1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ограничимся рассмотрением только тензоров второго ранга. Пусть Ъ' и у соответственно инвариантный и индифферентный тензоры. Рассмотрим два подхласса объективных производных. 1.2. Кинематика доформирования ° Материальные производные инвариантных тензоров — инвариантные тензоры. При преобразованиях (1.21) справедливо равенство Ъ" = Ъ'. ° Индифферентные произвгщные индифферентных тензоров -.. индифферентные тензары Если некоторую индифферентную производную обозначить через у~, то при преобразованиях вида (1.21) выполняется равенство (у )'=Ч.у'.Ч Рассмотренные выше конвективные производные 1го1, !з~л Ь ", 11 являются индифферентными.
Отметим, что не любая конвективная производная индифферентного тензора — индифферентный тензор. Например, коротационная производная 1Р = 1г — й 11+ 11 й со сливом й = сзт (с ~ 1) не индифферентна (12Ц. Класс объективных производных не ограничивается двумя введенными выше подклассами.
Можно, например, ввести ксротацнонную производную инвариантного тензора, являющуюся инвариантным тензором [38]. Для жестких движений тела при выполнении соотношения (1.21) приведем формулы преобразования: а тензоров Ю, 'У, В.— Ю' = 11, "Ч* = Я.'1~ Я-, В.' = С) В., т. е. тензоры Б, т' объективные (11 — инвариантный, 'Ч вЂ” индифферентный), а В. не объективный; ° тензоров 1, 1, г1, ш, зт-- Г=Я ! Ц +ЯЯ, 1 =Я! С! +(4 Я', зл =Я. Я'+Я-4", '=Я- Ч'+Ч.СГ, !а ц 1 цт т.е.
тензоры 1, 1, зт, зв не объективны, а тензор с! объективен (инцифферентен). В !Л подходе отсчетная конфигурация совпадает с актуальной, поэтому (1А2) Глава 1. Основные положения механики сплошной среды 34 В силу (1.42) из (1.34) — (1.37) получаем 41 = д = О, зи = ш = К, 1 = О+ К. Из совпадения тензора вихря зк с тензором относительного спина ш следует, что для Ш -подхода производная Яуманна совпадает с производной Грина — Макинесса. 1.3.
Теизоры деформаций 1.3.1. Несимметричные тензоры деформаций В 3 1.2.4 определен тензор градиента деформации Р. С помощью полярного разложения (1.33) этого тензора процесс деформирования можно наглядно представить или в виде искажения окрестности материальной точки действием тензора 11 с последуюшим поворотом ее действием тензора К, или в виде поворота этой окрестности при действии тензора К с последуюшим искажением ее действием тензора 'Ч. Как отмечено в 3 1.2А, тензор градиента деформации Р, а следовательно, и тензор градиента перемещения Н полностью характеризуют деформирование материальной частицы. Однако прямое использование этих тензоров (как и У, Я, С, Д, К, 1С) для формулировки определяющих соотношений неце.
лесообразно, так как они не являются симметричными и объективными (не инвариантны, не индифферентны) и не "фильтруюте абсолютно жесткие движения тела. Последнее свойство означает, что при движениях тела вида (перенос с поворотом) х(Х,1) = К(1) - Х+ со(1) ЧХ и еУ (1 43) в общем случае к=к;йи, н=к — иФо.
Поэтому наряду с несимметричными тензорами деформаций вводим объективные симметричные тензоры деформаций, «фильтрующие» абсолютно жесткие движения тела. 1.3.2. Тензоры деформаций Коши — Грина и Пиола Определим симметричные тензоры деформаций: С = 11 = у Г =Н+'Н,+'К Н+н, 35 1.3. Тензоры деформапий с:— н =в л-=Н+'Н+Н 'К+8, (1.44) В ж 11 2= С д = К вЂ” К вЂ” 7С + К К, Ь= Ч-'=д а=8-К вЂ” К+К-К. Тензоры С и с называются соответственно правым и левым тен- эорами деформаций Коши — Грина, а В и Ь вЂ” правым и левым пзенэорами деформаций Пиала 163)11.
