1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Справедливо утверждение общего характера. У'тверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобшаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши сг, тензора деформаций Коши е и их скоростей д, е соответственно вторым п1ензором напряжений Пиала — Кирхгофа Б, тенэором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными Я, Е.
При такой деформации пьенэоры Я и Е имеют простую механическую интерпретацию: компоненты этих тенэоров приближенно равны компонентам тензоров д и й, полученных из тензоров о и е операцией поворота, осуШествляемой ортогональным тензором В.. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент. этих тензоров, т. е. Я о, Е ж е, Я - о, Е в. Проведенный анализ эффективности использования тех или иных определяющих соотношений упругости в условиях малой деформации тела важен для выбора наиболее эффективной формулировки уравнений при решении нелинейных задач о дефор. мировании тонкостенных конструкций (стержней, пластин и оболочек)..Пля них прн изгибе, как правило, выполняются требования малости деформаций. Поэтому для формулировки ургзне- 79 2.1.
Упругий материал ний, описываюших изгиб тонкостенных конструкций рекомендуется использовать пару сопряженных тензоров напряжений и деформаций Б, Е, а при упругом деформировании — определяющие соотношения гиперупруюго материала (2.14). 2.1.4. Несжимаемый гиперупругий материал Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел.
Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция Ф должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа Х1(Е), Х2(Е), Хз(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию В'(Х1, Х2, Хз) прямо использовать нельзя вследствие тою, что материал резины предполагается несжимаемым (,Х = с(е1Г = 1), так что справедливы равенства (1.46).
Условие несжимаемости формулируем с поькяцью правого тензора деформаций Коши— Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е нерпой формулой (1.49): Хз(С) = йе1 С = 1. (2.28) Таким образом, потенциальную функцию для несжимаемого гиперупруюго материала следует формулировать в терминах независимых инвариантов Х1(С), Х2(С) тензора деформаций Коши — 1'рина при выполнении условия (2.28). Обозначим зту потенциальную функцию через И~. Для несжимаемою гиперупругого материала Мулл — Рнвлина [36, 46] потенциальная функция Й~ постулируется в виде Ф[Х1(С), Хэ(С)] м С1[Х1(С) — 3] + Сз[Х2(С) — 3], (2.29) где С1, С2 — константы Муви — Ривлина.
Можно выбрать два варианта вывода определяющих соотношений для материала Муни — Ривлинае. ° Получить потенциальную функцию Ф(Е) с помошью связи тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа (1.49): й'(Е) = й"[Х1(2Е+ 8), Х,(2Е+ 8)], Явный еид этих соотношений приведен а 6 6.2.3. 80 Глава 2. Опрелелвюшие соотношения иехавини ... а затем воспользоваться определяющими соотношениями (2.14) с учетом условия несжимаемости дел(2Е+ и) = 1. а Переформулировать определяющие соотношения (2.14) для третьей пары сопряженных тензоров напряжений и деформаций в (1.105): (Я/2, С). Вместо (2.14) использовать альтернативную форму определяющих соотношений НФ(С) у дФ(Сы) дй' дФ при выполнении условий (2.28).
Если константа Сз = О, то материал Муни — Ривлина переходит в несжимаемый гиперупругий материал Трелоара (неогуков материал) (36, 46]. 2.1.5. Определяющие соотношения упругости, записанные относительно скоростей Дифференцируя по времени левую и правую части (2.14), получаем определяющие соотношения гиперупругого материала, записанные относительно скоростей: В =о~;Е <=о Уз =ой~ Еы, (2.30) где е(2И~(Е) уы д2~~(Евв) и и — тензор четвертого ранга, левый нижний индекс 0 которого указывает на (возможную) параметрическую зависимость компонент зтого тензора от компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа. Тензор ое. обладает следующими симметриями: ~вуы Соотношения (2.30) можно переписать в потенциальном виде в силу главной симметрии тензора еК: В ~~(~) У~ ~~(Аы) ~~ ~~ (2 32) 81 2.1.
Упругий материал Здесь ей'(Е) — квадратичная форма, имеющая по теореме Эйлера об однородных функциях следующую запись в явном виде: 1 ° ° 1 . ойг(Е): — — Б(Е): Е = — Е: о~: Е 2 2 зуИ ' (2.33) оз о)(г = Я~УЕ1 Еу обпиЕи 2 2 Аналогично из второго соотношения (2.16) получаем альтернативные определяющие соотношения гиперупругого материала, записанные относительно скоростей 162) з: Р=о~:Е ео Р" =о~и Еи. (2.34) где д Е(Е„) дЕ0 дГ~' Тензор четвертого ранга ок. в общем случае обладает только главной симметрией ~бИ ~Иц' Пользуясь (1.61), (1.91), (2.30), (2.34), получаем связь контрава- риантных компонент тензоров ее. и о К в материальном отсчетном базисе (62): бди р1 бебр1 рй + "1вЕП (2.35) Запишем соотношения (2.34) в потенциальном виде; с(оЕ(Е) ., доЕ(Еи) где еЕ(г") — квадратичная форма, которую представим в явном виде: 1 ° ° ° 1 ° оЕ(Е) аз — Р(Е): Е = — Е: о1~ '- Е <=» 2 2 '0' 1 ' ПИ' оЕ = — РПЕз3 = — Р;уо~п 'Еи.
