уравнениями (6.4) с последующим уточнением решения при помощи некоторой итерапионной процедуры. Из проведенного анализа следует, что в общем случае выгоднее использовать уравнения в приращениях (6.1), (6.4) для решения общего класса геометрически и физически нелинейных задач МДТТ. В настоящем разделе рассматриваются процедуры решения этих уравнений с их последующим итерационным уточнением. 6.1.1. Схема Ньюмарка решения динамических задач Метод Ньюмарка (49, 122) можно рассматривать как обобщение метода линейного ускорения.
Он принадлежит к семейству 186 6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесна) одношаговых методов интегрирования уравнений движения. Введем следующие константы: 1 б 1 1 во= —, а1= —, аг= — ) аз= — — 1, сс с.'«сг ' а 1И ' с«Ь« ' 2«« б сзс уб а4 = — — 1, аз = — ~ — — 2), ав = ао, ар= -аг, сс ' 2 ~сс ав = — аз, ао = «1«1(1 — б), а«о = бЖ.
Здесь параметры сс и б выбираются из условия устойчивости и точности интегрирования. Если б = 0,5, с« = 0,25, то метод Ньюмарсса имеет второй порядок точности интегрирования во времени, при этом отсутствует схемная диссипация. При других значених б и сс метод Ньюмарка имеет первый порядок точности и появляется схемная диссипацня при интегрировании уравнений движения. Диссипативные схемы интегрирования оказываются полезными при решении задач о распространении ударных волн и при решении динамических контактных задач [59, 91, 92). Для линейных задач схема Ньюмарка является безусловно устойчивой при [49, 122) б Ъ 0,5 и сс ) 0,25(б+0,5)г.
Ускорения, скорости и перемещения в момент времени С + сас выражаются через соответствующие величины.в момент С по формулам [49! с+а«11 17+ а «11+ а «17 с+а«17 «11+ 17 с+а«17 «17+ ст7+ с+с««17 (6.6) После дискретизации по времени уравнение (6.1) записывается в виде «~11 с+асй (6.7) где 'Н вЂ” «1г+а М с+а«Н — с+а«Р+М(а «11+а «17) Таким образом, после применения схемы Ньюмарка к уравнениям (6.1) получается система алгебраических уравнений (6.
7), которая имеет тот же вид, что и уравнения квазистатического деформирования (6.4). Матрица К называется э44ективной касательной матри«сей эссесткости, а вектор '+~~К вЂ” э44ективнььм вектором внешних сил [49) 186 Глава 8. Процедуры численных ресцеиий нелинейных задач 6.1.2. Пошаговое интегрирование линеаризованных уравнений Линейные системы уравнений (6.4) и (6.7) решаются методом Гаусса с учетом профильного строения и симметрии матриц в левых частях. Сначала проводится факторизация матрицы 'К (или сК) [49]: 'К = ЬРЬт, (6.8) где Ь вЂ” нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали,1з — диагональная матрица. После факторизации матрицы прямым и обратным ходом метода Гаусса решается система уравнений (6.7) (или (6.4)).
После решения системы (6.7) (или (6.4)) вектор перемещений с+~с11 в момент времени 1+схс находится из второй формулы (6.6), для динамических задач определяются скорости и ускорения по первой и третьей формулам (6.6), вычисляется новая (эффективнал) касательная матрица жесткости, и процесс счета повторяется на следующем шаге во времени. Численную процедуру пошагового решения уравнений статики (6.4) или динамики (6.7) для задачи с одной степенью свободы иллюстрирует рис.
6.1. Недостатком такой процедуры интегрирования уравнений является то, что при относительно большом шаге Ж численное решение может уйти достаточно далеко от истинного. Для исправления этой ситуации требуется применять итерационные процедуры уточнения решения. 6.1.3.
Итерационные процедуры уточнения решения Стандартный метод Ньютона — Рафсона Наиболее известным методом итерационного уточнения решения нелинейных задач является стандартный метод Ньютона — Рафсона. На каждой итерации решается система линейных алгебраических уравнений [49, 62, 122[ с+асК(с-1) д11(с) — с+дскб(с-1) (4 = 1 2,, ) (6,9) где правый индекс в скобках обозначает номер итерации, ~17(с) с+сзс 17(с) с+ а с 11(с — ц (6.10) — вектор разности перемещений на итерациях.
В качестве нулевой итерации (начальные условия для итерационного процесса) используется известное решение, полученное для момента времени й с+ас11(о) с11 с+дсК(о) сК с+дсР(о) сР ) Э 6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесна) 187 Ов() а17 з1) а11 61) Рис. 6.1. Пошаговое интегрирование уравнений движения (равновесия) без применения итерационной процедуры уточнения решения Итерационная процедура заканчивается, как тольхо выполняются некоторые критерии сходимости итерационного процесса н вектор в"сС(') становится малой величиной.
Скорости и ускорения на итерациях определяются по формулам с+гвс~у(с-ц ()(с-ц с~) +ай(' ) =а с)(с ) — а Π— а О Здесь у(в) — С+свс ц(С) с ввв — — вектор приращений перемещений на с-й итерации. Вектор С+ССС "(в-1 й," Ц на итерациях определяется следующим образом: с+ас - (с-ц с+сасР7 Мс+сас -.(в-ц сс-саср(в-ц 188 Глава 6.
Пролеяуры числанлых решений нелинейных закал ) ы )П Ф ь)Пн) Ф ыП)2) ) ь)П Рис. 6.2. Иллюстрации применения стандартного метода Ньютона — Рафсона в одномерной задаче Схема процесса уточнения решения методом Ньютона— Рафсона представлена на рис. 6.2. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу '+~'К)' ~) и проводить ее фахторизацию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации.
Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна н та же матрица гК (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = 1 или т = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона— Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рефсона.
6.1. Ивтегрироваиие уравнений движения (равновесия) 189 с и О с11 с+ьс11ю в м11~и с+ьс11 И Рис. 6.3. Иллюстрация применения модифицированного метода Ньютона — Рафсона в одномерной задаче Графическая иллюстрация применения итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона для задачи с одной степенью свободы приведена на рис. 6,3.
Квазиньютонов метод Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — — Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триалгуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при атом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов ~621 по характеристикам сходимостн и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона — Рафсона. В кввзиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
