1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 22
Текст из файла (страница 22)
° т 1 " ° т, . т 2 2 Функционал оЕ„д, определенный в (4.10), с помощью функции оЕь можно переписать в виде оЕмд(и) = оЕа(Яи) ~1~У. о1г При последовательнсы нагружении тела, начиная от естественной конфигурации, предполагаем, что существует такое критическое значение параметра Л, обозначаемое через Л„, что <О >О Л вЂ” Ла;д — 0 =т оЕмд(и) > 0 . (4,28) >О дд О В (4.28) предполагается, что оЕазд(и) определяется для всех кинематически возможных полей скорости вектора перемещений, отличных от тождественного нуля.
В [79] показано, что при Л = Л„д достигается собственное состояние. При зтом те поля зд, для котоРых выполнкетсЯ Равенство оЕазд(тк) = О, Явлкютса собственными, т. е. они удовлетворяют системе (4.14). Из (4.28) следует, Глава 4. Потеря устойчивости ... 140 6оХыо(6) = 0 и равный нулю вследствие (4.11), но и абсолютный минимум (79]. Таким образом, для линейного тела при выполнении ограничений на характер деформирования неравенство (4.29) о1. является необходимым и достаточным условием отсутствия собственных полей (79]. Услсеия устойчивости и неустойчивости равновесных конфигураций, рассмотренные в начале 2 4.2.2, можно в соответствии с (4.28) записать в виде устойчива, не определена, неустойчива.
(О. ' равновесная конфигурация л — л. =0 >О (4.30) Из условий (4.30) следует в практическом смысле", что неравенство (4.29) является необходимым и достаточным условием устойчивости равновесных конфигураций. Таким образом, для линейного тела справедлив статический критерий устойчивости равновесных конфигураций: граница нагрузок, разделякпцая устойчивые и неусгаойчивые равновесные конфигурации, соотвеглствует наименьшей нагрузке собственного состояния Л„о. Лля линейных тел, вследствие независимости ок. от 6, усло- "Прн Л м Лмя статус рааноаесной конфнгурапнн по отношению к устойчивости не определен.
Раскрытие этой неопределенности имеет скорее теоретический, чем практический интерес. Например, прн пошаговом ннтегрнрованнн уравнений (4.12), (4.2) (см. часть П) Л принимает дискретные значения с маловероятным соапапеннем с Лмю что собственное поле чо доставляет функционалу оХ„о не только локальный минимум, являющийся решением вариационного урав- нения 141 4.3. Свкзь критических нагрузок вие (4.9) можно переписать в виде о1ь(Ьп) = — (~7(Ьп)': о~1,: Ф(Ьп) с(о1г > 0 (431) 2,/ ок Сравнивая функционалы о1ь в (4.31) и о1„я в (4.10), приходим к выводу, что области их определений и значений совпадают и функционалы идентичны.
Отсюда следует: для линейного тела достаточный критерий отсутствия бифуркации решений совладает с необходимым и достаточным критерием отсутствия собственных полей. Различаем два типа нагрузок собственного состояния Лия 12 (см. доказательство теоремы 1, 3 4.2.2): максимвльные12 и бифуркационные. При достижении нагрузкой Л максимального значения Л„.я решения задачи (4.12), (4.2), (4.7) с Л = 1 не сушествует (существует при Л = 0), поэтому для продолжения решения через точку поворота нельзя использовать нагрузку Л в качестве параметра деформирования 4 "4. Введем обозначения: Л„„— максимальная нагрузка; Лыу — нагрузка бифуркации решений; 1с14 такое, что Л(8е1я) = Л,щ.
