1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Важным этапом в построении определяющих соотношений упругопластического материала является определение режимов: упругого деформирования, разгрузки по упругому закону и пластического деформирования. В феноменологических теориях пластичности установление этих режимов зависит от расположения конца радиуса-вектора текущего значения девиатора тензора напряжений в пространстве компонент этого девиатора по отношению к поверхности текучести и от направления вектора скорости тензора напряжений в этом же пространстве. Пусть точка А соответствует концу этого радиуса-вектора. Определим перечисленные выше режимы для идеального упругопластического материала (с их иллюстрацией на рис. 2.2). (а) Упругое деформирование (уу < О): точка А находится во внутренней части области от поверхности текучести; направление вектора скорости напряжений произвольно.
(б) Разгрузка по упругому закону (Д„= О, гп: а < О): точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости напряжений направлен во внутреннюю часть области от поверхности текучести. 'зфункпия О неявно задается зависимостью касательного н секушего модулей Е~ и Е, от зз~'*.
23Ь Упругоплестический материал 6 у„=о е б,=о 'Р у„-о Рис. 2.3. Различные ситуации, определяющие поведение упругопластического материала с изотропным упрочнением: е Бз(гг',еее) < О, упругое леформироваеие; б — Яо',еее) = О, о: о' < О, упругое пеформироеепие (разгрузке); в — /„(о', ее) = О, о: о~ ) О, пластическое леформировевие (погружение) (в) Пластическое деформирование ()к —— О, гп: ~т = 0): точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости напряжений направлен по касательной к поверхности текучести (точка А двигается по поверхности текучести или остается неподвижной). Здесь и далее гп — вектор единичной внешней нормали к поверхности текучести (тензор второго ранга).
Определим аналогичные режимы деформирования для упругопластического материала с изотропным упрочнением (с их иллюстрацией на рис. 2.3). (а) Упругое деформирование (Д < 0): точка А находится во внутренней части области от поверхности текучести; направление вектора скорости напряжений произвольно. (б) Разгрузка по упругому закону (~к — — О, гп: ст < 0): точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости напряжений направлен во внутреннюю часть области от поверхности текучести или по касательной к поверхности текучести (нейтральное деформирование материальной частицы).
(в) Пластическое деформирование (Д„= О, гп: о > 0): точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости напряжений направлен во внешнюю часть области от поверхности текучести. Глава 2. Определяющие соотношения механики 92 Основная гипотеза. Теизор деформаций е можно представить в виде суммы упругой е и пластической еФ составляющих: е=е +е (2.65) Материал предполагается пластически несжимаемым: $геР = О. (2.66) Тензор упругих деформаций е' связан с тензором напряжений о законом Гука вида (2.8): ~т = Л(сг е)и + 2де~.
(2.67) Тензор пластических деформаций ен предполагается пропорциональным девиатору тензора напряжений ю', при этом обеспечивается выполнение условия (2.66) пластической несжимаемостн материала: у(.Уг, Уг) е" = ' о'. Здесь введена функция д(,У2,,У2): ° для идеального упругопластического материала О, если,уг ( (ояв)2/3 или,У2 —— (оа)~/3 и,У2 ( О, у(Уг Уг) =- 3) Е 2)Е, ~~, если Уг = (ор) !3 и Уг =0; 8 2 (2.69) (2.68) ° для упругопластичесяого материала с упрочнеиием если У2 ~ У2 или,У2 =,Уг "* и,У2 ( О, О, У( У21 У2) = (2.70) 3~ Š— [ — 1~, если У2 = Уг и .У2 ) О. В (2.69), (2,70) Е, — секущий модуль материала, который определяется из диаграммы одноосного деформирования (см.
рис. 2.1). Деформациоииая теория пластичности Приведем определяющие соотношения деформационной теории пластичности для идеального материала или материала с изотропным упрочнением (18, 84, 88]. Принимается 2.2. Упругоплестический материал После некоторых преобразований из (2.65), (2.67), (2.68) получаем определяющие соотношения деформационной теории пластичности для идеального материала или материала с изотропным упрочнением: Е ~ Зи+д ~т = е+ фаге 1+ и+д1 3(1 — 2и) (2.71) дифференцируя левую и правую части (2.71) по 2 и отбрасывая условия разгрузки, получаем определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, без учета разгрузки: СЕРа .
(2.72) Здесь тензор четвертого ранга С имеет вид ерл Е 11 ~~- (Сп+ Сп,) + 1 + и + д 12 Зи + д д'ю' З ~т' + 3(1 — 2и) 1+и+д+2д',Уг~' ач где (для идеального материала полагаем .Уг~'* —— (<тя) ~/3) О, если Уг ( У~пот, д(У2) с— е 3 Š— 11, если Уг = Уг 2 Е~( Уг) (зта функция получается из выражений (2.69) или (2.70) при игно- рировании условий разгрузки); О, если Уг с Уг ", 3(Е Е 4,Уг Ьг (.Уг ) Ьа (.Уг ) (2.73) д(,У,) =— Ф Ыг Ег — — касательный модуль материала, определяемый из диаграммы одноосного растяжения (см.
