1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вместо мультипликативных разложений (1.33) тензора градиента деформации Р, выделяюгцих деформацию и поворот, рассмотрим аддитивное разложение (1.2) тензора градиента пе- ремещения Н на симметричный и антисимметричный тензоры: 1 Н = н+ ~)1~,, = (Н+ 74) =;, (1.56) %~= -(Н-Я) =-ЪЧ . 2 Симметричный тензор е называется линейным тензором дефор- маций (таензором деформаций Коши), а антисимметричный тен- зор ЪЧ вЂ” линейным цтензором роцзации. При бесконечно малой деформации тензор е характеризует искажение материальной ча- стицы, а тензор Ю вЂ” ее поворот. В декартовой системе отсчета запись этих тензоров через компоненты имеет вид 1 1 е = †(ис)у + и );)1с; ® 1с., тт = †(ис) — и п)1с; З 1с,с (1.57) ы Все правые тензоры деформаций (функции 1)) семейства Хилла преврашаютсе в один инвариантный тензор малых деформаций, а все левые (функпии М) — в один индифферентный тензор малых деформаций.
40 Глана 1. Основные положения механики сплошной срелы Для бесконечно малой деформации тензор деформаций е «объективени (не зависит от тензора Ю), при этом Е(г) е(г) Е( — г) е(-г) Условие несжимаемости при бесконечно малой деформации материальной частицы записывается в виде 1ге= О или, в декартовой системе отсчета, сн=и15 =О. Для произвольных движений материальной частицы (выполнение условий (1.55) не гарантируется) линейный тензор деформаций не объективен в смысле выполнения одного из преобразований (1.22) при жестких движениях тела в соответствии с (1.21).
Поэтому этот тензор деформаций не используется при формулировке геометрически нелинейных уравнений МДТТ. 1.3.5. Выбор тензора деформаций Кроме введенных выше тензоров деформаций можно рассмотреть епге ряд объективных тензоров деформаций, содержагцих положительные, отрицательные, смешанные степени и натуральный логарифм тензоров кратностей удлинений 1) и и' (3, 35, 36, 38, 46, 63, 74]. Формулировки уравнений механики с любым из этих тензоров теоретически эквивалентны.
Предпочтительность использования того или иного тензора зависит в основном от определяющих соотношений материала тела, числа операций при определении компонент тензоров в численных расчетах и от степени нелинейности, учитываемой в формулировках уравнений. Обычно для Т1-подхода используются инвариантные тензоры, а для с)1- и эйлерова подходов — индифферентные. 'Гогда исходя из требования максимальной простоты определения компонент (без анализа определяющих соотношений) наиболее естественным выбором инвариантных тензоров деформаций является выбор тензоров С и Е(г), а индифферентных — выбор тензоров Ь и е( г), Чтобы подчеркнуть такой выбор, в [67, 110] тензор Е1г) назван тиензороас деформаций Лаераииса, а е( г) — теизорам деформаций Эйлера.
Дальнейший выбор между тензорами С и Е1г) или Ь и е( г) зависит от формулировки определяющих соотношений. Если используются определяющие соотношения, сформу- 1.3. Теизоры деформаций 41 лированные в виде однородных функций тензора напряжений от тензора деформаций (или наоборот), то лучше применять тензоры Е(г) и е1 г1, тогда нулевым деформациям соответствуют нулевые напряжения. Для несжимаемых материалов целесообразнее использовать тензоры С и Ь в силу сравнительно простой записи условия несжимвемости (1.46). Тем не менее для некоторых нелинейных моделей материалов может оказаться, что выгоднее использовать тензоры деформаций, которые выше не рассматривались.
При этом структура определяющих соотношений может быть простой ]63], т. е., проигрывая в числе операций при определении компонент тензора деформаций, можно выиграть в том, что компоненты тензора напряжений определяются по более простым определяющим соотношениям. Кроме того, для некоторых законов пластичности с анизотропным законом упрочнения материала в формулировке определяющих соотношений наилучшим выбором являются тензоры логарифмических деформаций [3, 35, 38, 121].
При выполнении условий малости деформаций (1.52) для Т1,- подхода оптимален выбор тснзора Е(г1, а для П? и эйлерова подходов — тензора е( ), так как все правые тензоры деформаций семейства Хилла приблизительно равны тензору Е1г1, а левые— тензору е' '. В этом случае условие несжимаемости приобрета- ~ — гб ет вид (1.54), т. е. имеет простой вид при использовании тензоров Е1г1 и е( г1. Однако для того, чтобы установить, выполнены ли условия малости деформаций (1.52), надо во всех материальных точках тела сделать ряд дополнительных операций (определить главные значения тензора 11 или Ч и сравнить их с единицей). Поэтому лучше использовать эти условия в случае, когда они заведомо выполняются, например при деформировании тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки), подвергающихся преимущественному изгибу.
