1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В случае же действия консервативных внешних сил области устойчивости и неустойчивости равновесных состояний и квазистатических движений отделяются друг от друга с помощью критериев, которые формулируются на основе характеристик равновесных конфигураций, полученных при решении основной задачи о нелинейном деформировании тела. Для упругих тел задача о бифуркации решений совпадает с задачей о нахождении собственных состояний (нетривиального решения однородной задачи, сформулированной относительно скоростей) [78, 110].
Однако при упругопластическом деформировании определяющие соотношения становятся нелинейными и ситуация изменяется. В этом случае достаточный критерий единственности решений краевой задачи, сформулированной относительно скоростей, и достаточный критерий отсутствия нетривиальных решений однородной задачи различаются [47, 73, 79]. Вследствие этого для конструкций из упругопластичесхих материалов бифуркация решений при возрастающей нагрузке (бифуркация процесса [20, 22, 24)) может предшествовать достижению собственного состояния (бифуркации состояния [20, 22, 24]).
Впервые это было отмечено при решении задачи о выпучивании стойки Ф. Шенли и Ю. Н. Работновым [24». Введение В [20, 22, 24] предлагается различать два подхода к исследованию устойчивости тел: устойчивость равновесной хонфигурации (равновесного состояния) по отношению к динамическим возмущениям и устойчивость квазистатических движений, Так как выполнение достаточного хритерия единственности гарантирует устойчивость тела по отношению к динамическим возмущеыиям, а бифуркация решений соответствует потери устойчивости квазистатических движений, то из изложенной выше взаимосвязи бифуркационных нагрузок и нагрузок собственною состояния следует, что для упругопластичесхих тел в типичной ситуации критические нагрузки потери устойчивости квазистатических движений не превьппают критических нагрузок потери устойчивости равновесных состояний.
Так как нахождение бифурхациоыыых нагрузок для тел из упругопластического материала связано с большими математичесхими трудностями, то при решении задач игнорируют условие разгрузки в определяющих соотношениях и приходят к линейному телу сравнения, для которого задача единственности и отсутствие нетривиального решения однородной задачи совпадают [47, 73, 79]. Хилл показал [47, 73, 79], что бифуркационные нагрузки для линейного тела сравнеыия дают оценху снизу бифуркационыых нагрузок для исходного нелинейного тела. Такой подход к определению хритической нагрузки оправдан в [20, 22, 24] введением критерия равноахтивной бифуркации.
В соответствии с этим критерием критическая нагрузха для линейного тела сравнения является точной нижней границей хритических нагрузок,. при которых возможно выпучивание [20, 22, 24, 84, 112]. При решении задач упругопластическою деформирования обнаружен парадокс пластичесхого выпучивания: критические нагрузки, ыайденные по более строгой теории течения, хуже согласуются с данными эксперимента, чем критические нагрузки, полученные по деформационной теории [11, 24, 84].
Существует несхолько объяснений этого парадокса. В [105] расхождение критичесхой нагрузки, полученной по теории течения, с эхспериментальной критической нагрузкой связывают с чувствительностью первой х начальным несовершенствам и показано, что введение малых несовершенств дает критичесхую нагрузку, которая хорошо согласуется с экспериментальными данными. В [99] численные расчеты при решении задачи о потере устойчивости круговой цилиндрической оболочки с малыми начальными несовершен- 10 Введение ствами при ее кручении моментом привели к уменьшению максимальной нагрузки в три раза по сравнению с бифуркационной нагрузкой для идеальной оболочки.
В то же время решение такой задачи в рамках деформационной теории указывает на малое влияние начальных несовершенств [94]. В [54] отмечается, что соотношения деформационной теории лучше всего подходят именно к решению задач устойчивости, так как при этом задача формулируется относительно скоростей, а соотношения деформационной теории, записанные относительно скоростей, можно отождествить с соотношениями некоторой теории течения с угловой точкой на поверхности текучести [24, 25, 84]. В [б1] соотношения этой теории течения представлены в явном виде.
Исходя из этих соображений предполагается [24, 84], что парадокс можно разрешить с помошью использования теории течения с угловой точкой на поверхности текучести. К этому объяснению парадокса пластического выпучивания близко примыкает идея работы [109]. Здесь на основе экспериментальных данных установлено, что уже при наличии малых пластических деформаций на поверхности текучести образуются участки с большой кривизной, а сама поверхность текучести сильно трансформируется. Сделано предположение, что теория течения, построенная с использованием только второго инварианта девиаторов напряжений, недостаточна для описания процесса выпучивания и надо использовать более сложную теорию, которая учитывала бы эти экспериментальные факты.
