1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.1. Иллюстрация потери единственности и собственных состояний некоторой системы: Р— параметр внешней силы, и~ — характерное перемещение; а— собственные состоянии, соответствуюшие бифуркапии решения и точке поворота, 6 — точкам поворота ~7.Р + рГ=О и = и" Р - Х = Т* в 017 на ~Я„, на ОЯт. (4.5) При фиксированных значениях параметра Ф (фиксируются значения внешних сил Г, Т* и смещений и*) рассмотрим динамические движения тела в естественном времени т, которые вызваны приложением начальной скорости но в момент времени то. динамические движения с вектором перемещений й(т) описываются уравнениями (1.118) с начальными условиями й=и, й=чо при 7=то. (4.8) Начальная скорость чо, выводящая тело из равновесного состоя- каким-либо образом решения задачи в окрестности исследуемых решений.
Будем различать два типа устойчивости решений уравнений, описывающих деформирование твердого тела: устойчивость равновесных конфигураций и устойчивость квазистатических движений. Рассмотрим устойчивость равновесной конфигурации [73, 78, 79). Пусть тело находится в состоянии равновесия при некотором фиксированном значении параметра Ф. Уравнения равновесия и граничные условия получаем из (1.118), пренебрегая динамическим членом: 12о Глава 4.
Потери устойчивости .. ния, предполагается достаточно малой. Здесь точка над величиной обозначает частную производную по т. Вектор и в (4.6) соответствует конфигурации, для которой выполняются уравнения равновесия (4.5). Пля исследования устойчивости равновесной конфигурации, которой соответствует решение системы (4.5), выбираем определение устойчивости решений дифференциальных уравнений по Ляпунову (на бесконечном интервале времени), которое применительно к рассматриваемым уравнениям сформулируем следующим образом [65): Определение. Решение и системы (4.5) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого с > 0 существует б > О, такое, что [[те[[ ( Ю ~ [[йп[[ ( с Чт > то.
В противном случае решение называется неустойчивым. Здесь [[ [[ обозначает некоторую норму произвольного вектора, Юп = й — и. Исследования устойчивости по Ляпунову равновесной конфигурации иллюстрирует рис. 4.2. Рассмотрим устойчивость квазистатического движения тела [20 — 22, 24[. Пусть квазистатическое основное (исследуемое на устойчивость) движение тела с полем вектора перемещений п(1) описывается уравнениями (3.6) с начальными условиями (4.7) и= по при 2=4о.
В отличие от исследования устойчивости равновесной конфигурации, при исследовании устойчивости квазистатического движения под термином «время» понимается тот же самый параметр деформирования (необязательно естественное время), который используется в уравнениях системы (3.6). Векторное поле перемещений и соответствует решению уравнений (3.6) с массовыми силами Г и поверхностными силами Т*, направления действия которых не меняются в процессе деформирования. При изучении устойчивости квазистатического движения предполагаем,что внешние силы меняются пропорционально параметру Л: 4' = Л4е, т* = Лт", (4.8) где 4о, то — постоянные вехторные поля, определенные в ~1' и на ея соответственно и характеризующие распределение внешних сил, а параметр Л характеризует их интенсивность.
129 4.1. Критические состояния тел то О юо и=то+ю )-Ю-( О юо Неустойчивые б Р ые ЦИИ го О "',о и = юе Й О юо Ряс, 4.2. Иллюстрация поведения устойчивых (а) н неустой- чивых (б) равновесных конфигураций по отношению к дина- мическим возмущениям при Р = Р' Для исследования устойчивости квазистатического движения подход Ляпунова, соответствующий исследованию устойчивости на бесконечном интервале времени, малопродуктивен. так как с этой точки зрения практически все нелинейные системы являются неустойчивыми. Больший практический интерес представляет определение устойчивости решений дифференциальных уравнений на конечном интервале времени [241.
Глава 4. Потеря устойчивости ... 130 Лля исследования устойчивости основного движения, характеризуемого полем вектора перемещений и, рассмотрим соседнее (возмущенное) движение (с полем вектора перемещений й), являющееся решением системы (3.6) с начальными условнямн й=йе при 1=1е н внешними силами Л~0 1 т*= лц.
Введем величины, характеризующие отклоненное движение: Би=й — и, Юио=йе-по, 6Л=Л вЂ” Л. Конечный интервал времени — Хе < Ф < Т (1е < Т < со). Следуя [24, 65), приведем 0 юе > — Š— ~ Рнс. 4,3. Иллюстрация устойчивости квазнстатического двн- ження тела на ограниченном интервале параметра деформн- ровання 4.2. Критерии единственности и устойчивости решений Определение.
Решение и задачи (3.6), (4.7) называется устойчивым на конечном интерволе времени (Фо, Т), если для любого е > О существует б > О такое, что [[био[[ < б нли [бЛ[ < б ~ [[би[[ < е Ч1 Е (10, Т). В противном случае решение называется неустойчивым. При исследовании устойчивости квазистатического движения требуется найти такое критическое значение 1„(= Т) параметра деформирования 1 (это может быть критическая нагрузка), что при 1 < Ф гарантируется устойчивость решений системы (3.6) по отношению к возмущению начальных условий (4.7) или внешних сил (4.8), а при 1 > 1 квазистатнческое движение становится неустойчивым.