Из пРоведенного выше анализа поведения решения в зависимости от характера нагрузки собственного состояния следует доказательство теоремы 2, характеризующей связь критических нагрузок линейного тела. Теорема 2. Расслзотрим два тпипа нагрузок собственного состпояния линейного тлела: (Ц Л„, = Л . у4 Лы,; (2) Лезу = ЛЬзу. л(лв каждого из этих типов сри4ествует Т > 1„4 такое, что для,аобого 1 Е (4егя Т)' (1) равновесные конфигурации неустойчивы; квазистатические движения леогдт быть устойчивььми. '~Здесь не рассматрнваютсв следуюпзне возможные типы собственного состоюпы: точка перегиба, изолированнав точка равновесии, точка возврата [14!. ~з При введеннык вьппе ограничениях на деформапию тела при Л = Лив точка поворота ввлветск точкой максимума. ы Метод дродолиеник решении через точку поворота представлен в 1 7.1.2.
Глава 4. Петера устойчивости ... (2) квазистпатпические движения тердютп устойчивость одновременно с потерей устойчивости равновесных конфигураций. 4.3.2. Нелинейные тела Рассмотрим функционалы единственности о1ь(Л6) и устойчивости о1„д(и). Области определений этих функционалов совпадают, но области значений различаются, поэтому для нелинейного тела функционалы единственности и устойчивости различаются. Функционал о1ьяд(и) однозначен, а функционал о1ь(Л6) в общем случае многозначен [47]~ь.
В (47, 73, 79] сформулирована и доказана Теорема 3. Область значений функционала о1ьв (и) принадлежит области значений функционала о1ь(Ь6). 1ьокАЭАтельстВО. Возьмем любое кинематически возможное поле и ~ О и определим разность Ь6 = и~ — 6з, где и' = и, 6г вв О. Отсюда следует, что для каждого поля и существует такое поле еь6, что о1ь(1ь6) = о1„д(6). 06Ратное невеРно, так как в общем случае для того же самого поля Л6 = 6 можно подобрать такие кинематически возможные поля из и 64, что о1ь(и' — и') М о1м,(и). Для нелинейного тела появляется возможность качественно нового типа бифуркации, принципиально неосуществимого для линейного тела.
Этот тип бифуркации, приведенный в формулировке теоремы 4, для общего случая деформирования впервые рассмотрен в (47, 73, 79]~в. Теорема 4. Для нелинейных (упругопластических) тел возможна бифуркация решений, соотпветстпвующих устойчивым равновесным конфигурациям. Таках бифуркацид может происходитпь тполько при возрастающей нагрузке.
1ь Пла двух различных пар разностей кинематически возможных полей скоростей вектора перемеьпений — (и', из) и (из, и") — разности могут совпадать: сьев = и — и = и — и, но значеник функпионала е1ь прн этом могут 1 различатьск: о1ь(и~ — из) Ф о1ь(из — и4). 'ерезультат, сформулированный в условии теоремы 4, в (47, 73, 79) прелставлен как обпзав формулировка и доказательство гипотезы Шепли о механизме потери устойчивости упругопластических систем.
4.3. Связь нритических нагрузок 143 ДокАзательстВО. Принципиальная возможность бифуркации решений для устойчивых равновесных конфигураций следует из условия теоремы 3. Действительно, условие (4.9) при некотором значении нагрузки Л может нарушиться, а условие (4.10)— остаться справедливым, т.
е. бифуркация решений может произойти, а равновесные конфигурации останутся устойчивыми. Предположим, что возможна бифуркации устойчивых решений при постоянной нагрузке А = 0 (симметричная бифуркация). Тогда существовало бы нетривиальное решение иг однородной системы (4.14) и условие (4.10) было бы нарушено для поля вектора чк.
Пришли к противоречию с предположением о справедливости условия (4.10). Некоторые задачи с бифуркацией решений для устойчивых равновесных конфигураций конструкций из упругопластического материала рассмотрены в (24, 84). Таким образом, для нелинейного тела задача по определению бифуркации решений не сводится н задаче по определению собсгпвенных состояний. Связь критических нагрузок потери устойчивости квазистатических движений и равновесных конфигураций для нелинейного тела перестает быть такой тесной, как для линейного тела (см. теорему 2 из 3 4.3.1). Если максимальная нагрузка является первой критической нагрузкой, полученной в процессе деформирования, то потеря устойчивости равновесных конфигураций может произойти без потери устойчивости квазистатического движения.
