1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В случае, когда некоторая грань (или грани) элемента совпадает (совпадают) с частью поверхности оя рассматриваемого тела, поверхность этой грани (граней) обозначаем через ~Я'. В частном случае (ни одна грань элемента не совпадает с поверхост ю тела ОЯ) поверхность ОЯе може бы ь пустой. Из (5.15) (5.64) получаем 5.2. Диееретизапиа уравнений по пространственным ., 175 где с+асКе с+Леде + с+ызэе О К+ О 2' (5.72) — векспор внеисних сил элемента. Пользуясь (5.61), (5.62) и обозначениями (5.7), представим выражения для каждого слагаемого в (5.8): | ДоетсСоеДО)/ ЛсетсКе 11е ОСее т д с ~ я О ~~ е т с е е Б~п~~'ОВ~п сс~Ъ' = ЛХ'~~о~~~~ С', 01, е тсв 101е Луетсие О Сее Здесь введены симметричные линейная касаспельная матрица жесткости элемента соК5~, нелинейнаи касательнал матРиЦа жесткости элемента соКессь и вектоР вндтРенних сил элемен- та сне.
о 'ОКа =- оБьоСоБ5~1'Р; оКжс = — ОВмьоВОВсеьЙ ~, ос ОСее О =|О 5О с~е сг стет са 1О1; (5.73) осе Введем глобальные векторы неизвестных узловых перемещений и их приращений: 'Б ги ['Ус, 'Уз,..., 'УасяС1) ТУ = [Ус, Уз,..., Уаскц)~ (5 75) где сУс (с = 1, ЛЕД) — одна из компонент вектора перемещений в некоторой узловой точке, 117 ЕЯ вЂ” общее число неизвестных неза- Интегрирование в (5.66), (5.68), (5.70), (5.73) проводится численно по формулам Гаусса — Лежандра [49, 122). Пусть область ОЪ' деформируемого тра разбита на М подобластей (конечных элементов) ОЪ'1 (7 = 1, М), так что 017 О~ 111017211 ссо).М (5.74) Глава б. Дискретные уравнения движения 17б висимых компонент вектора перемещений узловых точек'.
Компоненты векторов в (5.59) для каждою из элементов состоят из компонент глобальных векторов в (5.75). Приведем матрицы и векторы всех элементов к размерностям ФЕЯ х )ч"ЕЯ и ХЕЯ соответственно с помощью булевых митрии А' (элементы которых состоят из 'нулей и единиц)о, которые вводятся для каждого элемента с помощью соотношений Ф17е Ае е17 11е Ае 11 Введем модифицированные матрицы и векторы элементов: еч-ле юе Ае т е+ае ре Ме Ае т Ме А е о У 1 еч-аетзе А е+аеюе еКе А еКе Ае о "т~ о ь= о ь Фре Аетсре еКе А еКе Ае о = о а мь= а лъ Отметим, что матрицы М', ~оКь~, оеК;~7 симметричные. Пользуясь модифицированными матрицами и векторами элементов, перепишем введенные ранее выражения: Ф+ж де д)т е+ЛФВе е+ае 71е д7т Ме $+ы1у о о 1 о м= е+Ж бе д7те+аетзе 5 отес едо1г д7теКе 17 О тек орт, ~ ое о ое = о ь а е (5.76) | Бои~ оЯ оп, с(о$, Дуг ое1Цн 17, бает еоЯ,(о1,, Д7т аеР о 1ге оге С помощью (5.76) виртуальную работу внешних сил элемента (5.71) преобразуем к виду е+ье Ве д7т(е+съ|Ве Ме 11) (5.
