1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Определяюпзие соотпозпения для гиперупругого материала формулируются с использованием обшего лаграниева подхода, для упругого — с использованием эйлерова подхода„а для гипоупругого — текузцего лаграииева подхода (см. гл. 2). Глава 1. Основные подожеиия механики сплошной среды 22 ° текущий лагранжев или ПЬ (црбасей Ьаятапк1ап) подход соот- ветствует использованию текущей конфигурации в качестве от- счетной: 1с = 1з. Введем ковариантные базисные векторы (см. рис.
1.1): дх - дХ - дх е;(Ф) = —,, ез(Ь') = — „, е,(М,2) = —., дЭ' ' ' дб' дО' (е,(01 1о) = е;(6')), образующие соответственно пространственный, материальный отсчетный и материальный текущий ковариантные хоординат- ные базисы. Если системой отсчета является декартова система координат, то е;=е;=1с;, е;= —. дЛ, (1.6) Для каждого фиксированного момента времени 1 пространственный и материальный текущий базисы определены для разных (пространственной и материальной),но мгновенно совпадающих точек. При отождествлении материальных точек с соответствующими пространственными точками текущей конфигурации материальные и пространственные координаты соответствуют двум равноправным системам координат. Компоненты тензоров при переходе от пространственного базиса к материальному текущему базису пересчитываются по обычным законам тензорного преобразования.
В общем случае материальный отсчетный базис определен в другой (отсчетной) конфигурации, поэтому преобразования компонент тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе, к компонентам, определенным в двух других базисах, происходят по другим (не имеющим тензорного характера) правилам. Исключениями являются случаи: ° П?-подхода, когда е;=е,=е;; Так как в каждый фиксированный момент времеви ддя СЬ-подхода предполагается сз' = ез', разница между НЬ- и эйдеровым подходами проявляется в использовании разных опредедевий скоростей величин; при Ш подходе рассматриваются материальные производные, а при зйдеровом — вокальные производные.
Непрерывное изменение отсчетиой конфигурации ддя 1Л- подхода используется только в теоретических исследованиях. Нри численных решениях задач пошаговым интегрированием отсчетвая коифигурапия пересчитывается только для дискретных значений параметра Ь соответствующих шагам во времени. 1.2.
Кинематика леформироваиив ° совпадения системы отсчета с декартовой системой координат, тогда в силу (1.6) материальный отсчетный базис совпадает с пространственным базисом. 1.2.3. Закон движения Предполагаем, что деформирование тела В описывается законом движения — непрерывной векторной функцией с требуемыми условиями гладкости: х = х(Х,1) (Х Е ~К х Е Р): х(Х,1о) = Х. (1.7) Лля закона движения (1.7) предполагаются выполненными условна взаимной однозначности соответствия между материальными и пространственными точками без «выворачивания» их окрестностейе: дх дхз 0 <,7 = с)ес — = — ' ( со ч'1 > го. дХ дХ (1.8) Удобной характеристикой движения является вектор перемещения (см.
рис. 1.1) и кв х — Х. (1.9) Любой вектор или тензор, связанный с материальной точкой Р, можно разложить как по координатным базисным векторам в отсчетной конфигурации (е;, е'), так и по координатным базисным векторам в текущей (актуальной) конфигурации (е;, е' и е„е'). Например, вектор перемещений и можно записать в виде следукицих разложений: и = йзе = пзе, Аналогичные представления справедливы для тензоров второго и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонентами в материальном отсчетном базисе (функции Х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Лагранжа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами в пространственном базисе (функции х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона (1.7).
Лля тензоров второго ранга можно также использовать двойные Условие .7 зЕ О означает запрет образование пустот и самопроникновения точек в материале, а условие,7 > О ие попускает «выворачивания» окрестностей точек при преобразованикк (1.7). Глава 1. Основные положения механики сплошной срелы 24 представления: базисные векторы е1 и е; являются функциями од- них и тех же лагранжевых координат О', поэтому объекты е; Эе, е; З е можно рассматривать как диады для представления тен- зоров. 1.2.4.
Тензоры градиентов де(зорманнн н перемещения Определим следующие тензоры второго ранга через их двойные представления: Я: — е1 Эе;, Реве; Зе', Д=е'Эе;, С = в; Зе'. (110) Тензор з. называется тензором градиента места, Р— глензором градиента деформации, Д вЂ” обратным глензором градиента места, С вЂ” обратным тензором градиента деформации.
