1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1.2). 1.4. Тепэоры напряжений А Тнвт 3 т 1 -э Момент времени Ф омент времени Со Рис. 1.2. Элементарные площадки для материальной точки Р с действующими на пих элементарными силами Пусть на площадке Иа (ориентированной с помощью вектора п) действует элементарнея сила ств(„). Введем векторы Коши истинных и условных напряжений С(„~ и Т(м~. ас( ~ сЦн) Ф(н) =, Т(,тт~ = .
(1,72) Рассмотрим два представления элементарной силы ИС~„~.- тй(„~ — — с(„)ста = Т(,ч~дА. (1.73) Постулируем существование тензора истинных напряжений 8 и тензоров условных напряжений 7з и Р таких, что выполняются равенства~э $(н) П'8 8'П (8=8 ), (1.74) Т(,=17 2 =Р Я (Р =Р'). Тензор 8 называется также тензорож напряжений Коши, а тензоры Р и Р— соответственно номинальным тензаром напряжений 'вРаввнства (1.74) можно также получить псколя пэ формулы Коши (9].
Глава 1. Основные положеник механики сплопзной среды 46 и первым тенэором напряжений Пиала — Кирхгофа (46)'в. Симметрия тензора з следует из условия равенства нулю главного момента сил (2 1.5.1), а тензоры Р и Р в общем случае несимметричны, Тензоры истинных и условных напряжений характеризуют силу, действующую на элементарной площадке в актуальной конфигурации и отнесенную к этой площадке в первом случае и к площадке в отсчетной конфигурации — во втором случае. Пользуясь (1.73), (1.74) и формулой Нансона (1.17), получаем связи тензоров истинных и условных напряжений: з= — Р Р= — Р У', Р=ЛР з, Р=,Уз Д. (1.75) 1 1 Введем тенэор напряжений Коши с исключенным поворотом: Я.т з 8, ь з зт з Я з Ят (1,76) Формулы его связи с тензорами Р и Р выводятся из (1.75), (1.76).
При жестких движениях тела, соответствующих преобразованиям (1.21), введенные вьппе тензоры напряжений преобразуются по законам э (э 6)т -* — р* Р цт Р* ц Р т. е. тензоры з, з объективны (з индифферентен, й инвариантен), а тензоры Р, Р не объективны. Введем симметричные тензоры условных напряжений: т =.7з, т ы.уз, (1.77) Б(-2) = — т1 = 17, з(-2) = зу . т . у Б(2) = 1)-1 . т . 1Г', з(2) ьзЧ т Ч Тензор т называется тенэором напряжений Кирхгофа, т — тенэором напряжений Кирхгофа с иснлюченным поворотом (тенэором напряжений Подла), Б(2) — вторым тенэором напряжений Пиала — Кирхгофа, Б( 2) — тенэором напряжений Грина Ривлина.
Тензор з(2) назовем повернутым вторым тенэором на- ~~1(лк тенэоров 'Р и Р терминологии не установилась. В некоторых исследованиях тенэор Р называетск первым тензором налркжений Пиала — Кирхгофа, а в других работах, наоборот, тензор Р— номинальный тензор наприжений. В [67, 110) тензор Р называетск тензором нэлркжений Лагранжа„а в — тенэором напркжений Эйлера. 1.4. Тензоры напряжений 47 ПряжЕНий Пивда — Киряввфвз а В( 2) — ПОВЕрНутЫМ тЕНЭОрОМ напряжений Грина — Ривлина17. Введенные тензоры напряжений связаны формулами (1.78) в (-2) ц(-2) У.т Р, в (-г) й' т ° л=, С Б(2) С, с в() с.
