1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь а', Ч~ — контравариантные компоненты вектора и тензора; а,, А; — ковариантные компоненты; Ь'~, А;1 — смешанные компоненты; знаком Э обозначена операция диадного (полиадного) произведения базисных векторов. Здесь и далее индексы компонент векторов и тензоров пробегают значения 1, 2, 3; по повторяющимся индексам проводится суммирование.
15 1.1. Необходимые сведения нз тенэорного анализа В декартовой системе координат с ортонормальными базис- ными векторами 11; ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров совпадают, и в этом случае векторы и тензоры представляются в виде а = а;1с;, Ь = Л;11с; Э 1с~. Аналогично определяются пэепзоры высшего ранга, 1.1.2. Операции с теизорани Пусть а, Ь вЂ” произвольные векторы (тензоры первого ранга), р, Ь вЂ” произвольные тензоры второго ранга, Ю вЂ” произвольный тензор четвертого ранга.
Определим следующие операции с тензорами. ° Сложение (операция определена только для тензоров одного ранга): а+ Ь = (а'е;) + (Ьге,) эв (а'+ Ь')е;, р+ Ь = (рбеэ Э еу) + (Л'уе; Зей) эв (рб+ УР)е; Эе . ° Умножение на скаляр ок сга = сэ(а'ез) =- (аоэ) е;, сгЬ = сэ(Л;уе' Э е') = — (сгЛ;у)е' Э е".
° Скалярное (внутреннее) произведение (свертка): а Ь = (а'е;) (Ь~е ) ев а'Ь~(е; ° е-) = а'Л1дц = а'о;, р Ь = фре; Э е ) (Лце Э е1) гн реЛц(е еэ)ез Э е' = = р'~ Лцзр е, Э е = р' Лце,. Э е . Отметим, что в общем случае р ° Ь ~ Ь р. ° Двойное скалярное произведение (двойная свертка)1: р: Ь= (р'уеэ Эе.): (Лцеэ Эе1) эв реЛц(еэ еэ)(еу е1) = уЛ „~~1 эу~ 1г( Ьт) Н ц 'Некоторые авторы знаком «са обозначают операцию вида р: Ь = рейн = М(р Ь), Ф: Ь = эзи 'Л|эеэ Э ез. для симметричного тензора Ь разинца между этими определекиямн исчезает, Глава 1. Основные пол<икення моханнкн сплошной сраны Ю:Ь=(З'~ме;Эе ЭеьЭе1): (а „е Эе") = = Э'~мй (еа е"')(е1 е")е; Э еу = = З""'Ь „Я„"д,"е; Э е = З'1мйме; Э е .
° Тензорное (внешнее) произведение: а Э Ь = (а'е;) Э (оуеу) ав а'Уе; Э е, р Э Ь = (р,уе' Э е') Э (ймеа Э е1) = р1з йме' Э е1 Э еь Э е~ = р'~~И е~ Э е Э еа Э е1 ° Транспонирование (операция определена только для тензора второго ранга): Ьк = рр ° Э )т = угЕ ° ° = ЬУ1 . Э 1.1.3. Метрический тензор Введем метрический (единичный) тензор и ы дце' Э е', ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты ко- торого определяются следующим образом: где Ю' — дельта-функция Кронекера. В декартовой системе коор- динат д1у = д ' = д*, = д; = б' = 4,, И = б;,к1 Э 1с,. С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы тензоров и векторов.
Например, Метрический тензор обладает следующими свойствами: 1.1. Необходимые сведения иэ тенэорното анализа 1.1.4. Инварианты и разложения тензора Для произвольного тензора второго ранга Ь определяются три независимых (главных) инварианта: 1 (Ь) = зг Ь = ~: Ь = Ь: ~, 12(Ь) = — [11 (Ь) — Е1(Ь~)), (1.1) 2 1 (1) 121,(Ь3) 31,(1,)1,(Ь2) + 13(1 )),~ 1, 1 6 Любой тензор второго ранга Ь можно единственным образом представить в виде суммы: ° симметричного тензора Ьм™ и антисимметричного тензора Ь'1 Ь = Ьана+Ьа Ьм'" — = -(Ь+Ьт) Ьа зв -(Ь вЂ” Ьт). (1.2) 1 1 2 ' 2 ° шарового тензора Ь' и тензора-девиатора Ь~ (девиатора тензора Ь): а а +ЬЯ Ьа — 1 (Ь) Ьн — Ь Ьэ 3 Независимым инвариантом шарового тензора Ь' является только первый инвариант тензора Ь,так что 1,(Ь*) = 1,(Ь). Для тензора-девиатора выполнено равенство 11(Ь~) = О, (1.4) а независимыми отличными от нуля инвариантами являются только 12(Ь ) и 13(Ь ), которые можно выразить через инварианты 11(Ь), 12(Ь), 13(Ь).