(2.37) То же самое можно было бы сделать и для первого соотношения (2,16). Подобные определякзпзие соотношения, сформулированные относительно скоростей, приведены в [78], но вместо пары тензоров (Р, У') там рассматривается другая пара сопряженных тензоров — (Р, Я). Глава 2. Онрелеляюшие соотношение механики 82 Потенциальные функции связаны соотношениями 1 1 ОЕ = ОИ + — 8: (~ Е) = ОИ" + — В: ('Н Н) = 2 2 1 =ОИг+ — Б: (Фп-(Фп) ]. 2 (2. 38) В декартовой системе отсчета соотношения (2.33), (2.37), определяющие потенциалы ОИ' и ОЕ, переписываются в виде 1 1 ОИ' = — 813Е3 = — ЕВО~0м Еап 2 2 1 °, 1, ОЕ = 2 рбпйу 2 пй1обпм™ар (2.39) а формула связи (2.38) этих потенциалов имеет следующую за- писан 1 ОЕ = ОИ'+ — Я~пабпаО. (2.40) Перепишем определяющие соотношения гиперупругого материала (2.30) в виде обобщенных определяющих соотношений гипоупругого материала (2.23), воспользовавшись для этого формулами (1.б4), (1.95): тс 1й ( .(.~,1 Е)) ~- ,У (2.41) Введем тензор четвертого ранга ~С, связанный с тензором Ок.
фор- мулами преобразования компонент вида (2.20): 1 с = — в до лбы — ь Оч' иве Еа р~ ~ ~бы ~ый бьи) =,7 т е С помощью тензора ~~ соотношения (2.41) перепишем в оконча- тельном виде: Тт13 ~ум1 (2.42) дамур(с)) тт13 дЯ~(г(ы) дюИг д~Иг й1 д4 ' д4 дс(,, ' Запишем определяющие соотношения (2.42) в потенциальном ви- де: 2й. Упругий материал 83 где Тг сИ1(с1) = — в~"(д): г1 = — д: ссй: с1 (2.43) с» сИ1 = — з с(с = — с(с, сС с(ьс.
тг су суп 2 2 Пользуясь связью производных Трусделла и Хилла тензора напряжений Коши (см. (1.96)), соотношения (2.42) перепишем в виде з = сс8: Й + з . с1 + с1 з. С помощью тензора сй с компонентами [88] 1 2 ~СяйС оСЗЬС ( СЬ 3С уа з! „и уй+ ЗЗС Са) =с 34УЬС сгаСС1 ~1СаС (2.44) запишем определяющие соотношения гиперупругого материала (2.44) в следующем виде: ~.,1 псу ~сяьс,( (2,45) а также в потенциальной форме: (,Н(а) „,, Э,Н( („,) ссссо дссс где 1 и 1 сН(~) = — "(~): 1 = —:,Е: а (2.47) сН = — я 'с(с, = — с(с,сааб с(ьс нс', 1 "с яи 2 з 2 Потенциалы сН и сйс связаны соотношением сй'= сН вЂ” з: (с1 с1).
(2.48) В определяющих соотношениях гиперупругого материала (2.34) используются материальные производные тензоров Р и Р. Пользуясь (1.99), (1.31), преобразуем (2.34) к следующему видую: во 1 [оа, .(1. Р)[. У .У (2.49) шВ (2.49) используется пара несимметричных тензоров скоростей напряжений и деформаций во и 1.
Аналогичное соотношение можно написать для пары тензоров в и 1. Глава 2. Онределяшпсие соотношения механики ... Введем тензор четвертого ранга сй, обладающий главной сим- метрией где ,Е(1) гн — в (1): 1 = -1: 4: 1 ео 1 О 1 2 2 4О сЕ= — я ' (су —— — 1с1Ф 1ьь Оц... цы 2 2 Потенциальные функции сЕ и сИс связаны соотношением 1 1 сЕ = сИ~ + — в: (1 1) = сИ" + — в: ]'(узс . (~Узс) ]. (2.53) 2 2 Из (2.48) и (2.53) получаем связь потенциалов,Е и,Н: сЕ = сН вЂ” в: (с1 с1) + — в: (Х 1). 1 2 (2.54) В декартовой системе отсчета потенциалы сИ', сН, сЕ, определенные в (2.43), (2.47), (2.52), записываются в виде Те — ац «ц — с1ц с~,ьс~ьс, сН = ЯсбсХВ = с(сз соцясс(кс~ (2. 55) = — Я псй = — псй Яцын,,с. Осс 2 ' 2 В этой системе отсчета они связаны формулами сИ = сН згФьАь1 1 сЕ = сИ~+ — з13енсиь 1 сЕ = сН вЂ” я134ссс(ау+ — зс1еь,сеьо.
2 (2.52) (2.55) СВ" = — ЕУ Сс""Г', Сц" = Сыц. — ее .7 с =с С помощью этого тензора определяющие соотношения (2.49) и, следовательно, (2.34) переписываются в виде ВО С~: 1 ЕС яоц Сц~С(ЬС = Сй с~СтуСССЬ (2 50) Соотношения (2.50) можно записать в потенциальной форме: ,О с(сЕ(1),О ц д сЕ((ы) ( ) (1 ' а1,, 2.2. Упругоппастичесаий материал 85 Для упругих материалов можно получить ряд формулировок для определяющих соотношений (2.17), переписанных в скоростях, в зависимости от используемых производных индифферентных тензоров напряжений я и деформаций е. Рассмотрим только одну модель упругого материала — линейного упругого изотропного материала в предположении малой деформации тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
