1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В момент времени С+ ЬС искомые величины неизвестны. Линеаризуем соотношение (5.1) относительно известною состояния в момент времени $ [49]: | ОЙС1СсСОЕЫ дОЕСЗС( Ъ'+ 3( ОЯзу бОЧС1СС 1' = с о с с о Ос оз с+асл с ~, 5,(61, ос Здесь оес — компоненты линейной части приращения тензора деформаций Грина — Лагранжа: оеб = 2(пйу+ няс+ ссяб па~у+ нсс~с ссьб)~ с с 1 (5.3) ос)су — компоненты нелинейной части приращения тензора деформаций Грина — Лагранжа (оЕсу —— рес + ос111): 1 о)су = — ннспзб 2 (5.4) В формулах (5.3), (5.4) приняты обозначенияз Здесь ис — компоненты приращения вектора перемещения с+ас„ В (5.2) осС,3ссс являются компонентами тензора четвертого ранга в определяющих соотношениях, связывающих приращения компонент тензора напряжений с компонентами линейной части приращения тензора деформаций: оЯ3 = ох.стас оеы (5.6) Глава 5.
Дискретные уравнении лвивсенив 160 Соотношения (5.6) являются линеаризованным аналогом определяющих соотношений (2.30), (2.85), записанных относительно скоростей. Введем векторы и матрицы: ое = [аеп оегг, оезз 2оегг 2оесз 2оегз)т 1т Опо = 1иЦ1) иЦ21 нЦЗ', пг)1~ иг)2, 'иг~з, из(1,' из)2', из~3] В 0 0 0 'Я 0 0 0 018 о оп ао 812 оо 813 0~12 ОО22 ОО23 с о осз о огз о~зз с с с о=— [ (5.7) 0~ = !О~П~ 0~22~ О~ззэ 0~12> О'т13~ Оогз! сс с с с с с т оСп оС12 оС22 ОС = В формулах (5.7) элементы 'С; матрицы ОС составлены из компонент тензора определяющих соотношений соус ес. Равенство (5.2) для линеаризованного уравнения принципа возможных перемещений с помощью обозначений (5,7) переписывается в виде оет~осое,со)Г+ доптсйоп с)01т с+ьс77 боетсЯИО~' О1 ос 01 (5.8) Рассмотрим виртуальную работу внешних сил с+""сст с уче-, том инерционных членов с+111Л с+асам с+ос Д + с+асам + 14сзсЯ (5 0) о 1' о М о оСсз о С23 ОСзз симм.
ОС14 ОС15 ОС16 с с с оС24 оСгз оСго 01Сз4 соСЗ5 соС36 оС44 оС45 оС16 с с ОСЗЗ ОС56 0 С66 161 5.1. Векторно-матричнав запись ... где с+ас б 1 ~-ас с, с О 1'=з( Осс " с+ас)з о с+ос-, х,10~, вс = 1 Р ис ис (5,10) с+асам ч с+ас сзь ~„ь ор с+сз с й с+дс о сп.,(оо О Т О с з оят где Г" (Г) — заданная функция времени. Предположим, что вектор весовых нагрузок можно представить в виде сГ (5.12) где Г = [У11 гг Уз] ) Г = [У!1 .сг~ Уз] ° (5.13) Здесь Л, Гг, Л вЂ” направляющие косинусы вектора силы веса с осями декартовой системы координат. Введем векторы перемещений сп и их приращений и; сп = [си1, 'иг, из]т, и = [ис, иг из] .
(5.14) Вектор массовой силы с+всГ связан с вектором объемной силы еГ со- с+Ы отношением '+~'Г = р'+~'Г. о Здесь с+сь~~ф — компоненты вектора объемной силы4, отнесенные к объему в отсчетной конфигурации (например, силы веса); с+~~Т," — компоненты вектора условных напряжений Коши; ~Ят — часть поверхности 0Я, ограничивающей область 01', на кото~ой заданы компоненты вектора условных напряжений Коши; ссс," — компоненты Й-й сосредоточенной силы (Й = 1, Л, Л— общее число узлов, в которых действуют сосредоточенные нагрузки); с+с'си," — компоненты вектора перемещения узловой точки, в которой действует Й-я сосредоточенная сила.
