1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Закон Гука для такого материала имеет две эквивалентные записи— в виде определяющих соотношений для гиперупругого и упругого материалов: =~е:Е, в=Ее:е. В качестве определяющих соотношений для линейного упругого изотропного материала, сформулированных относительно скоростей, используем соотношения (2.42). В силу того, что ~~ = К ', получаем эквивалентные формы определяющих соотношений упругого материала, записанные относительно скоростей: и ~Се,Е ятт ~е,д вн ~е,с1 Последние соотношения (с производной в~) добавлены вследствие того, что вт" и в~ совпадают при малых деформациях тела. 2.2.
Упругопластический материал Рассмотрим деформирование тела из неупругого материала, которое характеризуется остаточными деформациями после снятия нагрузок. В классе неупругих материалов выделим материалы, механические свойства которых не зависят от естественного времени (для этих материалов исключается явление ползучести или вязкопластичности). Следуя (79], такие материалы назовем упругопласглпческими. Существует два принципиально разных подхода к построению определяющих соотношений упругопластического материала. В первом подходе соотношения строятся в виде определяющих соотношений для физически нелинейного упругого материала при активном нагружении материальной частицы и для линейного упругого материала при ее разгрузке. Соотношения такого типа называются определяющими соотношениями деформационной теории пластичности.
Имеется два главных возражения против использования такого типа определяющих соотношений для описания пластического поведения материалов [25]: Глава 2. Онределяюшие соотношения механики 86 1. При формулировании определяющих соотношений деформационной теории пластичности в конечном (не дифференциальном) виде в решения статических задач не входит зависимость от пути деформирования, что противоречит физическим основам пластичности и экспериментальным данным.
2. При представлении определяющих соотношений деформационной теории пластичности через скорости при нейтральном деформироваиии материальной частицы (предельный случай как активного нагружения, так и разгрузки) скорости компонент тензора напряжений изменяются с разрывом, что делает невозможным корректную математическую постановку краевой задачи, сформулированной относительно скоростей. Во втором подходе определяющие соотношения строятся в виде однородных функций первой степени компонент некоторых объективных производных тензоров напряжений от компонент объективных производных тензоров деформаций. Определяющие соотношения этого типа называются определяющими соотношениями теории пластического течения.
Они свободны от упомянутых выше недостатков определяющих соотношений деформационных теорий пластичности. В этом разделе рассматриваются формулировки определякь щих соотношений упругопластического материала как в виде соотношений теории пластического течения, так и в виде соотношений деформационной теории пластичности, сформулированных относительно скоростей, при игнорировании условий разгрузки. Последние при некоторых условиях нагружения материальной частицы совпадают с соотношениями одной из теорий пластического течения.
Использование определяющих соотношений деформапионной теории пластичности в таком виде позволяет разрешить парадокс пластического выпучивания, который кратко обсуждался во введении. 2.2.1. Геометрически линейное деформирбвание тела Вследствие предположения о независимости определяюших соотношений упругопластического материала от естественного времени следует, что материальные производные компонент тензора напряжений Коши ю должны представлять собой однород- 87 2.2.
Упругопластический материал 1 . И' (е) = — гг: й. 2 Рассмотрим определяющие соотношения упругопластических материалов для некоторых теорий пластичности. Введем девиатар гпензора напряжений гг', который в соответствии с (1.3) имеет вид 1 сг~: — гг — — 1г(гг)~ (2г(гг) = гг: К). 3 (2.53) То есть использовать опрелеляюшие соотношения физически нелинейного упругого материала вместо опрелеляюших соотношений упругопластического материала. ные функпии первой степени от материальных производных компонент тензора деформаций Коши е [791. В [47, 77, 79) постулируется существование однородной потенциальной функции второй степени Иг(е) такой, что определяющие соотношения упругопластического материала записываются в виде с(Иг(е) (2. 57) г(й Предполагается, что потенциальная функция И'(й) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов.
Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотногтгений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма).
Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону, то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Ксли функциональные зависимости сг(й) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции: Глава 2, Опрепеляюпше соотношения мекаппкп 88 а ,Р ,е Е О еР Е Рнс. 2,1. Лиагреммы одноосяого растяжения для упругопла- стическях материалов: а — плеельпый упругопластпческпй материал; е — упругопластп- ческяй материал с упрочпепием Определим второй инвариант,Хз тензора о': 1 Уз кв Хз(ст ) = — о': о' (2.59) 2 где Хз(о') — инвариант, определяемый по второй формуле (1.1).
Здесь мы воспользовались тем, что в соответствии с (1.4) Х1(о') = О. В декартовой системе отсчета из (2.58), (2.59) полу- чаем (2. б1) 1 / у ~;, = ~;, — — 5;Хи~ь Х~ = — и;, <т;,. 2 Среди упругопластических материалов выделим идеальные могпериолы и материалы с изогпронным унрочненнем. Зависимость напряжения от деформации для таких материалов при одноосном растяжении с возможной разгрузкой иллюстрирует рис. 2.1.
Здесь о„— предел текучести материала при одноосном растяжении, о„— его начальное значение Диаграмма одноосного а растяжения тела из упругопластического материала обобщается введением функции текучести Мизеса: ° для идеального материВла УР(а') - =ъ/Я(гг') — оя, (2.60) ° для материала с изотропным упрочнением ~Р(сг', т1) =- ~/33г ~о') — оу(л). 89 2.2.
Упругопластический материал Здесь г7 — параметр упрочнения, характеризующий величину накопленных пластических дефоРмаций; оэ(г1) — монотонно возРастающы функция параметра упрочнения. В качестве параметра упрочнения часто используется эффективная пластическая де- формация Г 2. И = / ер.'И от 3 (2.
62) где ер — материальная производны тензора пластических деформаций (этот тензор определяется далее). Предполагается, что начальная конфигурация — естественная (свободная от напряжений) и при $ = 0 и = О, пя(0) = ие. Уравнение Г,,=О (2.63) определяет поверхность (гиперсферу) в пространстве компонент девиатора тензора напряжений. В соответствии с принципом максимума Мизеса или постулатом Друкера (4, 21] эта поверхность должна быть замкнутой и невогнутой, что выполняется для поверхности (2.63) с функцией Г„, определенной в (2.60) или (2.61). При таком выборе функпии Гя поверхность (2.63) называется поверхвосглью тпеиучести Мизеса.
Для идеального упругопластического материала поверхность текучести не трансформируется при пластическом деформировании, а для материала с изотропным упрочнением — одинаково расширяется по всем направлениям от центра при увеличении параметра ц. Отметим, что явного выражения параметра и в виде (2.62) (или каком-либо другом) не требуется, так как при активном пластическом деформировании 1 = 9 (72 '*), (2.64) где ~р — некоторая монотонно возрастающая функция,72~'*; ,72"~~ — максимальное значение инварианта,72, полученное в процессе деформирования окрестности материальной точки (при упругой разгрузке этой окрестности значение .72 уменыпается, а значение,72"* остается неизменным, следовательно, и и не изме- наетсЯ); в естественной конфигУРации полагаем,72а"* — — (сгуе)2/3.
Зависимость (2.64) однозначно определяется из кривой для одноосного деформирования (растяжения или сжатия). Пример такой кривой приведен на рис. 2.1,б. Для представленных ниже опре- 90 Глава 2. Определяюшие соотношения механики ... б уз=о и уз=о Рис. 2.2. Различные ситуации, определяющие поведение идеального упругопластического материала: а — У„(п') < О, упругое деформирование; 6 — у„(п') = О, й: о ' < О, упругое деформирование (разгрузка); в — уз(п~) = О, о'; сг' = О, пластическое деформированне (нагружение) делающих соотношений упругопластического материала функцию (2.64) определять в явном виде не потребуется' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
