1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 21
Текст из файла (страница 21)
134 Л орчк 4одоЪ'+ чк Т~едоЯ ои опт = О. (4.17) достигается либо Из (4.17) следует, что собственное состояние Л=О, (4.18) либо при орчч Кос(~Ъ'+ чн Т~д~Я= О. о~ оят (4.19) В общем случае условие (4.18) соответствует в пространстве «пе- Р емещения — параметр нагрузки» точке поворота кривой решения (максимума или минимума)б, а условие (4.19) — точке бифуркации решений'. Условие (4.18) соответствует также точке перегиба, не представляющей интереса с точки зрения качественной смены устойчивых и неустойчивых Точка бифуркапви может совпадать с точкой поворота, но такое совпадение не влияет на ход доказательства теоремы. П ри бифуркации решений задачи вектор зи обозначает разность решений, т.
е. 1 .2 чк = Ьп ев п — и . Пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского, можно показать, что для любого кинематически возможного поля вектора скорости и (и = О на оЯ„) выполняется тождество и (Ф Р )Н~К= — Фит: Рд~К+ ч.Р Хо~Я. (4.15) ер о~ Обг Скалярно умножая левую и правую части первой формулы (4.14) на кинематически возможный вектор скорости и и интегрируя по области оЪ', получаем, что в силу (4.15) в собственном состоянии справедливо равенство Ф к~: о~у, .
Ячт доР = О. (4.16) ор Скалярно умножая левую и правую части первой формулы (4.12) на чк, интегрируя по области оT н пользуясь (4.15), (4.16), полу- чаем 4.2. Критерии единственности и устойчивости решений 135 Пусть рассматриваемая равновесная конфигурация соответствует бифуркации решений, так что выполнено равенство (4.19). Рассмотрим начальное послекритическое поведение решения (продолжение решения от точки бифуркации). Пифференцируя (4.12) и (4,2) по параметру деформирования $, запишем равенства: Ф Рт+ 'рЛГо = О О=о Р М=ЛТ~ в Ъ' на Я, на Бт, (4.20) Р = о~у,: ~унт + о~ь: Чйт в о О = свзн, (4.23) Аналогично тому, как получено тождество (4.15), для любого кинематически возможного поля скорости и имеем интегральное тождество (Ф Р )д'У = — Фч: Рд'У+ ч.Р Хд'5. (4.21) о1, оо оку Скалярно умножая левую и правую части первой формулы (4.20) на зн.
интегрируя по области оЪ' и пользуясь (4.21) и третьей формулой (4.20), получаем — ~'чт': о~ь: '(уп' с(')г — ~учи': о ~а: '(уп' ~('р'+ о1 ор +Л 'р Уо(оР+ - то,(оя =О, ор овт В силу (4.16) и (4.19) с (7чтт . о~с . опт Д01 0 (4.22) о~ Для простоты рассмотрим симметричную бифуркацию (56), для которой боковая ветвь решения характеризуется выполнением равенства Л = О. Из (4.12) и (4.14) следует, что для боковой ветви решения при симметричной бифуркации Глава 4.
Патера устойчивости ... 136 где а — произвольный множитель. Представим ок.ь(Р, Р) в виде о~ь = оаО: ~уп', (4.24) где введен тензор 6-го ранга до~ь до~ь оаΠ— = — + —: окь. дР дР Подставляя (4.23), (4.24) в (4.22), получаем, что в точке бифуркапии для боковой ветви решения должно выполняться равенство (4.25) Исследуем устойчивость квазистатических движений. Для отклоненных движений из (4.12), (4.13), (4.24) получаем уравнения (полагаем бЛ = 0): Ф.бР =О бп= О с начальными условиями бп = по — по при Для квазистатических движений, удовлетворяющих уравнениям (4.26), выполняется тождество | Ф(бп): ОСь: Ф(бп)'Ы0$'+ Ор + ту(бп)т [о)1в т7(бп)т), тУпт долг О (4.27) В общем случае вектор бп связан с вектором бп равенством (4.27) и не может иметь произвольного значения. В точке бифуркации рассмотрим возмущенное движение вдоль боковой ветви такое, что бп = дчк, бР И=О бР = ось: ~7(бп) +(оР: Ф(бп)т): Фпт в о(у на ~Я„, о на Ят, в о~/ 4.2.
Критерии единственности и устойчивости решений 137 где 13 — некоторая заданная малая величина. Тогда при любом значении у и би = 7че равенство (4.27) выполняется в силу (4.11), (4.23)., (4.25). Квазистатическое движение по основному (невозмущенному) пути при 1 > 1 становится неустойчивым, так как какой бы малой ни была норма отклонения ~~бц() ( б в начальный момент движения в возмущенном решении вдоль боковой ветви, нельзя гарантировать выполнение неравенства ~(бп(! < с в последующем движении, поскольку вектор ОбЦ может иметь произвольную амплитуду 7.