Рассмотрим только один случай действия объемных сил— силу веса. Пусть 'р„обозначает весовую плотность материала (т. е. вес единицы объема материала), Предположим, что в процессе деформирования весовая плотность подчиняется закону г ( ) ор,Го~, ср,Г11, (5.11) Глава б. Лиенретные уравнение движение 1бг Пользуясь (5.12) — (5.14), запишем виртуальную работу сил веса в виде 1+аеу1 5 т11+а1,11+а1~ и Ри ~+а~1, Пользуясь законом (5.11), получаем выражение для виртуальной работы сил веса + „В~ .
с+даЯ ('(2 1 1~1) опт ф ОР,.~Ор (5.15) так что а+а~ 6 ~+~.'и 6 (5.16) Отметим, что во многих случаях изменением весовой плотности материала во времени можно пренебречь и у(1) ая 1. Пользуясь обозначениями (5.14), виртуальную работу инерционных сил + Вм записываем в виде 1+Ыд ~ 5 т 1+Ы "О ~ор. ом=~ и (5.17) Ор Отметим, что 1+Ы 1в 1+и 1~ О вт в силу уравнения неразрывности о,1о, 1+де,(1+си1,. (5.18) Здесь е+асд / с+а 1+ий 5„,11+ае~~ М= у Р на п1 Ю+Ь~р Рассмотрим вектор условных напряжений Коши: от* — = В77, о~г, о~з Г (5.19); Компоненты этого вектора могут быть или непосредственно заданы, или вычислены в случае действия нормального давления (поверхностные нагрузки действуют по нормали к поверхности ОБГ). 6.1.
Векторно-матричное зались 163 Пользуясь (5.14), (5.19), перепишем выражение виртуальной работы поверхностных нагрузок '+ с Вт в виде стьс В бпт с+ссср* с(оя (5. 20) озт Уравнение (5.8) представляет собой запись линеаризованного уравнения принципа возможных перемещений относительно приращений перемещений. Обратимся к функционалу (3.24), записанному относительно скоростей перемещений в момент времени 1.
Введем следующие векторы: Е = [Е11, Егг, Езз, 2Еци 2Е1з, 2Егз], (5.21) па = (ссцс' "цг' 'сцз' 'сгд' игсг с1гсз' ссзсс' "з~г' из~о)- Здесь где о — = оВ1 +ойт+ Вс, (5.25) О — = ос с'ис сс з' оВт =- ОТ;"и с1 Б. оят осс (5.26) К Вс = ЕВФ11,". а=1 В отличие от (3.24) здесь используются компоненты объемной, а не массовой силы. Уравнение принципа возможных перемещений (5.8) можно использовать при решении квазистатических и дис (5.22) з — до, В соответствии с обозначениями (5.5), (5.22), формулы (1.62) для скоростей компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа принимают вид 1 Есг = — (иссу+ ицс+ ис 8 иьсу+ иьссиьд).
(5.23) с Пользуясь обозначениями (5.7), (5.21), запишем функционал (3.24) в виде О7и' Ет с С Е ссор + пт с Я й с1ОЪс' оВ (5 24) Оь оз. Глава б. Лиснретные уравнение движение 1б4 динамических задач, а вариационное уравнение 5е.Ъ(пс) = 0 (5.27) — только при решении квазистатических задач. Использование вариационного уравнения приводит к симметричным формулировкам матриц в МКЭ, а при использовании принципа возможных перемещений это не всегда выполнимо. 5.1.3. Текущая лагранжева формулировка В 1Л -формулировке все величины рассматриваются по отношению к некоторому моменту времени с, для которого напряженно-деформированное состояние предполагается известным. Поэтому (5.29) Из (5.3), (5.4) в силу (5.28) имеем 1 1 2 с"с 1" ' у 2 (5.30) Здесь дис псс = —. дсх ' Отметим следующее равенство: с+си с+си с скч = В (5.29) величины сСсзяс обозначают компоненты тензора четвертого ранга определяющих соотношений, связывающих приращения напряжений с приращениями деформаций: сосу = 'С;;ьс сенс (5.31) Фса = есу> спс =0.