В декартовой системе координат имеем 1 Е13 = Ьт бб~ ь"11 = ЬЦ 7111з Ьт = (Ь11 + а22+ Ьзз) 3 1.1.5. Ковариантное дифференцирование тензора Так как в криволинейной системе координат базисные векторы е; являются фунхдиями координат О', вводится понятие новарнанглного диЯЯеренцирования векторов и тензоров такого, что для вектора а имеем да —. = ~7 а еэ = 37 а1е, д61 18 Глава 1. Основные поломсеннк механнкн сплошной среды где да' д; дон 17йа' =, + азГ'ы ~7йа; — = —, — адГз, — ковариантные производные контравариантных а' и ковариант- ных а, компонент вектора а соответственно, де; 1Я джей — символы Кристоффеля второго рода.
Аналогично определяют- ся ковариантные производные тензора второго ранга Ь: дсзь — = т7ьЬ е' З е1 = ~7ьЬ'де1 З е = ~ьЬ' е, З е' = ~1Ь;зе1 Зе, где дЬ11 т7йЬп = д к — Ь,1Гы — Ь1еГяз ~7ьЬ = — +Ь Г„е+Ь Г ы дЬ' дЬ' .Пля декартовой системы координат символы Кристоффеля равны нулю и ковариантные производные превращаются в обычные частные производные. 1.1.6.
Градиент тензора Введем оператор Гамильтона (символический набла-вектор): з7 ги е т7ь. (1.5) Оператор Гамильтона определяет: ° для скалярной функции ~р(91) — ерадиенга сниляра (вектор) , др др , 17р=е — = — е; дОв дЭк ° для вектора а(91) — врадиенгп еентпора (тензор второго ранга) Т7а = т7 З а = е" 17й З а = ~ьа1е З е;; ° для тензора второго ранга Ь(61) — ерадиент тензора (тензор третьего ранга) Т7Ь = 17 З Ь = е~~7в Э Ь = 17ьЬ1де" З е; З е . Скалярное произведение т7 а = (е"17в) (а'е;) = 17ьа1(е" е;) = ~71а1 19 1.2. Кинематика деформирования называется дцаереенццеб вектора а (скаляр), а скалярное произведение Ь = (е~(уа) (Чуе, З е ) = ~7ал'у(е .
е,)е = Н,йче,. — — дивереемцией тенэора Ь (вектор). 1.2. Кинематика деформирования 1.2.1. Лагранжевы и айлеровы координаты Рассмотрим трехмерное евклидово пространство, в котором введена прямоугольная декартова система координат с ортонормальными базисными векторами )с1, 1сз, 1сз. Наряду с декартовой системой координат рассмотрим систему координат су', являющуюся сисулемоц отсчета для описания движения некоторого тела В. Предполагаем, что процесс движения описывается некоторым монотонно возрастающим параметром деформирования 1 е [О, Т[, Т > О. Отметим, что при решении динамических задач параметром деформирования всегда выступает естественное время (для краткости в дальнейшем этот и другие параметры называем временем).
Однако для описания квазистатического движения (при пренебрежении инерционными членами) могут использоваться и другие параметры (например, при решении задач об упругом или упругопластическом деформировании тел в качестве параметра 1 можно использовать внешнюю силу или характерное перемещение, но при решении задач с учетом деформаций ползучести всегда используется естественное время). Область, ограниченную замкнутой поверхностью, которую занимает тело и начальный момент времени 1 = О, назовем повальной конфиеурациеб, а области бЪ", $', ограниченные замкнутыми поверхностями Я, Я в некоторый отсчетный и текущий моменты времени 1е, $ — отпсчетнай и тепуп1ей понфпеураццями соответственно (рис. 1.1).
Рассмотрим некоторую материальную точку Р, вектор положения (радиус-вектор) которой в отсчетный момент времени е Система отсчета в обшем случае может быть криволинейной системой координат, а в частном случае (обычно используемом на практике) может совпадать с декартовой. Глава 1. Основные положение механики сплошной средь времени со Рис. 1.1. Движение тела В в системе отсчета 6' К 2.
Кинематика деформирования представляется в виде а в текущем состоянии, в момент времени 1, вектор положения этой же материальной точки Р записывается в виде (см, рис, 1.1) х = х,1с,. Следуя [9, 46], материальную точку Р с ее бесконечно малой окрестностью назовем мапзериальноГз частлиией 3 Кроме (неподвижной) системы отсчета определим также подвижную систему ноординатп, которая в отсчетный момент времени 1о совпадает с системой отсчета О', а в текущем состоянии, в момент времени 1, характеризуется тем, что координаты любой материальной точки Р в этой подвижной системе не меняются и имеют те же самые значения сз', что и в отсчетный момент времени 1о.
Система отсчета ст' называется зйлеровой системой координат, а подвижная (вмороженная в тело) система координат сз' — лагранжевой (сопутствующей). Соответственно, сз' называются эйлеровыми координатами, а 6' — лагралжевыми. 1.2.2. Лагранжев и эйлеров подходы Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач м~саники сплошной среды: лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 6',1, а при эйлеровом — 0*, 1. Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением, используется лагранжев подход в двух вариантах: ° общий лагранжев или Т1 (со~а1 1 абтапрап) подход соответствует использованию начальной конфигурации в качестве отсчетной: 1о = б; з Во избежание путаницы отметим, что во многих исследованиях термин «частица» соответствует принятому в настоюцей книге термину «материальная точка».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