Пля них справедливы сле- дующие формулы связи: В=С ', Ь=с 1, Ь=В. В Вт, с=й. С В;. Приведем выражения компонент тензоров С, с, В и Ь в слу- чае, когда система отсчета — декартова система координат: С = хь|схьЬ1с; З 1с = (исьу+ и 6 + щ;иьЬ+ д;.)1с, З $сэ, с = хльхль1с; ® 1с ' = (цйу + пуд + нсйн ~а + д; )1с' З $сэ, (1А5) В = Х; »Ху,а1с1 ®1с.= (Юзд — и;, — и;+и;ьи-а)1с1 З 1с, Ь = Ха,;Х~,,)сс З 1с = (613 — и;, — и; + иа;иь;)1с, З 1с . Компоненты тензоров С и с имеют простые выражения в пере- менных Лагранжа, а компоненты тензоров В и Ъ вЂ” в переменных Эйлера. С помощью третьих инвариантов тензоров С, с, В и Ь мож- но дать разные формы записи условия несжимаемости материала ,7 = 1. Из (1.1), (1.18), (1.19) и (1А4) следует, что для несжимае- мого материала должны выполняться равенства б(С) =1(с) =13(В) =1(Ь)=1.
(1А6) Приведем выражения компонент тензоров С, с, В и Ь через компоненты метрического тензора: С =д;,е'Зе', с =д'десЗе, В =д"е, Зе,, Ь =д; е'Зе'. 11 Термины «правый» и «левый» условны, так как, например, если вместо в' базовым несимметричным тенюром деформашяй был бы принят тензор грапиента места У, то термины «правый» и «левый» пришлось бы поменять местами. Пля тензоров деформаций, являю~цихся функциями правого тензора кратностей уллииений 11, часто используются термины «материальный» или «лагралжев», а для тензоров деформаций, явлюошихся функциями левого теизора нратностей удлинений ЪГ, — «пространственный» или «эйлеров».
Эти термины исхажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные (33). 36 Глава 1. Основные положение механики сплошной среды Тензоры деформаций С, Ь служат мерами растяжений элементарных отрезков, а тензоры з'гВ, с/з г — элементарных площадок, что следует из равенств дх =Их Их=дХ С дХ, дХгнИХ дХ=дх.Ь дх, 1 даг =- Иа.с(а =.7гИА В.дА, дА = дА дА = — да с Ыа. дг Тензоры С, с, В и Ь объективны: тензоры С и В (функции Ю') инвариантные, а тензоры с и Ь (функции Ч) индифферентные. Эти тензоры «фильтруют» абсолютно жесткие движения тела.
совпадая на таких движениях с метрическим тензором: х(Х,1) = К(т) . Х+ се(е) ~ С = В = с = Ь = и. 1.3.3. Тензоры деформаций Грина — Лагранжа, Фингера, Карни и Альманси Рассмотрим симметричные тензоры деформаций, принадлежащие семейству тензоров деформаций Хилла (74)1г: Е(г) = -(Нг — и) = — (з- й — и) = — (Н+ Я+Я.Н), 1, 1 1 е(г) =- — (Ъ'~ — б) = — (й. У вЂ” б) = — (Н+ Я+ Н Я), 2 2 2 (1А7) -г 1 -г 1 Е(-') =--(б-Ю-г)=-(б-С Д) =-(К+)С-К К), 2 2 2 е(-г) (и ~Г-г) (и Д б)) (К+)С 1С, К) -г 1 -г 2 2 2 Тензор Е(г) называется тензором деформаций Грина — Лаеранжа, е(г) — тензором деформаций Финеера, Е( г) — — тензором деформаций Карпи, е( г) — тензором деформаций Альманси (63]. Эти тензоры объективные: (правые) тензоры Е(г) и Е( г) (функции 1у) инвариантные, а (левые) тензоры е(г) и е( г) (функции у ) индифферентные.
Они «фильтруют» абсолютно жесткие движения тела вида (1.43), превращаясь в нулевые тензоры: х(Х,() =К(1) Х+с (1) =а Е(г) =Е(-') =е(г) =е(-г) =О. ' Тенэоры леформапий Кошн — Грина С, с и Пиола В, Ь не принадлежат этому семейству. 1.3. Тензоры дефорыавия 37 Тензоры Е(2), е(2), Е( 2) и е( 2) связаны друг с другом соот- ношениями Е(2) — В т . е(2) . В„ е(2) В .