(5.28) Уравнение принципа возможных перемещений в момент времени 1+ Ы записывается аналогично (5.1), но в качестве отсчетной используется текущая конфигурация: | с+ссс8 5 с+ос~,1 с) с+сзсА с су с су сс; Принимая во внимание (5.28), после линеаризации получаем (49) Ссувс сем дсесуд $'+ ) есс бст~уН Ъ' =  — ) есу 6сейс1 К с с с, с с+ос" Гс ссг ссг с1 3.1. Векторно-матричнаи запись ... 166 де: сз (5.32) Здесь се вв [сеы сегг, сезз, 2сепь 2сесз, 2сегз] !т спя —= [п1,1; псд' ис,з; пгл" игл; иг,з пзд; пзд пз,з], 31З с 323 (5.33) 311 6)2 с 81г вгг 313 623 О сй = О сй О О О О я с !с с с с с с зт В = ~ 311! 322! 333! 312! 313! 323] 'Сы 'Сгз 'Сгб С24 С26 С26 С34 Сзз СЗ6 С44 С46 С46 'Сзз сС66 С66 'См 'Сгг 'Ссз 'Сгг 'Сгз 'Сзз симм.
сС= Матрица сС связывает вектор приращений напряжений с вектором линейной части приращений деформаций: ,Б='С е, (5.34) где сн = — [сои Фгг! Фзз, Ф12! Ф13 Фгз] Иэ (1.92) и (1.94) следует равенство св с~! (5.35) где ся~е — вектор, составленный из компонент инкрементального аналога производной Трусделла от тензора напряжений Коши. Поэтому вместо определяющих соотношений (5.34) можно написать следующие: вг Г Линеаризованное уравнение (5,29) переписываем в следующем ви- 166 Глава 6. Диеяретиые уравнения лвижеиия где Тг С Тг Тг Тг Тт Тт Ттгг 18 Ы [1311 > 1322 ) 1333 1 1312 ~ 1313 ~ 1323 1 Пользуясь инкрементэльным аналогом второй формулы в (1.101), получаем т- с с с свс, = сяб — яь, нс,ь — всьп,,ь+ ясусся,я Виртуальную работу внешних сил садсВ с учетом инерционных членов записываем в виде С-С.аСВ С+СиВ С+сЗСВ + С+аСВ + С+ДСД вЂ” и+ т+ (5.35) где с+ьсд — 1 с+ш с.
5п, (с-с-сссст Ъ' = ,сс ~С с+ас — с+ос с+тзс" 5 (с.с-ссср М ае р ис пс С+аСсг с+асам т ая и-асят Выражение для виртуальной работы сосредоточенных сил с+'ссссо приведено в (5.10). В силу (5.16) и (5.18) виртуальная работа объемных и инерционных сил находится по формулам (5.15) и (5.17). Для виртуальной работы поверхностных нагрузок аналогично (5.20) получаем с+асВ 5 тс+ссст* ~с+ас$ (5.37) с+ос ят В силу (1.73) из (5.20) и (5.37) следует, что с+с'~,сет = с+осЯТ.
Поэтому для виртуальной работы внешних сил в левых частях (5.9) и (5.36) используется одно и то же обозначение с+осй. Так как поверхность тела с+ '$т неизвестна, то нельзя определить '" ~сЯТ по формуле (5.37). Предполагая шаг по времени с.'11 сравнительно малым, в формуле (5.37) интегрирование по неизвестной поверхности с+~1$т заменяем интегрированием по известной 3.1. Веиторио-матричиаа запись ...
1б7 поверхности сЯт в момент времени С [49): с+сзсд - 5 ть+сзсТь ~с.с (5.38) сБТ Рассмотрим вариационное уравнение (3.25) с первым функционалом в (3.28). Введем следующие векторы: с1 — = [с1п, Агг, с133, юг, 2А3; 2с123), (5.39) тя = [111,11 111,21 111,3с о2,11 112,21 112,31 сс3,11 о3,21 оз,з) Здесь где сА=-сА +МТ+АС, (5 43) д ~~~ вайс /с сст вз Гсосс)сУ, с'гст вз $3оссссЯ, 11 сз т 3=1 В отличие от обозначений в (3.28) здесь ус обозначают компоненты объемной, а не массовой силы. Матрица сС связывает компоненты производной тензора напряжений Коши по Трусделлу с тензором скоростей деформаций: втт=сС 1, (5.44) Тс Тт Тт Тт Тт Тт Тс~т = 1311 т 22 з 33 ~ 312 ~ 313 ~ 3231 Формула (5.44) является алгебраическим аналогом тензорной записи определяющих соотношений в (2.42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
