1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Как отмечалось в 21.2.7, если при абсолютно жестких движениях окрестности материальной точки (д = 0) из определяющих соотношений следует Б = О, то в силу (1.40) получаем .72(Б') = О. Выполнение этого равенства важно для исключения появления пластических деформаций при таких движениях. Справедливо равенство [83, 9б, 100[ ,72(Б ) = Б : Б Эта формула важна, поскольку является аналогом формулы ,72 = о': (т, используемой для определения явного вида тензоров й~ ~ и Сн 7. Для формулировки определяющих ссютношений упругопластического материала при произвольной величине деформаций используем 11Ь-подход. В [88[ отмечается, что производная по времени тензора напряжений Коши не имеет механического смысла, так как этот тензор характеризует силу, отнесенную к площадке в актуальной конфигурации, а сама эта площадка изменяется во времени.
Кроме того, при использовании производной Бэ в определяю1цих соотношениях нельзя получить вариационную формулировку квазистатической задачи относительно скоростей [79). 2.3. Термоупругопластический материал ... Последнее обстоятельство приводит к тому, что при конечно- элементной дискретизации уравнений в слабой форме касательная матрица жесткости получается несимметричной [106]. Один из путей преодоления этой трудности состоит в замене тензора напряжений Коши тензором напряжений Киркгофа (характеризующим силу, отнесенную к площадке в отсчетной конфигурации), что можно сделать для малых упругих деформаций в силу (2.88). Для П подхода тз совпадает с ал.
В этом случае можно сформулировать вариационный принцип относительно скоростей [73, 79] (см. гл. 3), а касательная матрица жесткости при конечно-элементной дискретизации уравнений будет симметричной [97]. Делаем второе обобщение определяющих соотношений (2.84) для больших деформаций в виде [73, 79] (2.90) -ЕР Тензор четвертого ранга ~~ получается следующими заменами в тензоре к. ст — +в, ст-та, е-+сз Диаграмма одноосного деформирования для определения Е, Е~ и Е, строится в осях <логарифмическая деформация истинное напряжение» [83].
Потенциальная форма соотношений (2.90) имеет вид (2.46) с ЕР заменой тензора ~~ тензором ~~ при определении потенциальной функции ~Н по формуле (2.47), при этом ~Н -. однородная функция второй степени (но необязательно квадратичная фор-ЕР ма). При отождествлении тензора ~~ с тензором ~С справедливы альтернативные формы определяющих соотношений (2.50), (2.51) с учетом (2.54).
2.3. Термоупругопластический материал, для которого учитываются деформации ползучести В разделе 2.2 рассмотрены неупругие деформации, вызванные приложением внешних нагрузок, так что фактор естественного времени здесь не играет роли. Однако имеются эксперимен- 104 Глава 2. Онронелвюнше соотношении механики ...
тальные данные, которые не описываются уравнениями упруго- пластического деформирования. Например, в случае фиксированных внешних нагрузок в конструкциях из некоторых материалов (металлы, пластмассы, дерево и т. д.) развиваются во времени неупругие деформации. Наоборот, при фиксированных деформациях с течением времени наблюдается релаксация напряжений. Эти явления получили название ползучести материалов. В экспериментах также отмечается увеличение деформаций ползучести с ростом температуры. Для описания поведения таких материалов вводим определяющие соотношения термоупругопластического материала, для которого учитываются деформации ползучести )40, 41, 49, 52, 115). 2.3.1. Геометрически линейное деформирование тела Принимается Основная гипотеза.
Скорость тензора деформаций Коши й можно представить в виде аддитивного разложения на упругую и', пластическую и", ползучую й' и температурную и составляюи1ие: е=е +е +е +е (2.91) Скорость тензора упругих деформаций и' связана со скоростью тензора напряжений Коши сг законом Гука д =Ен:е'. Скорость тензора пластических деформаций ев определяется из закона пластического течения вида (2.78): ео = Ло'. Здесь 3 е" Л= — —, 2 й где эффективная пластическая деформация Р определяется формулой (2.62), а эффективное напряжение (интенсивность напряжений) й — формулой 3 й = — о'~: ст~ = 1/О2.
2 В случае пластического течения Л ) О. 2.3. Термоулруголластичесиий материал 105 Скорость тензора деформаций ползучести й' определяется из закона ес = Тсуи Здесь 7 2 д (2.92) ж —= ,~'~2/3) ': ' — фф р ф р зу чести. Величину Л находим на основе данных, полученных из диаграммы одноосного растяжения прн сравнительно быстром нагружении образна (секунды и минуты), а величину у определяем с помощью характеристик, полученных из аналогичной диаграммы при медленном нагружении образца (часы и сутки). Скорость тензора температурных деформаций е~~ определяется из закона Дюгамеля — Неймана с и с са + зб+ей+ (2.93) где лсЕ об = ъ.