Если выполняются условия бесконечно малой деформации (1.55), то естественным становится использование линейного тензора деформаций, Такие деформации характерны для массивных тел при небольших уровнях внешних воздействий. 1.3.6. Объективные производные тензоров деформаций Рассмотрим некоторые объективные производные объективных тензоров деформаций. В силу отмеченных в 3 1.2.8 свойств Глава 1.
Основные положения механики сплошной среды материальных производных инвариантных тензоров, материальные производные (63) Е(2) т)1 11 Е( — 2) 11-1 с1 11 — 1 являются инвариантными тензорами, в то время как все рассмотренные в 2 1.2.7 индифферентные производные индифферентных тензоров деформаций являются индифферентными тензорами, причем для коротационных производных Грина — Макиннеса е(2)с, е( 2)с справедливы выражения е(2)с = и .с1. и, е( 2)с = н 1 с1 "К 1. (1.59) Приведем формулы, связывающие объективные производные тензоров деформаций: Е(2) 11т е(2)с Н Е( — 2) Нт, е(-2)с я е(2)с Н Е(2) 12т е(-2)с 12 Е( — 2) Вт Е(2) ге (-2)сл Р (-2)сл д Е(2) С Е(-2) С е(2)с( с) е(2)с) Р Е(-2) (1.60) Е(-2) Н Е(2) Н Е(г) ( Е(-2) ( — 2)с 1 (2)с ~ (г)с ( — г)с Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р): Е( ) = — (У.Р+У.Р) = -(Н+Я+ Я Н+Я.Н).
(1.61) г 2 2 В декартовой системе отсчета эти выражения приобретают вид Е = — (хй(схй)1 + хй)(хй)1)1сс З $с, = ' (2) 1 = -(и;(1+ и (1+ ий(;ийВ + ий(;ийВ)1с; Э 1сз. (1.62) 2 Представим формулы, связывающие индифферентные производные е( ~)~~ и е(г)с( с тензором градиента скорости 1 [3): е(-')с" = -(1+1) = 1 е(2)с1 = -(1-'+Г1) (163) 1 1 2 ' 2 1.3. Тензоры деформаций (1.66) или записанное в покомпонентном виде в декартовой системе от- счета: лье=с)ьь =О. Пля Ш-подхода все рассмотренные вьппе объективные производные тензоров деформаций превращаются в тензор скорости деформаций [76]: Е1г) Е1-г) 1г)п 1-г)д где индекс Л обозначает любую из индифферентных производных: Олцройда, Коттера — Ривлина, Яуманна, Грина — Макиннеса.
При малых деформациях окрестности материальной точки в дополнение к (1.52) предполагаем 1 'ек, ~~Соотношения (1.бб) справедливы в обшем случае только длк компонент тензоров в лагранзсевой системе координат (но не в системе отсчета). Из (1.60), (1.63) получаются соотношения, связывающие материальную производную тензора деформаций Грина — Лагранжа Е<г) с тензором скорости деформаций Й: Е(г) ~,1, Р,1 мз Е1г) (1.64) Пользуясь определением производной Коттера †' Ривлина,приведенным в (1.25), из первого равенства (1.63) получаем'" (1.65) Тензор скорости деформаций д является главной характеристикой мгновенного деформирования тела.
С его помощью формулируется уравнение неразрывности в виде [72) ,7 Р Сг1= $гд = ~7 .7 р' В декартовой системе отсчета оно записывается в виде Р оь,е = Ас/с = — —. Р Из (1.66) получаем условие несжимаемости, записанное относительно скоростей (,У = О): Сгс1 = ~7 и = О, (1.67) Глава 1. Осповпые положения мвхавпал сплошной срелы 44 тогда из (1.52) и (1.36) следует \ч сд. (1.69) Из (1.68), (1.69), (1.26), (1,38) вытекает, что все индифферентные производные совпадают. Поэтому из (1.52), (1.58), (1.59) получаем Е(з) =Е~ '~-41, е~з)л =е< "~-сс (1.70) Исходя из (1.67), (1.70) условие несжимаемости для малых деформаций, записанное относительно скоростей, приобретает вид Сгв~з) = СгжС-Я) = Сгес')~ = Сге(-з)Л = О. Лля бесконечно малой деформации материальной частицы ЕР) — Ес-з) — е(з>п е(-з)о где 1 е = -(Н+Я). 2 В декартовой системе отсчета 1 е = — (и;ы + иуи)1сс Э 1с~.
2 Условие несжимаемости материала формулируетсл в виде сге = О. (1.71) В декартовой системе отсчета условие (1.71) эквивалентно соотнощениям еаа = ина = О. 1.4. Тензоры напряжений 1.4.1. Определение тензорое напряжений В момент времени С > Со рассмотрим материальную точку Р, принадлежащую телу В, В отсчетной конфигурации (момент времени Сэ) мысленно выделим элементарную площадку НА с единичным вектором нормали Х такую, что в текущий момент времени С эта площадка в результате деформирования будет переходить в элементарную площадку оа с единичным вектором нормали и (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