рис. 2.1). Тензор Се~ " обладает следующими симметриями: (2.74) Выражение (2.73) можно использовать только для материала с упрочнением. Пля идеального упругопластического материала Ь~ = 0 и выражение (2.73) использовать нельзя. Надо сдс Глава 2. Олрелелшошне еоотношеннк лехвлнкн ... пать замену последнего слагаемого в его правой части (полагаем 1Уд' = О): Фо.Ф ~Р ./ 1+ и+ д+ 2д' Уг о' З ~т' 2У2 Ък (е)= — е:к:е 1. 2 Я ~ . 3и+ д г д~(о~: й)2 е: е+ (Фг й) 2(1 + и+д) 1 3(1 — 2и) 1+ и+ д+ 2д',У21' (2.75) являющимся квадратичной формой относительно скоростей ком- понент тензора деформаций.
Потенциал Же вида (2.75) исполь- зуется для материала с упрочнением. Зля идеальною упругопла- стического материала в (2.75) надо сделать замену г(о,г . )2 (ог, .)2 1+и+д+2д',Уг 2У2 В декартовой системе отсчета компоненты тензора е,~~~ для материала с упрочнением имеют вид н~ч Сум = ~-(6~А~+5п5уь) + 1+ и+ д12 + 3(1 — 2и) 1+ и+ д+ 2д'.У21' б~удм— а для идеального упругопластического материала необходимо сде- лать замену 1 М / ~нонн 1+и+д+2д',Уг 1 ! о13ом 2,У2 В втой же системе отсчета потенциальная функция (2.75) для ма- Определяющие соотношения (2.72), в силу независимости компонент тензора к. от скоростей компонент тензоров деформаций е и напряжений д', входят в класс определяющих соотношений физически нелинейного упругого материала типа (2.3).
Они допускают запись вида (2.57) с потенциалом 2.2. Упругопластический материал 95 териала с упрочнением записывается так: 2(1+м+д) ( ~ ~ З(1 — 2м) " 1+и+д+2д',721' для идеального упругопластического материала делаем замену д(аз ей)2 (о.,' е„)2 — + 1+и+д+2д',72 2,72 Теория пластического течения При выводе определяющих соотношений теории пластического течения для идеального материала или материала с изотропным упрочнением принимается следующая Основная гипотеза.
Материальную производную тензора деформаций й можно представить в виде суммы упругой и' и пластической е" составляюизих в=е +ер. (2.76) Материал предполагается пластически несжимаемым, условие несжимаемости пластических деформаций записывается относительно скоростей следующим образом: стер = О. (2.77) Материальная производны тензора напряжений сг связана с материальной производной тензора упругих деформаций и' законом Гука вида (2.11): сг = Л(сг е)и + 2(зе'.
Материальная производная тензора пластических деформаций ер определяется по ассоциированному закону пластического течения [18): - д~~ ер=Л вЂ” У'=Л /, до. (2.78) 'зИногда исходкт из разложение (2.65), а (2.76) приннмаетск как следствие (2.65). Однако в теории пластического течение определкюшие соотношение формулируютск непосредственно через скорости, а при обобшенни определкюшнх соотношений на случай больших деформапий проще исходить из аналога (2.76), чем из (2.65). 9б Глава 2. Опрелелкюпше соотношеннк механики ... где Л ) Π— функция, требующая определения; д/„/де = о' вектор в пространстве компонент девиатора тензора напряжений, направленный по нормали к поверхности текучести.
Отметим, что для материальной производной тензора пластических дефор- маций е", представленной в виде (2.78), обеспечивается условие выполнения пластической несжимаемости материала (2. 77) . После некоторых преобразований определяющие соотноше- ния теории пластического течения можно записать в виде ~=Ел"У:8.
(2.79) Тензор четвертого ранга к.~~У имеет вид крУ о г1 и йт'Эа' ~ — (Сп+ Сш) + С~ — с 1, 1+и 2 1 — 2и 1+ и+ 2с(.Угз' (2.80) так что выполниотся условия симметрии, подобные (2,74). Здесь введен параметр с: ° для идеального материала О, если Уг < (<ткс)2/3 или,Уг = (пне)2/3 и А < О, с= 1, если Уг = (о~)~/3 и .Уг = 0; ° для материала с упрочнением О, если,У2 <,У ов или Уг = У а* и,Уг ( О, с= 1) если У2 = .Уг н У2 ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