ц( — 2) в(-2) Из (1.77), (1.78) получаем формулы связи тензоров напряжений в н В(г). В(г) ~ В(г) Х (1.79) Все симметричные тензоры напряжений (1.77) объективны: тензоры т, 8(2), Б( 2) инвариантные, а тензоры т, в(2), и( 2) индифферентные, т. е. ц(2)* ц(2) В(-г) В(-2) (~ . цт (2)* ц (2) цт (-2)» ц (-2) цт '7 Названия двух последних тензоров вытекают из вида их связи с тензораии 81~1 и $1 з), приведенными в (1.78). ц (2) В( — г) В(г) (г) ц(2) (г) 1 у 1 11 В(г) у. в(2), у, Кт. т.
К Кт. в(2) . К, Кт (2) К С ° т у, Д т ° С, В Я(~) ° В, Ь. в(-2) . Ь, 1 у 17-1 Ц(-2) 11-1 зтт — 1 (-2) у — ! в К.. т К', К ц(2) Кт В(-г) Глава 1. Основные положения механики сплошной сраны 48 Симметричные тензоры напряжений т, Б1г), Б( г) связаны с несимметричными тензорами напряжений Р и Р формулами Р=С т, Р=т д, Р В(г).Р, Р Р.В(г) Р=В Я( г) аи, Р=Д Я( г).В, (1.
80) т=р.р=р У', В1г) =р.д=С.Р, В1-г) =С.р.р=.р.р.С Из (1.14) и (1.80) следуют соотношения Р=В(г)-(К+Я) =ВР)+ВР) Я, р=(и+Н) ВР) =В(г)+Н ВР). (1. 81) У = с1ей Р = Йе1 1) с(е1 В. 1. (1.83) Из (1.77) и (1.83) получаем ВР) = я(-г) = т = й вР) в( г) т в, (1,84) Таким образом, все введенные симметричные тензоры напряжений превращаются либо в инвариантный тензор в, либо в индифферентный тензор в. То есть симметричные тензоры напряжений являются тензорами истинных напряжений й или в, отличающимися друг от друга преобразованиями поворота (1.76).
В силу (1.53) формулы связи (1.75) тензора напряжений Коши в с несимметричными тензорами напряжений Р и Р сводятся к следующим: В Р Р Вт Р Вт Р В Приведем соотношения (1.79), записанные через компоненты в декартовой системе отсчета: гчу = — хе)ь~й) ху)) Яе =- ЛХк явной (1 82) Р) Р) и формулы связи компонент Р,", Яе соответственно первого и (г) второго тензоров напряжений Пиола — Кирхгофа: Р13 = хйеА, = (51а + ийа) Яй; = Яй + ий А, . Рассмотрим малую деформацию материальной частицы, В силу (1.52) 1ЯС Тензары нанрюкений Для бесконечно малой деформации окрестности материальной точки все введенные симметричные и несимметричные тензоры напряжений превращаются в симметричный тензор напряжений Коши в, который специально для такого типа деформации обозначим через о: о гя в = в = В1г) - В( г) - вР) - в( г) - т = т = р = р, т. е.
о — тензор напряжений Коши при бесконечно малой деформации материальной частицы. 1.4.2. Механический смысл компонент тензоров напряжений Лля выяснения механического смысла компонент введенных тензоров напряжений рассмотрим «векторы» напряжений $1 и Т;, действующие на элементарных площадках поверхностей 9' сопзФ и отнесенные к этим площадкам в актуальной и отсчетной конфигурациях соответственно (рис. 1.3).
Слово «вектор» употребляется условно, так как объекты $1 и Т; не являются «настоящими» векторами вследствие их неинвариантности относительно преобразования координат. Имеем следующие разложения [68): -в -,/- -вднх = У~е, Я'Т = т'~е = Рве (не суммируется по 1), где Р'» — компоненты номинального тензора напряжений в материальном отсчетном базисе (Р = Рйе; З е ). Из этих разложений очевиден механический смысл компонент тензоров в, т, й)йй Рис. 1.3. «Векторы» сил $з, Тз Глава 1. Основные положения механики сплошной среды 50 г. = Р . Контравариантные компоненты тензоров в и т в материальном текущем базисе суть компоненты разложений соответственно «векторов» Фе и Т, (с весовыми множителями) по ковариантным базисным векторам того же базиса.
