1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При таком опреде- з'Справапливо равенство т: !в с) = т: (1а »Г)~. Поэтому когда г: !и 1»- т: Й, то в том же приближении т; (!в з»') т: с!. При выполнении последнего приближенного равенства левый тензор логарифмических деформаций !п »Г можно считать сопряженным тензору напряжений Кирхгофа т. Если прн определении сопряженной пары индифферентных тензоров напряжений и леформапий в (1.110) ~»и заменить на ш, то пару индифферентных тензоров (в, !п»У) в том же приближении можно рассматривать как сопрюкенную. Если в (1.110) вместо короталионной производной Грина — Макнннеса (!п»»)о использовать индифферентную коротапионную производную (!и'»Г) (названную в (3) производной Рейнхардта — Люби) такую, что выполняется равенство д = (!п'\l)п (см.
также [121]), то пары (т, !и »Г) и (з, !и!г) становятся е точности сопряженными (длв последней пары надо также в (1.110) заменить в» на и»). 1.5. Уравнения движения 59 ленин пар сопряженных индифферентных тензоров в (1.110) заменили короталионную (индифферентную) производную Грина— Макиннеса индифферентной производной Каттера — Ривлина, которая не входит в класс коротационных производных. Однако для этих пар сопряженных индифферентных тепзоров нет аналогов среди пар сопряженных инвариантных тензоров напряжений и деформаций.
1.5. Уравнения движения 1.$.1. Уравнения движения в актуальной конфигурации Постулируем (векторное) уравнение баланса количества движения (уравнение движения Коши) в текущей конфигурации (1. Ш) и (векторное) уравнение баланса момента количества движения (уравнение движения Коши для моментов) рх х (1' — а)аЪ'+ х х 1 да = О ив С К (1.112) Здесь 1' — вектор массовых сил; а — вектор ускорения, определенный в (1.23); с — вектор истинных напряжений Коши, действующий на граничной площадке дю. Вектор $ имеет тот же самый смысл, что и вектор С~о1 в (1.72), но здесь индекс (н) опущен, так как в (1.111), (1.112) под единичным вектором нормали подразумевается вектор внешней нормали и к поверхности доь Знаком х обозначена операция векторного произведения.
Область ы, ограниченная замкнутой поверхностью дю, — произвольная подобласть области Ъ' (аксиома локализации). Из уравнения (1.112) следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно, и тензоров напряжений В, т, т, Б(з), Я1 з), в~э), в( 91. Пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского и представлением вектора истинных напряжений Коши $ = и я (см. (1.74)), Глава 1. Основные положения механики сплошной среды 60 из (1.111) находим" (т7 . з + р(С' — а)] сЛ' = О. (1.113) Отсюда в силу произвольности области оз получаем (векторное) уравнение движения, которое вместе с граничными условиями за- писывается в видезз: чу з+ РС'= ра в г", и = и* на Я„, (1. 114) на Ят, где Я„и Яг — части граничной поверхности Я = Я„0 Яг, на которых заданы компоненты векторов и и С соответственно.
Здесь и далее знак * обозначает заданную величину. В декартовой системе отсчета система (1.114), записанная через компоненты, имеет следующий вид: Явз,з + Р1ч = Рйз ан =и" 1 язупу = С в 1', на Я„, на Бт 1.5.2. Уравнения движения в отсчетной конфигурации Запишем уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности в переменных Лагранжа): с)Р ор,1а1, (1.115) Пользуясь (1.115), (1.73), перепишем уравнение баланса количе- ства движения (1.111) для произвольной подобласти Й С в отсчетной конфигурапии, ограниченной замкнутой поверхно- мВ уравнении (1.113) предполагается, что интеграл вычисляется в переменных Эйлера 9'„поэтому для дивергенции тензора напряжений Коши я используется обозначение т я.
