1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тензоры второго ранга кг и у называются соответственно инвариантныжи и индифферентными относительно преобразования (1.21), если ~*(х') = ~г(х), у'(х') = Я у(х) . Я . (1.22) Нивсе показано, что величина У в (1. 18) является той же самой величиной, которая введена в (1.8). Кажлое из движений х, х' не является в обшем случае жестким. 1.2.
Кинематика яеформарованик Эти тензоры составляют класс объективных тензорее, так как при жестких движениях окрестности материальной точхи компоненты инвариантных тензоров не изменяются в материальном отсчетном базисе, а компоненты индифферентных тензоров — в материальном текущем базисе. При преобразованиях вида (1.21) тензоры У, Р, О, С изменяются по законам д~ С цт т.
е. они не инвариантны, не индифферентны, а следовательно, и не объективны. Также не объективны и тензоры Я, Н, К, К. 1.2.6. Дифференцирование тензоров по времени Напомним определения производных по времени. а Локальная производная характеризует изменение величины в фиксированной точке пространства: д( ) д( ) д1 дФ ~е'=коан ° Материальная производная следит за изменением исследуемых величин в фиксированньпс материальньпс точках: (.) — =— д( ) д2 ~Ф=кааа~ Введем векторы скорости ч и ускорения а: (1.24) ч=х=п, а=ч=х=п. (1.23) С помощью вектора скорости ч устанавливается связь между материальной и локальной производными: ()= — +ч %'(). д() д1 В частности, нз (1.23) и (1.24) получаем известные соотношения дп дк ч= — +ч зуп, а= — +ч за.
д$ ' д2 Локальная производная используется при эйлеровом описании процесса деформирования, а материальная производная — при лагранжевом. В М21ТТ, в основном, пользуются лагранжевым описанием деформирования сплошной среды, поэтому в дальнейшем локальные производные величин не рассматриваются. Глава 1. Основные подомсениа механики сплошной среды В [43! показано, что материальная производная тензора является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выраженим для компонент материальных производных тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Лагранжа). Так как базисные векторы е, (е') неизменны во времени, для произвольною тензора второго ранга Ь Ь = Ьбе1 З е = Ь1 е' З е'.
Ь = Ьбе1 З е = Ь; е' З ез Сложнее обстоит дело с векторами и тензорами, определенными компонентами в пространственном или материальном текущем базисе. Лля произвольного тензора второго ранга Ь, определенною разложениями по пространственному базису (в переменных Эйлера), получаем (43) Ь=ЬОе;Зе =Ьбе'Зе1, Ь = Чзе; З е = Ь; е* З е' где Ь'3: — Ч3 + и" (Ь13Ца + Ь'1Г~~,), Ь; = Ь . — иа(ЬВГ1ы + ЬоГ1а ).
В декартовой системе отсчета символы Кристоффеля равны нулю и компоненты материальных производных тензоров совпадают с материальными производными компонент тензоров, т, е. В такой системе координат из (1.23) получаем т=х;$ц=и;1с;, а=й;1с;=й;1сь 1.2.7.
Конвективные производные тензоров Материальная производная индифферентного тензора не является в общем случае индифферентным тензором. В связи с этим кроме материальных производных вводим другие определения производных (скоростей изменения) по времени тензоров. Материальные производные определяют скорости изменения тензоров в фиксированных материальных точках, гипотетический наблюдатель определяет скорости изменения тензоров в этих матери- 1.2.
Кивематика деформировавия 29 альных точках, находясь в неподвижной системе отсчета'". Скорости изменения тензоров в фиксированных материальных точках, измеряемые производными их компонент в системах координат, совершающих движения относительно системы отсчета, называются конвекзпивными производнььми (скоростями изменения) тензоров. Наблюдатель «вмораживается» в этн движущиеся системы координат и определяет скорости изменения тензоров относительно них.
Определим две конвективные производные относительно лагранжевой системы координат тензора второго ранга Ь, представленного разложениями по материальным текущим базисным векто1ззм: Ь = Чуе; а е, = Ь;,е' Э е' =ь =ь 1з'" =— Ь'уе; ® е, Ь~~: — Ь, е' ® ез. (1.25) Тензоры второго ранга Ь'и и Ь~л называются соответственно производными Олдройда и Каттера — Ривлина тензора второго ранга Ь. Онн связаны с материальными производными выражениями 1зсн 1з 1 1з 1з 1 1зсн 1з+1. 1з+1з 1 (1 26) Здесь введены несимметричные тензоры 1 = 1, 1 = '17и.
Тензор второго ранга 1 называется тензором градиента скорости, 1 — транспонированный к нему тензор. В соответствии с (1.2) представим тензоры 1, 1 в виде сумм симметричной' и антисимметричной составляющих: 1= 1+ т, 1= 1+., (1.27) где — т и (1 + 1) с1т зи (1 1) тл — чкт — че (1 28) 2 ' 2 Симметричный тензор с1 называется тензором скорости дврзормаиий, а антисимметричный тензор зи — тензором вихря. Тензор з1 характеризует скорость деформнрования материальной ча- зе Если тевзоры определены компоиеитами в материальном текущем базисе, то при вычислелии материальиых производиых учитываются скорости измевевия базисных векторов.