Аналогично контравариантные компоненты тензоров Р и Р в материальном отсчетном базисе суть компоненты разложений объекта ~/д" Т; по ковариантным базисным векторам этого же базиса. Пользуясь определениями (1.10), запишем формулы преобразования базисных векторов: е, = Р . е; = е, .'Г, е' = Д е' = е' . С, (1.85) е; = С е; = е; Д, е' = У' е' = е' Р. Из (1.80) и (1.85) получаем двойные представления тензоров 'Р и Р [46]: е'=К .е'=е' К, (1.86) е'=К е' =е' Кт е;=К е;=е; К, е, = К е; = е; Й., а также аналогичные базисные векторы е, и е' повернутого материального отсчетного базиса: е К " Кт е1 — К ~ "з Кт е'=К е'=с* К.
Кт Пользуясь (1.33) и торов: е, = Х1 е;=е; К, (1.85), получим следующие связи базисных век- е'=У е' =е' С, е; = е; Б ', е' = 11 е' = е' Ц ' е; = Ю'. е; е; = 'Ч' е; е; 11, (1.87) е; ° и, е;. и Р=т е,®е, Р=т е;®е, "м3-, " -Ц т.е. контравариантные компоненты несимметричных тензоров напряжений Р и Р в двойных представлениях численно равны контравариантным компонентам симметричного тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе. Лля выяснения механического смысла компонент других тензоров введем ковариантные и контравариантные базисные векторы е, и е' материального текущего базиса с исключенным поворотом: 1.4. Тензоры напряжений 51 Из определений тензоров й, т (1.76), (1.77) и соотношений (1.86) получаем й=з'е;Эе =З„е'Эе', т=т'е,Зе =т1е Зе', т. е.
компоненты тензоров напряжений Коши и Кирхгофа с исключенным поворотом в, т в материальном текущем базисе с исключенным поворотом численно равны компонентам тензоров напряжений Коши и Кирхгофа я, т в материальном текущем базисе. Из определений тензоров Б(з), Б( з) (1.77) и соотношений для базисных векторов (1.87) имеем следующие представления: Б( 1 = тчй1®еу, Б( 1 = т,'е1 Эе', (1.88) т. е. контравариантные компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Ббб и ковариантные компоненты тензора напряжений Грина — Ривлина Б( з) в материальном отсчетном базисе численно равны соответственно контравариантным и ковариантным компонентам тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе. Аналогично получаем я(з) = тбе; Эе, в( з) = туе'Зеэ, т.
е. контравариантные компоненты повернутого второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в(з) и ковариантные компоненты повернутого тензора напряжений Грина — Ривлина в( з~ в повернутом материальном отсчетном базисе численно равны соответственно контравариантным и ковариантным компонентам тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе.
Компоненты тензоров условных напряжений приобретают более ясный механический смысл при малой деформации окрестности материальной точки в силу выполнения равенств (1.84). В этом случае е;=е;, е'=е', е,=й,, е'=е'. Таким образом, при условии малости деформаций компоненты тензоров напряжений Б(з) = Б( з) в материальном отсчетном базисе численно равны компонентам тензора в в материальном текущем базисе, базисные векторы которого получаются из соответствующих векторов первого базиса выполнением операции поворота, осуществляемой тензором ротации 11..
Тензоры в(~1 = в( з) совпадают с тензором в. 52 Глава 1, Основные положеник механики сплошной среды 1.4.3. Скорости изменения тензоров напряжений Так как тензоры напряжений в, т, Б(г), Б( г) инвариантные, материальные производные этих тензоров входят в класс объективных производных тензоров напряжений, являясь инвариантными тензорами (З 1.2.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