Потерю устойчивости квазнстатического движения иллюстрирует рис. 4.3. В настоящем разделе приводятся общие определения н формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластнческнх материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола— Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации.
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений краевых задач 4.2.1. Критерии единственности и отсутствия собственных полей Достаточным условием единственности решений относительно скоростей системы (3.6) (отсутствие бифуркации, т. е. нетривиальных решений системы (4.1)) является выполнение неравенства [24, 47, 79) 07л(Ьи) = — Ь(о~: Фи'): Ф(Ьи)'с[~Ъ' > О (4.9) 2 ./ ор Единственность решений для скоростей неизвестных функций иначе называется единственностью в малом [110).
Единственность решений задачи (З,б), (4.7) для самих неизвестных называется единственностью в большом [110). Глава 4. Потеря устойчивости ... для всех непрерывно дифференцируемых полей скоростей перемещений, принимающих заданные значения ц" на границе е5„ (скпв : ц1 — п~ отлично от тождественного нуля ). Доказательство вытекает из тою, что при бифуркации решений задачи (3.6), (4.7) из (4.1), (4.2) следует выполнение равенства е1ь(Ьи) = 0 для решений ц1, ц~ уравнений (3.6). В общем случае условие (4.9) не является необходимым.
Отметим, что при изменении знака неравенства в (4.9) также получается достаточное условие единственности, но оно не имеет практического значения. Достаточным условием отсутствия собственных полей (нетривиальных решений однородной задачи (4.4)) является выполнение неравенства [24, 47, 79) е1е1д(й) / г' пт': е~ ' чУц с1 Ъ > 0 (4 ° 10) ои для всех непрерывно дифференцируемых полей скоростей перемещений ц, обращающихся в нуль на границе еЯ„и отличных от тождественного нуля.
Доказательство следует из того, что в силу (3.21) для собственною поля чн (нетривиального решения системы (4.2), (4.4)) должно выполняться равенство Отекая(1и) = О. (4,11) В силу (3.18), (3.19) собственное поле ти дает стационарное значение функционалу е1е1д, равное нулю (см. (4.11)). В общем случае условие (4.10) не является необходимым условием отсутствия собственных полей. 4.2.2. Критерии устойчивости и неустойчивости Условие (4.10) является достаточным условием устойчивости равновесных конфигураций тел из упругих [78, 110) и упруго- пластических [73, 79) материалов.
Если существует хотя бы одно кинематически возможное (отличное от тождественною нуля и равное нулю на еяк) поле скоростей вектора перемещений ц такое, что е1е1д(ц) ( О, то Равновесиях конфигУРациЯ неУстойчива (достаточное условие неустойчивости равновесной конфигурации). Если для некоторых кинематически возможных полей скорости чд справедливо равенство (4.11), а для всех остальных полей ц выполнено неравенство (4.10), то для выяснения вопроса То есть не рассматривщотск пары полей перемещений таких, что и' = п~ во всех точках области ~ к'.
4.2. Критерии ешянствепности и устойчввости решение ... 133 устойчивости равновесной конфигурации требуется дополнитель- ное исследование. Рассмотрим устойчивость квазистатических движений тела, соответствующих решениям системы (3.6), (4.7). Предполагаем, что тело жестко заделано на границе ~Я„(п* = О) и внешние си- лы имеют вид (4.6). Уравнения равновесия и граничные условия, представленные относительно скоростей, при этих предположе- ниюс переписываются в виде: Ф.
Рт+ 'рЛГо = О в 'Ъ', О=О на Яв, (4.12) Р И=АТ3 на Яг. Эти уравнения дополняются определяющими соотношения- ми (4.2) и начальными условиями (4.7). Теорема 1. Яостлащочнатлт условием нотлери уппойчивостли квазистатического движения тлела являетлся бифуркаиия ретдений задачи (4.12), (4.2), (4.7). ДОКАЗАтиЛЬОтВО. Рассмотрим сначала линейное тело с определяющими соотношениями Р = о~с('17п, Р): Ф'и . (4.13) Для линейного тела задача по определенито бифуркации реше- ний сводится к задаче определения собственного состояния (47)~.
Пусть при некотором значении параметра деформирования 1 до- стигается собственное состояние, тнл что для собственного по- ля чт справедливы равенстваз: ~УР— О в )т, чт=О на Яо, Р И=О насЯг (4.14) Р=ор.с. Ф г в 01г. Обратное неверно, так как в точке поворота достигается собственное состояние, но ветвлентш решения в общем случае не происходит. В общем случае может битти несколько линейно неэависшяых собственных полей, опренеляюпптх соответствующие боковые ветви решения; в этом случае произвольно выбирается одно поле. ояжияяяэйяяээ 1 1"лава 4. Потеря устоичввости ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