ь1еь1, Отметим, что скорости температурных деформаций вычисляют- ся с помощью заданного поля температур в явном виде, Скорости деформаций ползучести зависят только от текущих напряжений, но не от их скоростей. Здесь са„, — коэффициент температурного расширения, Π— те. кушая температура.
Отметим, что при отбрасывании скоростей температурных и ползучих деформаций приходим к определяющим соотношениям теории пластического течения для упругопластического материала (см. 2 2.2.1). Приведем компонентную запись определяющих соотношений термоупругопластического материала с учетом деформаций ползучести в декартовой системе отсчета.
Компоненты тензора скоростей деформаций представим в виде Глава 2. Опрелеляюшие соотношения механики . 106 Из (2.91), пользуясь обозначениями 2 2.2.1, получаем следующие соотношения16: ст=к.:(е — е — е ), (2.95) где тензор четвертого ранга к. зависит как от текущих компонр цент тензоров напряжений и деформаций, так и от их скоростей. При отсутствии пластических деформаций тензор С ' превранр шается в тензор к..
Скорости деформаций ползучести определяются с помощью закона степенной ползучести е' = аес ('2. 96) где ар, ат, аэ — константы ползучести, определяемые из эксперимента на одноосное растяжение. Закон (2.96) при ая = 1 называется законом устпановившейся по,язучести [40). Лля степенного закона ползучести (2,96) из (2.92) получаем 3 у= — ава пег 11ЯЯ ~.
2 Приведем потенциальную форму определяющих соотношений (2.95): сИ'(е) гй (2.97) где 1. кр И (е) = — е: к.: е — е: и: (е'+ е ). 2 '~В разлеле 2.3 поп тензором ю~~ понимается тензор опреягляюшпх соотношений теории пластического течения ю ' 2.3.2. Произвольная величина деформаций Обобщение определяющих соотношений термоупругопластического материала с учетом деформаций ползучести, представленных в 2 2.3.1, для произвольной величины деформаций проводим аналогично тому, как это сделано для определяющих соотношений упругопластического материала в 3 2.2.2. Прн малых деформациях тела (но больших поворотах и перемешениях) проведем замену (2.86) в соотношениях 3 2.3.1.
Обобщая (2.95), получаем соотношения я = о~ко: (Š— Е' — Епз). (2.98) 2.3. Термеуиругоиластичесхий материал ... 107 Записанные в потенциальной форме, они имеют вид Дой~(Е) ДЕ где ДоЕ(Е) ДР где 1 ° 1 оЕ = — Е: ах . 'Е+ — В: (~ Е) — Е: 01ссс: (Е'+Е "). 2 2 (2.100) В формуле (2.100) предполагается, что материальная производная тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через материальную производную тензора градиента деформаций Р при помощи (1.61).
Обобщение определяющих соотношений (2.95), (2.97) для произвольных деформаций тела сделаем с помощью 1Л -подхода. Имеем [117) Н ~ЕР . (д дс ~сЛ Потенциальная форма соотношений (2.101)— д,н(д) Дд (2.101) (2.102) где ,Н = — -д:1СЕ~: д — д: 4: (д'+д'"). (2.103) 2 Альтернативная форма определяющих соотношений (2.102) имеет вид 0 ~ЕР, 1 ~ЕР . (Дс 1. Д1Л) (2.104) 1 ойс = Е ' оСер: Е Е: оСеР, (Ес+ Е1л) (2 99) 2 Альтернативная форма определяющих соотношений (2.98) имеет вид Р ~~~ аи аи1 [ ~ЕР . (Ес + Е1Л)[ в потенциальной форме зти определяющие соотношения записываются ках 108 Глава 2. Определяющие соотношения механики ... В потенциальной форме соотношения (2.104) записываются следующим образом: о ЮкЕ(1) Ы1 где (117) еŠ— = — 6: 1~: г1 — в: (с1 г1) + — в; (1 1)— "ЕР.
2 2 г1. ~еР, (,1е+ дай) 1 = 1Н вЂ” 8: (Й ' д) + — в: (1 1). 2 В заключение отметим, что не все формы определяющих соотношений равноправны. В формировании определяющих соотношений должны участвовать объективные тензоры напряжений и деформаций и объективные скорости этих тензоров. Только после этого можно выписывать альтернативные формы определяющих соотношений с несимметричными тензорами напряжений и деформаций и их скоростями, пользуясь формулами связи, представленными в этой главе. Глава 3 СЛАБЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В предыдущих главах представлены кинематические связи, уравнения движения и определяющие соотношения, используя которые можно получать замкнутые системы нелинейных уравнений, описывающие деформирование твердых тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