При деформировании тел из упругопластического материала чв сто встречается обратная ситуация: критическая нагрузка потери устойчивости квазистатического движения меньше критической нагрузки потери устойчивости равновесных конфигураций'7. В качестве гипотезы принимаем выполнение статического критерия потери устойчивости равновесных конфигураций для упруго- пластических тел'~. При выполнении этой гипотезы справедлива и Такое соотношение критических нагрузок впервые получил Шенли в экспериментальных исследованиях по потере устойчивости сжатых стержней из упругоплеетического материала В этих экспериментах стержни прн потере устойчивости изгибались без «хлопка».
'эДля нелинейных тел нет доказательства того, что критерий (4.10) является необходимым н достаточным критерием отсутствии собственных полей. Тем не менее представляется невозможным то, что при монотонном нагруженнн тела нарушение условия (4.10) происходит без появления собственных полей. Этот вопрос требует дальнейшего исследования, 144 Глава 4. Потеря устойчивости ... Теорема б. Если для нелинейного тела Лыу < Л„д, то потеря устойчивости квазистатического движения происходит с успьойчивыми равновесными конфигурациями.
ПокАзАтппьство. Из условия теоремы 1 (см. 3 4.2.2) следует, что при нагрузке Лыу происходит потеря устойчивости квази- статических движений тела. При выполнении статического критерия потеря устойчивости равновесных конфигураций не происходит при Л < Лсцг Из соотношения критических нагрузок, представленного неравенством в условии теоремы, следует доказательство теоремы. Т о, что задача по определению бифуркации решений для нелинейного тела не сводится к задаче по определению собственных состояний, затрудняет определение критических нагрузок потери единственности решения. В [47, 73, 79) вместо исследования на предмет бифуркации исходного нелинейного тела с потенциальной функцией оЕ предлагается исследовать линейное тело сравнения с потенпиальной функцией вЕс.
Конструировать потенциал линейного тела сравнения можно опираясь на теорему сравнения Хилла [47, 73, 79). Теорема 6, Если ф(Фп) = оŠ— вЕь — выпуклая функция своих аргументов и удовлетворен критерий отсутствия собственных полей (4.29) для линейного тела сравнения, то выполнено достаточное условие единственности (4.9) решений уравнений (4.12), (4.2) для нелинейного тела. В [47, 73, 79) показано, что для тела из упругопластического материала потенциальная функция линейного тела сравнения вЕв получается при игнорировании условий разгрузки в определяющих соотношениях.
Для этого в (2.80) величина с, определенная в (2.81), переопределяется как (4.32) 1, если 1'д — — О. Обозначим тензор определяющих соотношений для линейного тела, определяемый соотношениями (2.80), (4.32) с заменой (2.86), через вас . С помощью тензора ок. по формулам (2.33) обЕР1 ЕР/ разуется потенциальная функция вИ', а тензор о~ь получается при использовании этой потенциальной функции и связи потенциалов (2.38) или прямо из формул связи (2.35). Замена (2.81) 4.3. Связь критических нагрузок 145 на (4.32) означает игнорирование условий разгрузки с законом упругого деформирования для достигнутого пластического состояния материальной частицы.
Таким образом, игнорирование разгрузки с законом упругого деформирования19 приводит к критической нагрузке Л, собственного состояния линейного тела сравнения, которая дает оценку снизу критических нагрузок потери устойчивости квазистатических движений и равновесных конфигураций исходного нелинейного тела. В (20, 22, 24) показано,что критическая нагрузка Л, является точной нижней гранью критических нагрузок бифуркации решений задачи по деформированию упругопластического тела (критерий равноактивной бифуркадии)20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