77) где с+ьеВе 1+ьеВе + е+аехзе о з'+ о т. Глобальную нумерацию узлов области еи (ансамбля) можно провалить произвольно, однако от последовательности ее проведения зависит структура матриц ансамбля. е В вычислительных комплексах, реализующих МКЭ, вместо булевых матриц используются таблипы соответствия локальной и глобальной нумераций (49). 177 5.2. Дискретизапик уравнений цо пространственным ... ний дат(М 1+Ы1Я + 1К11) Яут(1+Ь1Я 1$') Из произвольности вектора бБ следуют линеаризованные дискрегпные уравнения движения: (5.78) Здесь М он=~' ои 1=1 2=1 м оКь = ~~~ оКь оК = оК1, + оК1тт„ 1 М М оК1ть = ~,оКль М = ~~~ М, (5.79) 1=1 1=1 М 1+Дев ~, ~1+Пгззй + 1+аз~ 1=1 Симметричная матрица М называется матриией масс (ансамбля), симметричная матрица 1К вЂ” касатпельной матриией жесткости (ансамбля), вектор ~оР— вектором внутренних сил (ансамбля), а вектор 1+'~~аз.
— вектором внешних сил (ансамбля). Вектор 1+~1Вс получается из следующего представления виртуальной работы сосредоточенных сил: 1+Пг о Гт)т 1+Огтз С~ где ненулевые компоненты вектора 1+ Кс составлены из компо1+Ьг нент 1+~1В~, ввезенных в (5.10). Элементы нумерувзтск произвольным образом, последовательность нумерации не влияет на структуру глобальных матриц н векторов ансамбля. Для каждого элемента вместо верхнего правого индекса е запишем его номер у (у = 11, йа)7. Пользуясь (5.74), известными свойствами интегралов М М )'см' =у;/гм'к, )'см'а=1:~и 'з ор У 1егуу об Я оп 1 '=1 и выражениями (5.76), (5.77), из (5.8) получаем дискретный аналог линеаризованного уравнения принципа возможных перемеще- Глава 8.
Лиекретные уравнение лвнженве 178 Рассмотрим постановку задачи, сформулированную относительно скоростей и основанную на вариационном уравнении (5.27) с функционалом (5.24). Введем вектор скоростей перемещений узловых точек элемента: 11'— = Ыпз,бз, ",б М",йз ] . (5.80) Из (5.21), (5.23) аналогично (5.60) получаем Е = ~~В еуе, (5.81) Из (5.21), (5.22), (5.80) следует аналог формулы (5.62) относительно скоростей: и ее В ее . 'е Из (5.25), (5.26) имеем Ве 1уетВе Здесь В' — = ОВ~ +ОВт (5.82) (5.83) где ОВе ив н у(1) Н ее, е(ор Ве = — Н'О'у*,1О О11у ее — е1 ОИ17 1у В т1 т 2 (5.84) где М К = Е АЯ т В.У + В 3=1 Пользуясь вариационным уравнением (5.27), с помощью (5.84) запишем следующую систему линейных алгебраических уравнений: Зеки в]). (5.85) Оуе Оее т Подразделяв область ОУ на конечные элементы н вводя глобальный вектор неизвестных скоростей узловых перемещений 11 = [Пы Уг, .
° °, етЪнд[ после суммирования по элементам с использованием формул (5.81)-(5,83) получаем из (5,24) дискретный аналог функциона- ла 179 5.9, диснретизапив уравнений по прастрвнственнин ... 5.2.3. Текущал лагранжева формулировка В Т1 формулировке для определения матриц и векторов используется геометрия элементов в начальный момент времени й = О. В Ш-формулировке в качестве отсчетной конфигурации рассматривается геометрия элементов в текущий момент времени й (см.
рис. 5.2). Введем матрицы и векторы элемента аналогично тому, как это делалось в 3 5.2.2: йКе гн 'В 'С'Вй 1йЪ; 'К;„= 'В~,'з'Вйссд')г, йие й1. е йуе йВт й 1й1г й+Ьйтзе Нтй+йтйТе 1й~ (5 85) й -Гее й 1 йй, е йят й+ыВе й+еъйВе + й+гййтзе о ъ й "г. Выражения для матриц йВс, йВйтг, приведены в [49). Соотношения (5.72) и (5.86) формально определяют два разных вектора, обозначенных одинаково через й+~йВе.