В общем случае они несимметричны и связаны соотношениями й =~-, С=а С=й-'=.д'-, д=Г-'=й-.. (1П) Следуя (1.5), определим два независимых оператора ГамильОнаг: Ф = ек'7в, з7 = е~з7а = е~'7в. Введем тензорь~ градиентов иеремеи4ения: я = туп = Ф;йзез Заз, Н ав Я = Ф й,йе Э ез, К ав зуп = Ф;й е' З ез = '7;и е' Э е', К =- К' = Фзйзе' Э е' = зузи;ез З е'. Тензоры (1.10), (1.13) связаны соотношениями й' = К+ Н, уд = Ь+ Н, С = К вЂ” К, Д = ~ — К, (1.12) (1.13) (1.14) где И = дне' З е' = д;, ез З еу = д;, е' З е' — метрический тензор с компонентами д;у=й,.ез, д, =е, ез, д;,=е;.е,. Пля обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак ч [9), так и зу (36) в соответствии со второй формулой (1.12). В (ЗВ] используются оба обозначения, но зто представляется нелогичным, так как Ф и з7 являются одним и тем же символическим вектором.
В настоящей кинге используется обозначение гУ в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется лля тензоров, определенных в переменных Эйлера. 1.2. Кинематика деформироааник 25 В системе отсчета, являющейся детсартовой системой координат, справедливы равенства М = Юу = бс1. В декартовой системе отсчета тензоры (1.10), (1.13) могут быть записаны через компоненты следующим образом: Я = иЛ;И Э1с, Н = иср)ссЭ1с,, К = и1;1с, Э1су, К = и;;асс Э1с, .е.
= (б; + и ~,)3с; Э 1с; = х ~;1с; Э 1с, (1. 15) к — (б11 + цсд)1сс Э 1су — х1~Д1с1 Э 1с15 Д = (бс — и,,)1с; Э 1с, = Х1,11с; Э 1ссь С = (б11 — и, з)1с; Э 1су = Х;11сс Э 1су. Здесь и далее (.)~с вз —, (.), — = —, д( ) д( ) (1.16) обозначают материальное и пространственное дифференцирования. В (1.15) приведены обычные (не двойные) представления тензоров (1.10); предполагается, что тензоры гс, Н,'Я; Р определены в переменных Лагранжа, а тензоры К, К, Д, С вЂ” в переменных Эйлера. С помощью тензоров Р, У, С, Д элементарные отрезки, площадки и объемы в текущей конфигурации можно выражать через соответствующие величины в отсчетной конфигурации, и наоборот.
° Элементарные отрезки ЫХ и Их соответственно в отсчетной и текущей конфигурациях связаны соотношениями Их=Р ° ЫХ=дХ Я, лХ=С Ихжссх Д. ° Элементарные площадки ИА и Иа соответственно в отсчетной и текущей конфигурациях с единичными векторами нормалей М и и связаны соотношениями (Нансона) с(а=.7Д с(А = ИА С, оА = — т- с(а = — с(а Р, (1.17) 1 1 где .7 = — = —, с(А = 1чс(А, с(~ = ~б~, (1.18) О, ,(о1 26 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды р,р — массовые плотности материала в отсчетной и текущей конфигурациях соответственное. ° Элементарные объемы доР и <Л~ соответственно в отсчетной и текущей конфигурациях связаны соотношениями .) = с)е1Р = с)АУ; .7 ' = с)е1С = бе10.
(1.19) Таким образом, тензоры Р, У', С, Д полностью характеризуют деформирование материальной частицы. Любой из ннх можно принять в качестве базового несимметричного тензора деформаций, а все остальные выразить через этот тензор, пользуясь (1.11). Следуя общепринятой практике, в качестве (базового) несимметричного тензора деформаций используем тензор градиента деформации Р. Отметим, что приведенное в (1,15) выражение этого тензора часто используется в качестве его определения: Р = — = — '1сс®1с, = хй 1с; ®)сл (1.20) дх дхз Ый Из (1.20) и (1.8) следует, что тензор Р неособенный (,У = бе1 Р > О). 1.2.5.
Объективные тензоры Для тензоров деформаций и напряжений, используемых прн построении определяющих соотношений, желательным является свойство объективности. Под объективностью понимается неизменность компонент тензоров в некоторых системах координат при преобразованиях, соответствующих жесткому движению тела [36, 38, 72, 121)з, х'(Х,1) = Ц(1) ° х(Х,Ф) + со(1) УХ Е ~'к; (1.21) где Щ1) — собственно ортогональный тензор Щ 1 = Ц', Йе1 С1 = 1), а со(1) — вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