Е(2) Вт Е(г) ~ (-г) Е Е(-2) — С . е(2) . д Е(-2) Вт (-2) В е( ) — В. Е( ) В.' (1.48) ( — г) й Е(г) Е(2) Е Е(-2) гс а с тензорами С, с, В и Ь вЂ” формулами Е(2) = — (С вЂ” и), е(2) = — (с — и), 2 ' 2 Е( 2) = — (и — В), е( 2) = — (и — Ь). — г 2 ' 2 (1.49) Приведем запись компонент тензоров Е(2), е(2), Е( 2) и е( 2) в декартовой системе отсчета: 1 2 — (хц,хьЬ вЂ” б1,)1с; З 1с, = 1 2(ийб+ ибр+ иь(сиьЬ)М' З 1сб, 1 2 — (хс(ьх,(„— б;,)1с; З )с, = 1 - (и с 9 + ибр + ис(ь и .
~ ь ) )с1 З 1с, (1.50) 2 -(б;,-Х;,„Хгя)й; Зй, = 1 — (и;б + иб, — и; ьи ь))с, З )с„ 1 2 — (б;, — Хь,;Хе, )1с; З )с = 1 — (и,о + иу,; — иь,;иьб) И; З 1с . Е( ) = Е(2))с; З)с = е( ) = е( ))ц З 1с, = ау Е(-2) Я(- )1с З 1с е( 2) = е( )1с; З1с Отсюда следует, что тензоры Е(2) и е(2) имеют простые записи компонент в переменных Лагранжа, а тензоры Е( 2) и е( 2) — в переменных Эйлера.
Последние четыре формулы (1.48) в декарто- Глава 1. Основные положеннв механннн сплошной среды 88 вой системе отсчета имеют следующую запись через компоненты: (2) (-2) (-2) (2) Е«у = хм,.е„, х«)ю е« = Хь «Е„«х« (-г) (2) (г) (-г) Е,. = Х«ье„«Ху«, е," = х«)ьЕ„«х ~«. Условие несжимаемости 1 = 1 сложнее сформулировать с помощью тензоров Е(2), е(2), Е( г), е( 2), чем с помощью тензоров С, с, В и Ь, поскольку в первом случае тензоры второй группы надо выразить через тензоры первой группы, пользуясь (1А9), а затем подставить эти выражения в (1.4б).
С помощью компонент метрического тензора и можно получить следующие выражения для тензоров Е(2), е(2), Е( 2), е( Е( ) = — (д« вЂ” д; )е«З е', е( ) = -(д«1 — д«~)е«З е, (1.51) Е(-2) (д««д«««- З - е(-2) ц - )-«З йз 2 2 Представления тензоров деформаций Е(г) и е( 2) в (1.51) приняты в [43, 44] за их определения. Тензоры деформаций Е(2) и е( 2) являются мерами растяжений элементарных отрезков, а тензоры Е( 2) и е(2) — элементарных площадок, что следует из равенств 1 («(хг с(Х ) «1Х Е( ) «Щ «(х е( — 2) «1х 2 (,У«(42 «(ог),У«(А Е(-г) «(А «(а е(г) 2,У,Х 1.3.4. Малые деформации и линейный тензор деформаций Рассмотрим ма.адю дед«ор,иа««ню материальной частицы, хара««теризуемую выполнением равенств Б= (~=й, (1.52) при этом перемещения и повороты этой частицы могут быть произвольно большими.
Из (1.52), (1.33), (1.11) получаем Р д В У С Вт (1.53) Для малой деформации справедливы равенства Е(2) Е(-2) (г) е(-г) 1.3. Тензоры деформаций а формулы, связывакпцие Е~з) и е~ з) в (1.48), превращаются в преобразования и исключения поворота1з: е(-з) В Е(з) Вт Е(з) тзт (-з) Пля малой деформации условие несжимаемости д = 1 можно записать в виде 7с(Е~з)) = 1с(Е< з)) = 1с(е(з)) = 1с(е~ ~)) = О. (1.54) Зля произвольной малой деформации материальной частицы в выражениях тензоров деформаций Е)з) и е( з) через тензоры градиентов перемещений Н и Я в (см.
(1.47) ) и в определениях их компонент (1.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно малая деформация материальной частицы, характеризуемая выполнением равенств (1.55) т. е. на условие малости деформации материальной частицы на- кладывается условие малости ее поворота, при этом трансляци- онные перемещения этой частицы могут иметь произвольную ве- личину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