В силу (1.73) '+~,',Вте й+~ййте, из (5.38) следУет й+ оВ' й+~'И', поэтомУ оба выражения для й+й~йКе определяют один и тот же вектор с точностью до выполнения приближенного равенства в (5.38). Более того, во многих случаях действия поверхностных нагрузок (например, нормального давления) вместо вектора Й~, для Т1,- й+ай е формулировки проще использовать вектор йй й+Ьй е Вводя глобальные векторы перемещений и их приращений (5.75) и проводя суммирование, из (5.32) получаем (5.87) Матрицы и векторы в этом уравнении находятся из соответствующих матриц и векторов в (5.79) при отбрасывании левого нижнего индекса О. Учитывая, что тй = и, и проводя дискретизацию переменных в функционале (5.42), из вариационного уравнения он = О Глава З. диснретные уравнения лнииение (5.88) 5.2.4.
Текущая лагранжева формулировка с производной тензора напряжений Коши по Хиллу в определяющих соотношениях Для ШЛ-формулировки линеаризованное уравнение принципа возможных перемещений отличается от соответствующего уравнения И -формулировки наличием подчеркнутого члена в (5.51) и использованием вместо матрицы 'С матрицы 'С. Введем матРицУ сВ~,сс такУю, что се = 'В~~с сс'.
(5.89) Пользуясь (5.57), (5.49), (5.30), (5.59), из (5.89) получаем компоненты матРицы сВ',нс. Ь„, О О Ь,,,/2 Ь„,,/2 О Ьз,з/2 0 Ььд/2 Ьсс,з/2 Ьз с/2 0 О Ь„, О 0 Ье,з/2 Ьед/2 Ье,з/2 0 Ьз,с/2 0 Ь|,з/2 Ь|д/2 0 0 Ьз,з с в' для узловой точки й Здесь дЬ, Ьа д стс Для рассматриваемого конечного элемента подчеркнутый член в (5.51) с помощью (5.89) преобразуется к виду 25СЕт Сй СЕ С(С$/ Якает «Зисе 11е с1;е получаем следующую систему линейных алгебраических уравне- ний относительно скоростей узловых перемещений: 5.2.
Ыисаретизапиа уравнений по пространственным ... Здесь введена дополнительная нелинейная касательная матрица жесткости элемента «Кссесь. «Ка— : -2 «Всть 'в «В!мь а«У. Сув Действуя по стандартной процедуре и проводя суммирование, получаем систему линейных алгебраических уравнений (5.87) с касательной матрицей жесткости: К = — Кь+ Ксссь+ КФь~ (5.90) где М с- у К У, Кс,,ь = Ае™К',;ь А'. 2=1 Касательная матрица жесткости для ПЬ,«-формулировки отличается от аналогичной матрицы ПЬ-формулировки наличием матрицы «Кссь в (5.90). Остальные матрицы и векторы имеют тот же вид, что и в уравнениях БЬ-формулировки с заменой матрицы 'С матрицей «С в подынтегральном выражении для матрицы Кеь в (5.86).
Исходя из вариационного уравнения 61н = 0 с дискретным аналогом функционала (5.52), получаем линейную алгебраическую систему уравнений (5.88) с матрицей (5.90). Аналогичная формулировка конечно-элементных уравнений используется в (97) дпя решения кввэистатических двумерных задач по упругопластическому деформированию тел при больших деформациях. 5.2.5. Ге«иаетрически линейная формулировка Лля ММО-формулировки матрицы и векторы системы уравнений можно получить из матриц и векторов ТЬ-формулировки, удаляя нелинейную касательную матрицу жесткости и заменяя матрицу «оВь матрицей В (выражения элементов последней матрицы получаются из элементов первой при отбрасывании членов с компонентами тензора градиента перемещений 'ия ).
Получаем систему уравнений дпя приращений перемещений вида (5.78) со 182 Глава О. дискретные уравнения движения следующей модификацией матриц и векторов элементов: ОКеь — В ОС В 4~31 ОК1еь О (5.91) О 1ре 1 Втео.,1О), 01,"е Из варнационного уравнении (5.55) с учетом (5.91) можно получить линейную систему уравнений относительно скоростей перемещений (5.85). Глава 6 ПРОЦЕЙУРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ б.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