Выше показана неустойчивость квазистатического движения линейного тела при достижении симметричной бифуркации решения. Аналогичный вывод можно сделать и при несимметричной бифуркации (на боковой ветви решения Л ф О), но выкладки становятся более громоздкими, так как тогда поле скорости вектора перемещений и в начальном послекритическом движении по боковой ветви не совпадает по направлению с собственным полем зч [56). Рассмотрим нелинейное тело в некоторый момент времени 1, для которого тензор ок. имеет вид (4.3). Под нелинейным телом здесь понимаем тело из упругопластического материала, подчиняющегося теории пластического течения. В основном (невозмущенном) решении область О'к" тела можно разбить на подобласти ~Ъ'~ и ~Ъ"~ (одна из них может быть пустой): ~17 = 01;о 11 о Р~~.
Подобласть с)7;о представляет собой совокупность материальных точек тела, для которых выполнено условие упругого деформи- РованиЯ, а в матеРиальных точках подобласти ОГрс осУществлЯ- ется пластическое деформированиез. Пусть в некоторый момент времени 1с„происходит бифуркация решений задачи (4.12), (4.2), (4.7), В начальный момент движения (момент времени 1„) по боковой ветви область тела 01' аналогичным образом разбиваем на подобласти оу и ОЪ' .
ОЪ' — ск' 0 0$' Пусть внешние силы действуют таким образом, что для всех решений задачи (4.12), (4.2), (4.7) выполняются равенства Ъе Ъ 1 и ~ тогда в точке бифуркации тензор о~ не зупругому деформированиш соответствует в (2.80) значение с = О, а пластическому — с = 1. 138 Глава 4. Потеря устойчивости зависит от материальных производных тензоров Р и Р, т. е.
при 1 = 1„т нелинейное тело превращается в линейное. Из доказанного выше следует, что при таком специфическом характере деформирования нелинейного тела при бифуркации решений квазистатическое движение становится неустойчивым. По-видимому, в большинстве решений задач по упругопластическому деформированию тел при бифуркации область пластического деформирования для боковой ветви О1~' не совпадает с областью О1'о: в побочном решении возможна разгрузка матер' риала в некоторой подобласти О1'О, так что ~1гр' С о~р~. Тогда в уравнениях для отклоненных движений наряду с отклоненными величинами (вариациями перемещений и их скоростей) появляются конечные значения скоростей деформаций основного или побочного решений.
В 124) показано, что в этом случае бифуркация решений задачи (4.12), (4.2), (4.7) определяет момент, за которым процесс квазистатического деформирования становится неустойчивым. 4.3. Связь критических нагрузок Пусть естественная (свободная от напряжений) конфигурация является отсчетной. Для всех рассмотренных в гл. 2 определяющих соотношений существует такая (достаточно малая) окрестность естественной конфигурации, в которой выполняются неравенства (4.9), (4.10)Я, Рассмотрим последовательное нагружение тела от естественной конфигурации консервативными внешними силами вида (4.8). Деформирование тела описывается уравнениями (4.12), (4.2) с начальными условиями (4.7). Для упрощения анализа в качестве параметра деформирования 1 используем параметр Л, так что Л = 11О.
Под критической нагрузкой понимаем критическое значение параметра Л, которое обозначим через Л, . Последнее требование можно рассматривать как ограничение на тензор еч. в (4.2). Пля устойчивых по Прукеру материалов (21) это требование заведомо выполнено. 1еОсобо оговариваем те случаи, когда монотонно возрастаюпшй параметр Л нельзя использовать для продолжения решения (например, через точку поворота); здесь предполагаем Л В О, в противном случае изменяем направления векторов Ге и 'Го 139 4.3. Сказа кркткчасккк нагрузок ПРедполагаем, что на оЯк осУществлЯегсЯ Условие жесткой заделки и = О, так что под кинематически возможным полем скорости вектора перемещений понимается достаточно гладкое векторное поле, удовлетворяющее кинематическому граничному условию в (4.12). При введенных выше ограничениях по деформнрованию тел, реализующихся для достаточно широкого класса задач, существуют связи между введенными ранее критическими нагрузками, которые и рассматриваются в настоящем разделе.
4.3.1. Линейные тела Для линейного тела определяющие соотношения (4.2) перепишем в потенциальном виде: гЕоЕь(Фи) ~ чтит где квадратичная форма компонент материальной производной тензора градиента перемещений оЕь определяется с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях: оЕь(Фи) = — Р: Фи = — Фи: фь Фи .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