Глава Ь Осношсые положении механики сплошной срелы 30 стицы, а тензор зк — угловую скорость вращения материальных волокон, мгновенно совпадающих с главными осями тензора с1. Если система отсчета является декартовой системой координат, то в переменных Эйлера тензоры 1, 1, с1, ке, св имеют следующий вид: 1=о;, 1с,®1с, Р = Н = йй 1с; Э 1с. = ий 1сс Э 1с, (1.30) ~ = ~ = *з!А ® 1с1 = пу~11сс ® 1су. Тензоры 1, 1 связаны с материальными производными тензоров Р, ~ равенствами 1= Р С, 1 = Д Я, Р =1 Р, г.
=.с. 1. (1.31) Пользуясь (1.15), (1.30), (1.31), можно определить компоненты тензоров 1 и 1 в переменных Лагранжа. Прн этом в выражениях для С и Д градиенты Х, определяются через градиенты кй из равенств 4~ = Х,ьхьВ, (1.32) затем полученные значения подставляются в выражения для С и Д в (1.15). Определение градиентов Х, из уравнений (1.32) при матричном представлении компонент тензоров второго ранга эквивалентно использованию матриц компонент тензоров С и Д, являющихся обратными к матрицам компонент тензоров Р и г.
соответственно. Введем полярное разложение тензора градиента деформа- Р (ае1Р>0): Р=Н. 11='Ч Н. (1.33) Ъ ='е', Н К=и, с1еж=1), (Ю =%1, где Ю, 'Ч вЂ” симметричные положительно определенные (все главные значения положительны) правый и левый сиенэоры хратно- 1 зн = -(н,о — о;;)1с, ® Найдем выражения тензоров Н, Я, Р, .'Г в цируя соответствующие 1 п3,'1са ® 1с11 с1 = ("1,1 + '93)1сс ® 1с„ 2 1 (1.29) щ = -(о,, — о, )1сс З 1с ..
2 компонент материальных производных декартовой системе отсчета, дифферен- равенства в (1.15): 1.2. Кинематика доформирования отей удлинений, В. — собственно ортогональный тензор ротаиии. Пользуясь (1.31), (1.33), получаем 1=а!+В. О Б ! В, 1= — и!+В. 'О ! Й В.. (1.34) Здесь и=В..В. (!о= — ш ) (1.35) — антисимметричный тензор относительного спина, характеризующий угловую скорость врашения триады главных осей тензора '1!' относительно триады главных осей тензора Ю. Из (1.28), (1.34) находим с( В !1 Вт з!г и! + В (17 11-! 11- 11) Вт (1 38) 1 2 где Й= -(0.17 '+11 ' 11) — ! 2 (1.37) — тензор скорости деформаиий с исключенным поворотом. Если подвижная система координат совершает чистый поворот (с возможным переносом, но без деформирования), то конвективная производная относительно такой системы координат называется коротаиионной производной.
Введем две коротационные производные тензора второго ранга Ь: Ь~:— Ь вЂ” зи Ь+Ь зя, Ь~ = Ь вЂ” ы Ь+Ь.и!. (1.38) Производная Ьз называется производной Яуманна (Яуманна— Зарембы — Нолла), а производная Ь вЂ” производной Гринов С Макинесса (Грина — Нахди). Эти производные характеризуют скорости изменения компонент тензора Ь по отношению к системам координат, совершающим чистый поворот с угловыми скоростями зя и и! соответственно. Обозначим некоторую коротапионную производную тснзора второго ранга Ь через Ь~. Коротационные производные являются подклассом конвективных производных.
В отличие от других производных этого класса (например, Олдройда и Коттера— Ривлина), они характеризуются следующими свойствами. ° Коротапионные производные скалярного произведения тензоров вычисляются так же, как и материальные произвпдные скалярного произведения тензоров. Например, для тензоров второго ранга Ь и р справедливо равенство (Ь р) =Ь р+Ь.р (1.39) 32 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды ° Если коротационная производная тензора второго ранга Ь равна нулю, то материальные производные трех главных инвариантов тензора Ь также равны нулю, т. е.
Ьят = О =а 1 (Ь) = 12(Ь) = 7з(Ь) = О. (1.40) Эти свойства коротационных производных послужили причиной их широкого использования в нелинейной механике, в частности при формулировке определяющих соотношений для больших упругопластических деформаций (см. гл. 2). В отличие от хомпонент тензора вихря зн, компоненты тензора относительного спина ы определяются довольно сложно (66). Из (1.26), (1.27), (1.38) получаем следующие связи конвективных производных тензора второго ранга Ь: Ь вЂ” Ь вЂ” (Ь.г1+г1 Ь) Ь вЂ” Ь +Ь г1+6 Ь (1.41) Ьг (1 си+1 сд) 2 Простые выражения компонент конвективных производных Олдройда, Коттера — Ривлина и Яуманна имеют тензоры, определенные в переменных Эйлера. Пусть система отсчета — декартова система координат.
Тогда с учетом (1.29) выпишем компоненты производных Ь, Ь и Ь~: Ь; = ЬŠ— Ььун ь — Ьъсу ю Ь, = ЬВ + Ььуеьл + Ьвпь 1, Ь.у = Ь у + Ььуюы + Ь~ шву = Ь — Ььушд~ — ЬъчО~ь. ,У Из (1.41) получаем связи компонент производных в декартовой системе отсчета: Ьо~ Ь4 Ь,1 Ь,(, Ьсл Ьу+Ь,1 +Ь,( Ь4 1(Ьсу+ Ьссн) 1.2.8. Объективные производные тензоров В общем случае материальные и конвективные производные объективных тензоров не объективны. Выделим класс обьеигиивиых производных — таких производных объективных тензоров, которые сами являются объективными тензорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