Можно, эквивалентно, этот интеграл вычислять в переменных Лагранжа 6', тогда для днвергенпнн тензора я надо использовать обозначение т я. ~~Уравнение движения в (1.114) приведено в переменных Эйлера. Лля записи этою уравнения в переменных Лагранжа надо заменить т я на СУ я. 1.5. Уравнение движение 61 стью дйзе: Здесь Т вЂ” — вектор условных напряжений Коши, характеризующий элементарную силу, действующую на граничной площадке дю,но отнесенную к элементарной площадке с(А е дй с единичным вектором внешней нормали Я в отсчетной конфигурации (см.
(1.72)). Пользуясь представлением вектора Т = Ы 'Р (см. (1.74)) и теоремой Гаусса — Остроградского, из (1.116) находим (Ф Р+ р(1' — а)) 007" = О. | ~ О ~ 0 ж (1,117) В силу произвольности области й из (1.117) получаем (векторное) уравнение движения, записанное в отсчетной конфигурации, которое вместе с граничными условиями имеет следующий нидза: (1.118) Здесь ~Я„и опт — части граничной поверхности ~Я = ~Яв 0 ~дт в отсчетной конфигурации, переходящие соответственно в Я„и Ят в актуальной конфигурации, на которых заданы компоненты векторов и и Т.
Получим альтернативную форму системы (1.118), воспользовавшись симметричным вторым тензором напряжений Пиола— 24 Предполагаетск, что область й в отсчетной конфнгурапни, ограниченнад замкнутой поверхностью дй, перюсодит в актуальной конфнгурапнн в область м, ограниченную замкнутой поверхностью ди. ~~Система (1.118) записана с помопзью номинального тензора нвлркженнй'Р. Если длк формулировки такой системы желательно использовать первый тензор напркжений Пиола — Киркгофа Р, надо в (1.118) провести замену Р на Р'.
Ф Р+ р1'= ра и=п" Х Р=Т" в 011 на Бт о Глава К Основные положения механики сплошной среды 62 Кирхгофа Б(2) и принимая во внимание связь тензоров Р и Б(2) (см. (1.80)): в Ор- на Я„, о на Бт. (1.119) Еще одну форму представления системы (1.118) получим, выражая тензор У" в (1.119) через тензор градиента перемещений Я с помощью (1.14): (1.120) Приведем запись этих систем через компоненты в декартовой системе отсчета. Используя компоненты Ру первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р = Р; )с 8 1сз, систему (1.П8) записываем следующим образом: Р;Б+ рД= рй; в Ъ', о о -, о в( = м на ~Я„, РО Ц = T;" на 0$Г. в Ъ', на ~Я, на Ят, а система (1.120) — вид: (Я;, +пйаБау)(,+ рД= рй* (2) (2) 0 0 И~=Я Ф ° (Б( ) ° ~) + р1' = Ора и = и* Х.
(Б(2) . У) — т" з)' (Б(2) + Б(2) '~7п) ( Ор1' Ори и = и' Х (Б"'+Б") Фп) ='Х* Система (1.119) приобретает вид: (х(аБ„, )Б+ Иь = рй (2) О О и, =и,". (хцйЦку )))51 = 27 (г) в 0)- на Я„, ОБ в 01' на Я„, на Яг. 1.6. Урвинения движения 63 1.5.3. Уравнения движения, записанные относительно скоростей, в отсчетной конфигурации Лифференцируя уравнения и граничные условия по времени в системе (1.118), получаем: Ф 'Р+ рГ= ори п = п* (1. 121) в ОЪ на Я„, на Ят. Поступая аналогично с системой (1.119) (или подставляя в (1.121) выражение для )о из (1.91)), имеем: Ч (8<г) ~+ЗР> .г )+ор(=ора в'1 п = п* на ~Я„, (пР) к+и(г) ~) т* наоо, Из (1.120) следует: ~, (фг) + фг) '(уп+ ~(г) .