При учете деформаций ползучести потеря устойчивости тел может происходить как вследствие достижения бифуркационной нагрузки «13, 103, 117], так и вследствие быстрого роста начальных несовершенств при достижении некоторого критического времени [15, 34]. Дифференциальные уравнения движения (равновесия) не всегда удобны при использовании численных методов, поскольку требуют повышенной гладкости функций по сравнению со слабой формой уравнений (формулируемой в виде уравнения принципа возможных перемещений).
При квазистатическом деформировании тел при некоторых ограничениях на внешние силы и используемые уравнения можно сформулировать вариационные принципы относительно скоростей (приращений) [24, 27, 47, 73, 75, 78. 79, 81, 84, 88, 97, 98, 119]. Функционал, используемый в вариационном принципе, позволяет в некоторых случаях выделить каче- Введение ственные особенности решения задачи, не имея самого решения.
Например, с помощью сопоставления функционалов показано [32], что критические нагрузки потери устойчивости упругопластических тел, полученные по деформационной теории пластичности, не превышают аналогичных нагрузок, полученных по теории пластического течения. Основным методом решения задач МДТТ является метод конечных элементов (МКЭ).
Идея этого метода заключается в аппроксимации неизвестных функций интерполяционными полино- мами, определенными на локальных участках области (конечных элементах). Система алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих полиномов (приращеннй узловых перемещений или их скоростей) получается с помощью слабых форм уравнений равновесия (движения) или вариационных формулировок уравнений.
Если МКЭ базируется на вариационной формулировке задачи, то его можно рассматривать как вариант метода Ритца со специальными базисными функциями. Если же МКЭ основывается на принципе возможных перемещений, то его можно рассматривать как вариант метода Бубнова — Галйркина. Развитие теоретических основ МКЭ и потребности практики привели к тому, что в последнее время этот метод широко применяется для решения геометрически и физически нелинейных задач МДТТ.
Последние достижения в этой области представлены в [42, 49, 60, 62, 64, 88, 104, 107, 122]. Автор книги участвовал в разработке [28, 31, 90] и развитии [1, 2, 29, 30, 48, 91 — 93] многоцелевого вычислительного комплекса Р10НЕН. по решению нелинейных задач МДТТ. При разработке комплекса использованы теоретические основы нелинейной механики деформируемого твердого тела и численные алгоритмы, представленные в книге.
Книга состоит из двух частей. В первой части изучаются уравнения нелинейного деформирования твердых тел как в начальной, так и в актуальной конфигурации. Рассмотрены различные определения тензоров деформаций и напряжений. Приведены альтернативные формы уравнений равновесия (движения) и формулировки этих уравнений относительно скоростей. Представлены определяющие соотношения для различных моделей материалов (упругие, упругопластические, термоупругопластические с учетом деформаций ползучести). Отмечается, что для каждой модели материала и/или для каждой степени нелинейности нз всех возможных формулировок уравнений выгоднее использовать од- Введение ну. Приведены слабые формы уравнений и вариационные принципы. Рассматриваются вопросы единственности решений краевых задач, устойчивости равновесных состояний и квазистатических движений деформируемых тел. Даны формулировки контактных задач с использованием методов множителей Лагранжа и штрафных функций, Во второй части книги рассматриваются вопросы применения МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ.
Результирующие линеаризованные уравнения равновесия (движения) относительно приращений перемещений получаются из принципа возможных перемещений. При квазистатическом деформировании уравнения равновесия относительно скоростей перемещений получаются из вариационных принципов. Показана тесная связь конечно- элементных уравнений, сформулированных относительно приращений и скоростей. Приведен вывод дискретных уравнений движения (равновесия) относительно приращений (скоростей) узловых перемещений, Рассматриваются процедуры пошагового решения нелинейных задач и определения напряжений для различных моделей материалов. Предложены алгоритмы решения задач устойчивости и контактных задач. Остается много открытых вопросов в постановках и решениях нелинейных задач М,ТТТ.
Автор надеется, что настоящая книга окажется полезной для исследователей с точки зрения постановки и практического решения этих задач. Автор благодарит профессора Ю. В. Немировского за плодотворное обсуждение рукописи книги. Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В основу настояшей главы положен материал, представленный в [3, 6, 9, 16, 26, 33, 35-38, 43, 44, 46, 49, 62, 63, 67, 68, 72, 74, 79, 110, 119, 121). 1.1. Необходимые сведения из тензорного анализа 1.1.1. Определение тензора Рассмотрим некоторую, в общем случае криволинейную систему координат 6' (1 = 1, 2, 3) с базисными векторами е; ковариантного базиса и базисными векторами е' контравариантного базиса. Инвариантный по отношению к преобразованиям системы координат объект а называется вектором (шензором первого ранга), если имеет представление а = а'е, = а,е'. Аналогично инвариантный по отношению к тем же преобразованиям объект Ь называется шенлором вшорого ранга, если имеет представление Ь = лбе; Э ез = Абе' Э е' = Чуе; Э е' = Ь,уе' Э е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