асуп) + ор1' о,а в а~, п = п* на ~Я„ (1.123) в1 ° (ЙР) + Й(г~ Фп+ Я(г) ° Фп) = Т* на ОЯ (1.122) Представим уравнения движения и граничные условия, запи- санные относительно скоростей, в компонентах в декартовой си- стеме отсчета. Системы (1.121)-(1.123) будут иметь следующий вид: ° система (1.121)— '* о Й; = и; на Я„, Р;гФ~ = Т' на $т, ° система (1.122)— (жйФЯ„+ хм,Б„, )Ь + РЛ = Ра1 в Ъ', 'Р) Р) о ' о. о и;=Й," на Яв (х;ао' +кйьЯя )Ф =Т» на Бт, ;л) . (г) о Глава 1. Основные положения механики сплошной среды ° система (1.123)— (Яп +ий„Я„, (г) . (г) и; =и,". (~зу + пз|Фау (г) .(г) +из~„Я„|) У+ РУа — Раз (г) е ' о . в $', на Яе, е на Ят.
+ пз(аЯ„. )Фу = ~1 (г) 1.5.4. Уравнения движения, записанные относительно скоростей, в актуальной конфигурации Для того, чтобы представить в актуальной конфигурации уравнения движения и граничные условия, продифференцирован- ные по времени, используем Ш подход. Совмещал отсчетную кон- фигурацию с актуальной, из (1.121), (1.100) получаемге: ту в + р Г = ра в к', ъ =и* на Яв, (1.124) и в~ =1* на $т. Принимая во внимание формулу (1.96), получаем другую запись системы (1.125) (с использованием производной Хилла): ~г . (вл — в. с( — с1 . в + в ° '(7т) + рГ = р а в ~l, и = т* на Ьв.
(1.126) и (в~ — в с( — «1 в+в.'зут) = Ф* на 5т. В декартовой системе отсчета система (1.124), записанная через компоненты (для удобства используем компоненты тен"о- зеВ системе (1.124) используется производная тензора напряжений Коши в . Лля тою, чтобы получить аналогичную систему уравнений и граничных воловий с помошью производной ве, надо в системе (1.124) сослать замену в = ве . Пользуясь первой формулой (1.98), систему (1.124) перепишем, используя производную Трусделла: зу (в "+в '(7т)+рГ=ра в1", т=ъ" на Яв, (1.125) и (в~ " + в %Ъ) = Ф* на Ят.
Цб. Уравнение движение ра яб), имеет следующий вид: з,".+рД=ра; вЪ', о;=о"; на $, з;ру — — г~ на $т; система (1.125) принимает вид: (з,~у + и; йзйу)д + рЛ = ра; в к", ю~ = и на $„, (з, ' + гл йзйу)пу = (," на $т, а система (1.126) будет вида: Н (зб — з;ййй — г)чйзй + о, йзйз)а + рД = ра; кт = 0~ (зб — з1йдйб — Айзйз + ФУФ,йзйз) пз = ЗФ Н вГ, на$, на $т.
м отметим, что при геометрически линейном деформировании (транслкционные) леремешеник материалыпах частиц тела могут быть большими, но их повороты должны быть малыми (В, ш И). 1.5.5. Уравнения движения и их запись относительно скоростей при геометрически линейном деформировании тела При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши и, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши о. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частил тела В.
Деформацию тела при выполнении зтого условия назовем геомегаричесии линейной или бесконечно малое~~. Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций и и напряжений о назовем геометрически линейным или М1чО (шатает)а1 поп))пеаг оп)у) подходом. При атом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. Глава 1.
Основные положеюы механики сплошной срелы 66 Уравнения движения для ММО-подхода рассматриваем только в отсчетной конфитурации~: Ог,г на о'в, о о~ ~~Актуальная конфигурация (после исключения возможного трансляционного перемещения тела) почти не отличается от отсчетной. Д о+ орР ора в о)г и= па на ~Я„, (1.127) 1ч о =х* на Бт. В декартовой системе отсчета эти уравнения имеют следующую запись в компонентах: о о- о о;щ+ рД= рй, в г, Яг = ИГ ~и 1 (1.128) оггФ~ = Т;" на Бто Дифференцируя по времени соотношения 11.127), получим: Ф о.+рГ= ра в $', й = и* на оч (1.129) Я о=Т+ на опт, В декартовой системе отсчета система (1.129) имеет следующую запись в компонентах: е' о-, ог,щ+'рУ = ра* И,=и1 о.ц111 = Т;" Глава 2 ОПРЕДЕЛЯЮШИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
